江西省多校联考2025-2026学年上学期高三1月联考数学试卷(含解析)

高三年级测试

数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x|x2A.12,1 C.[1,2) D.[1,+∞)2.若复数z满足z2=i，且zA.a=1 B.C.a+b=03.已知双曲线C:x2a2A.2 B.3C.5 D.24.若2−cosx=A.12 B.C.32 D.5.已知正方形ABCD的边长为2，点M，N分别为边AB，DA上的动点，则AM→A.[−4,1] B.[−2C.[−4,0] D.[−26.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为30cm，高为10cm，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土晾干后，即可得到大小相同的4片瓦.若需要制作800片这种瓦片，则所需粘土的体积为

A.45π

dm3C.135π

dm7.在锐角∆ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是AC的中点，满足sin2A=sinA，BD=21A.5 B.6C.7 D.768.若函数f(x)=xA.12e2,+∞C.(−∞,0)∪12e2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知2017—2024年中国城镇新增就业人数（单位：万人）依次为：1351，1361，1352，1186，1269，1206，1244，1256，对于这8个数据，下列结论正确的是A.极差是175 B.平均数不小于1300 C.中位数是1256 D.60%分位数是126910.若−π6，π6，π3中的2个是f(xA.2 B.3 C.4 D.611.若数列{an}满足对任意正整数n≥3，及常数k，总存在p,q∈N∗A.当an=2·nB.当{an}为等比数列时，存在k，使得{C.当{an}是公差dD.当{an}是−1倍可积数列，且a1+三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知a>0，且a≠1，若函数f(x)=(213.抛掷一枚质地均匀的骰子4次，记X表示掷出的点数为合数的次数，则X的数学期望EX=

14.已知抛物线C:x2=4y的焦点为F，O为坐标原点，A，B是C上不重合的两点.若存在λ∈[0,1]，使得23OA→四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）2025年高中“双休”政策出台后，某地区为研究高中生周末在家自律情况与学习成绩变化的关系，认定周末每天学习不低于2小时，视为“自律”；每天学习低于2小时，视为“不自律”.该地区随机调查了800名高中生周末在家学习的情况，得到如下列联表.（1）从这800名学生中随机抽取1名学生，若该学生是自律的，求该学生的学习成绩是进步的概率；（2）根据小概率值α=0.001附：χ2=n16.（15分）已知等比数列{an}满足a1=2，且2（1）求{a（2）若bn=3nlog2a17.（15分）如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形BCC1B1是菱形，∠（1）证明：AB（2）若AB=1，点D在棱CC1上，且C1D18.（17分）已知函数f(x)=alnx（a（1）求g(x)（2）若a=1，证明：∀x>1（3）探究函数h(19.（17分）已知直线l:y=x与椭圆C:x2a2+y2b2=1（a>b（1）求C的方程；（2）直线x=ty+m（m≠0）与x轴交于点P（点P在椭圆内），与C交于点Q，R（3）已知点G(4,y0)，GM，GN与C分别交于点D，E，当高三年级测试

数学参考答案1.【答案】A【解析】由P={x|x2−x2.【答案】D【解析】由题意：z=a+bi(a,3.【答案】A【解析】由题意知b=a，则b2=a4.【答案】B【解析】由题意得23sinx+cosx=2sinx5.【答案】C【解析】以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设M(a,0)(0≤a≤2)，N(0,e6.【答案】D【解析】四片瓦需要的粘土量为π×(15+3)27.【答案】C【解析】在∆ABC中，由sin2A=sinA，得2A+A=π，即A=π3。由∆ABC的面积为103，得12·b·c·32=1038.【答案】A【解析】因为f(x)=x3−aex只有1个极值点，所以a≠0g'(x)=6x−3x2ex，则g(x)在区间(−∞,0)上单调递减，在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,+∞)上单调递减，且g(0)=0，g(2)=9.【答案】AD（每选对1个得3分）【解析】极差是1361−1186=175，故A正确；平均数为102258<104008=1300，故B错误；把这8个数据按照从小到大顺序排列，中位数是第4个数1256与第5个数126910.【答案】AB（每选对1个得3分）【解析】因为π6−(−π6)=π3，π3−π6=π6，若−π6，π3是f(x)的相邻零点，π3不是f(x)的零点，此时ω=311.【答案】BCD（每选对1个得2分）【解析】当an=2·n!时，a1=2，a2=4，a3=12，a3≠2a1a2，故A错误；当{an}是等比数列时，设其公比为q，则n≥3时，an=an−1q=qa1an−1a1，取k=qa1，因为1<n−1<n，所以{an}是k倍可积数列，故B正确；当{an}是公差d≠0的等差数列时，若{an}是1倍可积数列，则{a12.【答案】6【解析】因为f(x)是偶函数，所以f(1)=f(−1)，即5a=56a，解得a13.【答案】4【解析】记事件A表示“掷出的点数为合数”，样本空间Ω={1,2,3,4,5,6}，事件A={4,6}，故P(A)=14.【答案】x2=【解析】设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则23OA→+13OB→=2x1+x23,2y1+y215.解：（1）记事件A表示“抽取1名学生，该学生是自律的”，事件B表示“抽取1名学生，该学生的学习成绩是进步的”。根据表格可知P(AB)=则P(故从这800名学生中随机抽取1名学生，若该学生是自律的，则该学生学习成绩是进步的概率为1415（2）零假设H0由表中数据可得χ2故根据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为学习自律与学习进步有关，该推断犯错误的概率不超过16.解：（1）设等比数列{an}因为2a2是a1所以4a2=a1+(a所以{an}（2）由（1）可得bn则Sn3S①−②得−2S=3+2×3则Sn17.（1）证明：因为四边形BCC1B1是菱形，又因为AB=AB1，因为AB⊥AC，所以AB因为平面ABC⊥平面AB1C，平面所以AB1⊥因为BC⊂平面ABC，所以A（2）解：由（1）知AB，AC，AB1两两垂直，且以A为原点，AB，AC，AB1所在直线分别为x，y，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B所以A1B1→=(1,0,0)，BC1D→设平面A1B1则{n⋅取z=1，得y=1，x=0设直线A1D与平面A1则sinθ=所以直线A1D与平面A118.（1）解：因为g(x)=所以g(1)=0，g所以g(x)的图象在x=1处的切线方程为（2）证明：当a=1时，要证明∀x>1，f(x)<设x=s，则s>1，问题转化为∀设F(s)=2lns−s+所以F(s)在区间(1,+∞)上单调递减，所以F(s（3）解：由h(x)=[f(x)即x−1x设t=x>0，则t因为a>0，y=t−1所以方程t−1t方程t−1t设n(t)=当0<a≤1时，n'(方程t−1t−2alnt当a>1时，令t2−2则n(t)在区间(0,a−且a−a2−1=所以n(a−易得e2x>2a>a+所以n(t)在区间(0,综上得，当0<a≤1时，h(x)19.解：（1）因为|AB|=4105所以点M(−a,0)到直线y即|−a−0|2=2，所以a设A(s,s)，则B所以|AB|=22所以C的方程为x24（2）设Q(x1,y1)由Δ=4t2y1+y由|QP|=3|PR|得y1所以y1y2整理得t2=4−得m的取值范围是(−2,−1)∪(1,2).（11分）（3）若直线DE过定点，由椭圆的对称性，可得该点在x轴上且与原点不重合，