安徽省县中联盟2025-2026学年高二上学期10月联考数学试卷（A卷）（解析版）

第1页/共1页2025~2026学年度第一学期高二10月联考数学（A卷）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A版必修第二册（约20%）、选择性必修第一册第一章~第二章第2节（约80%）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则复数的虚部为（）A.2 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解.【详解】由题意可得，故复数的虚部为.故选：D2.直线的倾斜角是（）A.0 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由垂直于轴即可得解.【详解】直线垂直于轴，故所求倾斜角是.故选：C.3.已知点，，点满足，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的坐标运算计算.【详解】设点，又，，所以，，又，所以，解得，，，所以点的坐标是.故选：A.4.过点且与直线平行的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得.【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为，且过点，所以所求直线的方程为，即.故选：A.5.已知向量，，且向量与夹角的余弦值为，则的值为（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】由向量坐标形式的模的公式、夹角余弦公式和数量积坐标表示即可计算求解.【详解】因为，，所以，，，又向量与夹角的余弦值为，所以，解得.故选：B.6.已知两点，，直线过点，若直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】分析】画出图形，求得，，结合图形即可得解.【详解】由题意知，，由图可知直线的斜率的取值范围是.故选：B.7.若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】由题意可设直线的方程为：，利用三角形面积列方程，分类讨论求解即可.【详解】由题意知，直线的斜率存在且不为0.设直线：.设此直线与轴、轴的交点分别为，，则点，的坐标分别为，，因此面积为，若，解得；若，解得或.综上，直线的个数为3.故选：C.8.已知空间向量，，满足，，且，，则的最小值为（）A.5 B.6 C.25 D.36【答案】A【解析】【分析】由题意设，，，利用数量积的坐标运算求得的最小值.【详解】因为，，故可设，，，又，所以，所以，解得，又，所以，当且仅当时取得等号，所以的最小值是5.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本数据如下：2，3，4，5，7，7，8，12，则该组数据的（）A.极差为10 B.平均数为6C.标准差为9 D.第80百分位数为7.5【答案】AB【解析】【分析】利用极差、平均数、标准差、百分位数的求法求解，逐项判断即可.【详解】样本数据：2，3，4，5，7，7，8，12，故极差为，故A正确；平均数为，故B正确；标准差为，故C错误；因为，所以第80百分位数为8，故D错误.故选：AB.10.下列说法中正确的有（）A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是C.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则D.已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为【答案】AC【解析】【分析】对于A，说明，，不共面即可；对于B，由点关于坐标轴的对称法则判断即可；对于C，由即可列方程验算；对于D，分截距是否为0进行讨论即可.【详解】对于A，因为，，不共面，即，所以，则，，不共面，所以也是空间的一个基底，故A正确；对于B，点关于轴对称的点是，故B错误；对于C，由平面平行可得，所以，解得，故C正确；对于D，当直线过坐标原点时，直线的方程为；当直线不过坐标原点时，设直线的方程为，又过点，所以，解得，所以直线的方程为.综上，直线的方程为或，故D错误.故选：AC.11.在四棱柱中，底面是平行四边形，，且，点满足，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则，，，四点共面C.直线与直线所成角的余弦值为D.四棱柱的体积为【答案】ABD【解析】【分析】根据空间向量运算求解判断A；根据空间向量共面定理判断B；根据异面直线所成角的向量求法求解判断C，根据向量法求得点到平面的距离，代入柱体体积公式求解判断D.【详解】由题意知，若，则，故A正确；由题意知，若，则，可得，所以，即，所以，，，四点共面，故B正确；因为，，，且，所以，又，所以，所以，所以，即直线与直线所成角的余弦值为，故C错误；记点在平面内的投影为，设，所以，又，，所以，，解得，，所以，所以，即四棱柱的高为，所以四棱柱的体积为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件与互斥，且，，则________.【答案】0.82【解析】【分析】由概率的基本性质即可求解.【详解】因为事件与互斥，所以，所以.故答案为：0.82.13.若，，且，则经过，的直线的一般方程为________.【答案】【解析】【分析】根据等式与直线方程的联系进行求解即可.【详解】因为，，所以在直线上，在直线上，又过点的直线有且只有一条，所以经过，的直线的一般方程为，故答案为：14.已知正方体的棱长为4，空间中的一点满足，则的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】设的中点，由得到点P的轨迹，然后利用向量的数量积求解.【详解】设的中点，易得，所以，所以，即在以为球心，为半径的球面上，过点作直线的垂线，垂足为，所以，所以，，即的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知空间三点，，，设，.（1）若，求的值；（2）若向量满足，且，求向量的坐标.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）写出两个向量的坐标，然后通过向量垂直的坐标公式求解；（2）通过向量平行设出向量的坐标、再通过向量的模长求解.【小问1详解】由题意知，，所以，又，所以，解得.【小问2详解】因为，又，设，又，所以，解得，当时，；当时，，所以向量的坐标为或.16.已知的三个顶点是，，.（1）求边上的中线所在的直线方程；（2）求边上的高所在的直线方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据中线的性质和直线的点斜式方程，求出结果；（2）根据高的性质，和直线垂直斜率的关系，以及点斜式方程，求出结果；【小问1详解】因为，，所以的中点的坐标为，又，所以边上的中线所在的直线方程为，即.【小问2详解】因为，，所以，设边上的高所在的直线的斜率为，所以，得，所以边上的高所在的直线方程为，即.17.在中，内角，，的对边分别为，，，且.（1）求；（2）若，，点是边上的一点，且，求和的面积.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）通过正弦定理和两角和正弦公式，求出；（2）先用余弦定理求出，再通过三角恒等变换求出，结合正弦定理求出，从而得到的面积.【小问1详解】因为，由正弦定理得，又，所以，即，又，所以，所以，即，又，所以.【小问2详解】由余弦定理可得，所以，由余弦定理得，所以，又，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，解得，所以的面积为.18.如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，并求出平面的法向量，从而证明线面平行；（2）用点到面的距离公式，求出点到面的距离；（3）先求出两平面夹角的余弦，再用同角三角函数的关系，求出二面角的正弦值.【小问1详解】证明：以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，.设平面的一个法向量为，又，，所以令，解得，所以平面的一个法向量为，又，所以，又平面，所以平面.【小问2详解】解：由（1）知，，.设平面的一个法向量为，所以令，解得，，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离，即点到平面的距离为.【小问3详解】解：由（1）知平面的一个法向量为，由（2）知平面的一个法向量为，设二面角的大小为，又，所以，即二面角的正弦值为.19.如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.（1）求证：；（2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直；（2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值；（3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可.【小问1详解】在中，，，所以，所以在四棱锥中，，，又，，平面，所以平面，又平面，所以.【小问2详解】当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面.又平面平面，，平面，所以平面，故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以设平面的一个法向量为，又，，所以，令，解得，，所