2023-2024学年广东深圳罗湖高级中学高二(上)期中考数学试题含答案

高二数学试题卷一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)且⊥b，则x2．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则有()A．k1<k2<k3C．k1>k2>k33．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为(5,0)，则它的半径为()4．在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1=，A1D5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0，+∞)B．(0，2)C．(0，1)D．(1，+∞)66．已知双曲线的两个焦点F1(−5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，iiPF1i⋅iPF2i=2，则双曲线的标准方程是()7．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为()8．已知实数x,y满足x2+y2−4x−2y−4=0，则x−y的最大值是()高一数学试题第1页，共5页高一数学试题第2页，共5页二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，错选不得分，漏选得2分.9．已知直线x+y+a=0与圆(x−2)2+(y+2)2=2有两个交点，则实数a的值可能10．设椭圆C:+=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是A．P到F1最小的距离是B．PF1+PF2=10C.△PF1F2面积的最大值为6D．P到F1最大的距离是911．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1D1的中点，则()A．BF⊥CEB．DF//平面B1CEC．BF⊥平面B1CED．直线DF与直线CE所成角的余弦值为12．已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若PF1=2PF2且△PF1F2的最小内角为30°,则()A．双曲线的离心率3B．双曲线的渐近线方程为y=±2xC.∠PAF2=45°D．直线x+2y−2=0与双曲线有两个公共点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知l1:x+my+1=0与l2:y=3x−1，若两直线平行，则m的值为14．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是 .15．已知双曲线．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是.16．已知F1、F2分别为椭圆=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，点F2关于直线PF1的对称点为M，点F1关于直线PF2的对称点为N，则当MN最大时，△PF1F2的面积为.高一数学试题第3页，共5页四、解答题：本大题共70分。其中17题10分，18～22每小题12分,解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．已知直线l经过两条直线x+2y−5=0和3x−y−1=0的交点.(1)若直线l与直线x−2y−1=0垂直，求直线l的方程；(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程.18．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)求二面角P−CD−B余弦值的大小；19．如图，若F1,F2是双曲线的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|⋅|PF2|=32，试求△F1PF2的面积.高一数学试题第4页，共5页知A1B1=B1C1=1，∠A1B1C1=90°,AA1=4，BB1=2，CC1=3.(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；(2)求AB与平面AA1C1C所成的角的余弦值；(3)求此几何体的体积.21．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x−3y=4相切.（1）求圆O的方程：的取值范围.22．已知椭圆的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1).(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设O为原点，直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.高一数学试题第1页，共17页高二数学试题卷一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量=(−3,2,5)，b=(1,x,−1)且⊥b，则x【答案】【答案】A【分析】根据⊥可知⋅=0，代入坐标公式即可求解.【详解】因为⊥，所以⋅=0，故选：A.2．图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3，则有()A．k1<k2<k3C．k1>k2>k3【答案】【答案】B【分析】根据直线斜率的概念，结合图象，可直接得出结果.【详解】由图象可得，k1<0<k3<k2，故选：B3．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为(5,0)，则它的半径为【答案】【答案】D【详解】分析：先根据圆心坐标求出a的值，再求圆的半径.详解：由题得=5,∴a=−5.所以圆的半径为高一数学试题第2页，共17页故答案为故答案为D点睛：(1)本题主要考查圆的一般方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)当D2+E2−4F>0时，x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆心为半径为的圆.【答案】【答案】B【分析】利用空间向量线性运算法则进行运算即可.【详解】因为在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，2故选：B.5．若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是()A．