第四章　中值定理及层数应用

微积分学教程（上册）主编谷银山张玉芬目录上册第一章函数第二章极限与连续第三章导数与微分第四章中值定理及导数应用第0章预备知识第五章不定积分微积分学基本知识结构2第四章中值定理及导数应用3第四章中值定理及导数应用在第三章，介绍了导数的概念及导数在经济学中的简单应用.由于导数与函数之间的关系是研究函数形态的理论基础，因此本章将详细介绍如何利用函数的一阶或二阶导数的性质来推断函数本身的形态，如单调性，凹凸性等.同时，还介绍了如何利用导数的性质解决未定式极限的求解问题.4第四章中值定理及层数应用§4.1中值定理

§4.2洛必达法则§4.3函数的单调性与极值§4.4函数图像的凹凸性与拐点§4.6综合与提高§4.5函数图像描绘5§4.1中值定理一、费马定理6§4.1中值定理一、费马定理7§4.1中值定理二、罗尔中值定理定理4.2

（罗尔中值定理）如果函数f(x)满足条件：

（1）在闭区间［a,b］上连续；

（2）在开区间(a,b)内可导；

（3）f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得f′(ξ)=0.证明：由于函数f(x)在闭区间［a,b］上连续，由闭区间上连续函数的性质可知，函数f(x)在［a,b］上能取得最大值M和最小值m.

若M=m，则f(x)在［a,b］上为常函数，即f(x)≡M，x∈［a,b］.故对任意ξ∈(a,b)，都有f′(ξ)=0.

若M>m，由于f(a)=f(b)，所以M与m中至少有一个不等于f(a).不妨设M≠f(a)，则在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)=M.因此，对于任意x∈［a,b］，有f(x)≤f(ξ).由f(x)在开区间(a,b)内的可导性及费马定理可知，f′(ξ)=0.■8§4.1中值定理二、罗尔中值定理罗尔中值定理的几何意义：如果函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的图像是一条连续光滑的曲线，这条曲线在区间(a,b)内每一点都有不垂直于x轴的切线，且f(a)=f(b)，则在曲线上至少有一点处的切线与x轴平行（如图4-1所示）.9§4.1中值定理二、罗尔中值定理关于罗尔中值定理说明以下两点：

一般罗尔中值定理与零点定理相结合用于讨论方程根的存在性问题.10§4.1中值定理二、罗尔中值定理对于［例1］有以下两点需要说明：

［例1］中的唯一性也可以采用函数f(x)在(0,1)上的单调性进行证明，同学们可以自己试一下.

证明“有且仅有”类问题时，一般分两步证，先证明有，再证明唯一性.11§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理12§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理13§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理的几何意义：如果函数f(x)在区间［a,b］上的图像是一条连续光滑的曲线，这条曲线在区间(a,b)内每一点都有不垂直于x轴的切线，则在曲线上至少有一点处的切线与连续曲线两个端点的连线平行,如图4-3所示.14§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理常称拉格朗日中值定理为微分中值定理（DifferentialMeanValueTheorem）.拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式（LagrangeMeanValueFormula），也可以写为15§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理16§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理17§4.1中值定理三、拉格朗日中值定理18§4.1中值定理四、柯西中值定理19§4.1中值定理四、柯西中值定理20§4.1中值定理四、柯西中值定理对柯西中值定理作以下两点说明：21§4.1中值定理四、柯西中值定理对柯西中值定理作以下两点说明：拉格朗日中值定理及柯西中值定理的证明都是将欲证等式看作了罗尔中值定理结论的形式，然后构造辅助函数，使其满足罗尔中值定理的条件，最后证得所需结论.这也是利用中值定理证明一些等式的常用方法.现将构造辅助函数证明等式的一般步骤总结如下：（1）将欲证等式写成等号右端只有零，即F′(ξ)=0的形式，并将式中的ξ改写成x，即写成F′(x)=0的形式.（2）依据F′(x)选取辅助函数F(x).这是非常关键的一步，一般采用直接观察（依据导数公式和导数的四则运算法则，如以上两个中值定理的证明）或积分的方法，即F(x)=∫F′(x)dx，另外学了微分方程以后，也可通过解微分方程的方法找F(x)（用可分离变量法，对结论分离变量再积分，这部分知识将在第九章介绍）.（3）验证函数F(x)在给定区间［a,b］上满足罗尔中值定理的条件，这样就可推出等式F′(ξ)=0.（4）将F′(ξ)=0还原到欲证等式.22§4.1中值定理四、柯西中值定理23§4.2洛必达法则24§4.2洛必达法则25§4.2洛必达法则26§4.2洛必达法则27§4.2洛必达法则注：若将定理4.6中x→x0换成x→x±0，x→±∞，x→∞，只要相应的修正条件（2），也可以得到同样的结论.28§4.2洛必达法则29§4.2洛必达法则30§4.2洛必达法则31§4.2洛必达法则二、其他类型未定式极限1