(0，+∞)B．(0，2)C．(0，1)D．(1，+∞)【答案】【答案】C【分析】要利用条件椭圆焦点在y轴上，应将椭圆的方程化为标准方程，由椭圆的焦点在y轴上，可得>2，进而可解得实数k的取值范围.【详解】因为方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆，k所以实数k的取值范围是(0,1).高一数学试题第3页，共17页故选：故选：C.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，要判断椭圆焦点的位置，应将椭圆的方程化为标准方程．对于椭圆=1，①表示焦点在x轴上的椭圆⇔m>n>0；②表示焦点在6．已知双曲线的两个焦点F1(−5，0)，F2(5，0)，6．已知双曲线的两个焦点F1(−5，0)，F2(5，0)，P是双曲线上一点，且PF1⊥PF2，【答案】D【分析】根据条件设PF1=r1，PF2=r2，由条件求得4a2=r1−r22，即可求得双曲线方程.r22=r12+r22−2r1r2=16，∴4a2=16⇒a2=4，又∵c=5，∴b的标准方程为−y2=1.故选：D7．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，则点C到平面AEC1F的距离为()【答案】【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，计算平面AEC1F的法向量，利用点到面距离的向量公式即得解【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，高一数学试题第4页，共17页则D(0,0,0,A2,0,0,B2,4,0,C0,4,0,E2,4,1,C10,4,3)，设为平面AEC1F的法向量，=(x,y,z)，---→AC1=0−2x+4y+3z=0xAC1=0−2x+4y+3z=0x=1∴点C到平面AEC1F的距离d==.故选：C.8．已知实数x,y满足x2+y2−4x−2y−4=0，则x−y的最大值是()【答案】【答案】A9，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x−y=k，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x−y=k，则x=k+y，代入原式化简得2y2+(2k−6)y+k2−4k−4=0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k−6)2−4×2(k2−4k−4)≥0，故x−y的最大值是32+1，法二：x2+y2−4x−2y−4=0，整理得(x−22+y−1)2=9，令x=3cosθ+2，y=3sinθ+1，其中θ∈[0,2π]，则x−y=3cosθ−3sinθ+1=32cosθ++1，法三：由x2+y2−4x−2y−4=0可得(x−2)2+(y−1高一数学试题第5页，共17页设设x−y=k，则圆心到直线x−y=k的距离d=≤3，故选：A.二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的，错选不得分，漏选得2分.9．已知直线x+y+a=0与圆(x−2)2+(y+2)2=2有两个交点，则实数a的值可能【答案】【答案】ABC【分析】由圆心到直线的距离小于半径可得a的范围.故选：ABC.10．设椭圆C:+=1的左右焦点为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是A．P到F1最小的距离是B．PF1+PF2=10C.△PF1F2面积的最大值为6D．P到F1最大的距离是9【答案】【答案】BD【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可.【详解】由椭圆方程可得：a=5,b=3，则c=a2−b2=4，对A：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到F1的距离最小，最小值为a−c=1，B错误；对B：根据椭圆的定义可得PF1+PF2=2a=10，A正确；对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为1×2c×b=12，C错误；2对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到F1的距离最大，最小值为a+c=9，D正确.故选：BD.高一数学试题第6页，共17页11．如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别为AB,A1D1的中点，则()B．DF//平面B1CED．直线DF与直线CE所成角的余弦值为【答案】【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.【详解】以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，C选项，若BF⊥平面B1CE，则BF⊥B1C.D选项，cos，D正确.故选：AD12．已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若PF1=2PF2且△PF1F2的最小内角为30°,则()A．双曲线的离心率3B．双曲线的渐近线方程为y=±2xC.∠PAF2=45°D．直线x+2y−2=0与双曲线有两个公共点【答案】【答案】ABD【解析】A．根据PF1=2PF2以及30°对应的余弦定理计算出离心率e的值；B．根据离心率e的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C．根据a,b,C的大小关系判断出三角形△PF1F2的形状，再根据长度关系判断∠PAF2=45°是否成立；D．联立直线与双曲线，利用一元二次方程的Δ,判断出直线与双曲线的交点个数.【详解】A．因为PF1=2PF2，PF1−PF2=2a，所以PF1=4a，PF2=2a，又因为2C>2a.4a>2a，所以∠PF1F2=30°,所以cos∠PF1F2=，所以C=a，所以e=故结论正确；B．=3，所以=2，所以所以渐近线方程为y=±2x，故结论正确；C．因为2C=23a，所以PF12=PF22+F1F22，所以∠PF2F1=90°,又因为AF2=C+a=(3+1)a,PF2=2a，所以AF2≠PF2，所以∠PAF2≠45°,所以高一数学试题第7页，共17页高一数学试题第8页，共17页结论不成立；结论不成立；所以直线x+2y−2=0与双曲线有两个公共点，所以结论正确.故选：ABD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线a>0,b>0渐近线的斜率k与离心率之间的关系平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.13．已知l1:x+my+1=0与l2:y=3x−1，若两直线平行，则m的值为【答案】【答案】−13【详解】两直线平行则斜率相等，所以−解得14．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是 .【答案】【答案】【详解】试题分析：分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设高一数学试题第9页，共17页考点：异面直线所成的角考点：异面直线所成的角15．已知双曲线．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是.【答案】【答案】2【详解】试题分析：不妨设所以iABi=,iBCi=2c，由2|AB|=3|BC|及c2=a2+b2，得：=6c，解方程得，e=2或e=所以应该填2.考点：双曲线的简单几何性质.16．已知F1、F2分别为椭圆+=1的左、右焦点，P为椭圆上的动点，点F2关于直线PF1的对称点为M，点F1关于直线PF2的对称点为N，则当MN最大时，△PF1F2的面积为.【答案】【答案】/3【分析】将对称性和椭圆的定义结合起来，得到PM，PN的和为定值2a，从而知当M、N、P三点共线时，MN的值最大，然后通过几何关系求出∠F1PF2=60°,结合余弦定 理即可求出三角形的面积.【详解】根据椭圆的方程可知，F1(−2,0,F22,0)，连接PM，PN，则|PM|+|PN|=|PF1|+|PF2|=2a=4，所以当M、N、P三点共线时，|MN|的值最大此时∠MPF1=∠F1PF2,∠NPF2=∠F1PF2.又因∠MPF1+∠F1PF2+∠F2PN=180°,可得∠F1PF2=60°在△F1PF2中，由余弦定理可得，2C2=|PF1|2+|PF2|2，即8=PF1+PF22−3PF1⋅PF2=16−3PF1⋅PF2，解得PF1⋅PF2=，故答案为：.高一数学试题第10页，共17页【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.四、解答题：本大题共70分。其中17题10分，18～22每小题12分,解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．已知直线l经过两条直线x+2y−5=0和3x−y−1=0的交点.(1)若直线l与直线x−2y−1=0垂直，求直线l的方程；5分(2)若直线l在两个坐标轴上的截距相同，求直线l的方程．5分【答案】【答案】(1)2x+y−4=0；(2)2x−y=0或者x+y−3=0.得.因为直线l垂直于直线x−2y−1=0，设直线l的方程为2x+y+C2=0，把点(1,2)代入方程得2+2+C2=0，解得C2=−4，所以直线l的方程为2x+y−4=0.5分（2）①当截距为0时，设直线l的方程为y=kx，把点(1,2)代入方程得y=kx，解得k=2，所以直线l的方程为2x−y=0；7分②当截距不为0时，设直线l的方程为=1，把点代入方程得解得a=b=3，所以直线l的方程为x+y−3=09分所以直线l的方程为2x−y=0或者x+y−3=0.10分高一数学试题第11页，共17页18．如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=(1)求证：BD⊥平面PAC；5分(2)求二面角P−CD−B余弦值的大小；7分【答案】(1)证明见解析0，从而得证；（23）利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：建立如图所示的直角坐标系，则A(0,0,0)、D(0,2,0)、P(0,0,2).在Rt△BAD中，AD=2，BD=∴B(2,0,0)、C(2,2,0)，即BD⊥AP，2分BD⊥AC，3分又AP∩AC=A，AP,AC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC；5分设平面PCD的法向量为=(x,y,Z)，=(0,0,2)为平面ABCD的一个法向量．9分19．如图，若F1,F2是双曲线一=1的两个焦点.（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|.|PF2|=32，试求△F1PF2的面积.8分【答案】（1）10或222）S△F1PF2=16.【分析】（1）利用双曲线的定义，根据动点到一个焦点的距离求动点到另一个焦点的距离即可；（2）先根据定义得到|PF2|一|PF1|=6，两边平方求得|PF1|2+|PF2|2，即证|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100，匕F1PF2=90o，再计算直角三角形面积即可.9【详解】解1）F1,F2是双曲线x92点M到它的一个焦点的距离等于16，设点M到另一个焦点的距离为m，则由双曲线定义可知，|m一16|=2a=6即点M到另一个焦点的距离为10或22；（2）P是双曲线左支上的点，则|PF2|一|PF1|=2a=6，则|PF2|2一2|PF1|.|PF2|+|PF1|2=高一数学试题第12页，共17页即即|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100，9分所以△F1PF2为直角三角形，∠F1PF2=90°,10分20．如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1=B1C1=1，∠A(1)设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；4分(2)求AB与平面AA1C1C所成的角的余弦值；5分(3)求此几何体的体积．3分【答案】(1)见解析；.【分析】（1）利用空间向量法证明线面平行即可；（2）利用空间向量法求AB与平面AA1C1C所成的角；（3）构造出三棱柱，运用等量代换即可；【详解】（11）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，则A(0,1,4),B(0,0,2),C(1,0,3)，因为O是AB的中点，所以易知，=(0,0,1)是平面A1B1C1的一个法向量，2分高一数学试题第13页，共17页高一数学试题第14页，共17页所以OC∥平面A1B1C1·4分（2）设AB与面AA1C1C所成的角为θ,所以，则sinθ=8分所以AB与面AA1C1C所成的角余弦值为；9分（3）分别延长A1A,B1B,C1C至D,E,F，使AD=2,BE=4,CF=3，21．在平面直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直