∞－∞型32§4.2洛必达法则二、其他类型未定式极限2

0·∞型33§4.2洛必达法则二、其他类型未定式极限34§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法在第一章介绍了函数单调性的概念，下面主要以导数为工具，介绍判断函数单调性的一般方法.观察图4－4，光滑曲线y=f(x)在(a,b)内沿x轴正方向递增，并且曲线上任意点处的切线斜率是非负的.再观察图4－5，光滑曲线y=f(x)在(a,b)内沿x轴正方向递减，并且曲线上任意点处的切线斜率是非正的.由此可见，函数的单调性与其导数符号有着密切的关系，我们能否用导数的符号来判别函数的单调性呢？结论是肯定的，请看下面的定理.35§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法36§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法定理4.7

设函数y=f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导.（1）若在(a,b)内f′(x)>0，则函数y=f(x)在［a,b］上单调增加；（2）若在(a,b)内f′(x)<0，则函数y=f(x)在［a,b］上单调减少.37§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法关于定理4.7说明以下两点：

将定理中的闭区间换成其它各种区间，结论仍然成立.

定理4.7是判别函数y=f(x)单调性的充分而非必要条件.例：f(x)=x3，尽管f′(0)=0，但f(x)=x3在整个定义域上是单调增加的（如图46所示）.这说明函数在一个区间上孤立点处的导数为零，不影响函数在该区间上的单调性.如果函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间（MonotoneInterval）38§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法例1

讨论函数f(x)=2x2－lnx的单调性.解：函数f(x)的定义区间为(０,+∞)，又39§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法40§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法41§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法42§4.3函数的单调性与极值一、函数单调性的判别方法43§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法44§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法45§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法46§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法47§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法接下来，仔细观察函数曲线在极值点左右函数的变化趋势.从图4-10中可以看到，在极大值点的左侧函数y=f(x)是单调增加的，而在其右侧函数y=f(x)是单调减少的.在极小值点左右两侧函数y=f(x)的单调情形与极大值点的情况正好相反.由此，我们可以得到判别函数极值的第一充分条件.48§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法49§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法50§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法51§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法通过上述两个例题可以总结出求解函数f(x)极值的一般步骤：（1）求使得f′(x)=0或f′(x)不存在的点，即可疑极值点；（2）用上述各点将f(x)的定义域划分为几个子区间；（3）判断f′(x)在各子区间上的符号，由定理4.9确定出哪些可疑极值点为极值点，最终求出函数f(x)的极值.52§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法53§4.3函数的单调性与极值二、函数极值及其判别法例6

求函数f(x)=12+2x2－x4的极值点与极值.54§4.3函数的单调性与极值三、函数的最大值与最小值在实际问题中，如生产计划，市场销售，库存管理等问题中，常常会遇到这样一类问题：在一定条件下，如何使“产品最多”，“利润最大”，“成本最低”.此类问题在数学模型上往往归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值与最小值问题.由第二章§2.9节可知，闭区间上连续函数存在最大值与最小值.那么如何求出这个最大值与最小值呢？如图4-8所示，连续函数y=f(x)可能在闭区间［a,b］上的极值点或区间端点处取得最大值与最小值.由此我们可以得到如下求解最大值与最小值的步骤：（1）求出函数y=f(x)在区间(a,b)内的驻点及导数不存在的点{xi，i=1,2,…,n}；（2）计算函数y=f(x)在上述各点处的函数值{f(xi),i=1,2,…,n}及f(a),f(b)；（3）比较上述函数值的大小，得出y=f(x)在［a,b］上的最大值与最小值.55§4.3函数的单调性与极值三、函数的最大值与最小值56§4.3函数的单调性与极值三、函数的最大值与最小值57§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值58§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值59§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值60§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值知道函数凹凸性的定义后，接下来的问题是如何确定一个函数曲线的凹凸性.再来观察图4-13（A），可以看到凹弧上切线的斜率是随着x的增大而增大的，即f′(x)是单调增函数，而图4-13（B）情况正好相反.由导数的定义以及函数单调性的判别方法可知，可以用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性.61§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值62§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值63§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值64§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值定义4.4

如果函数f(x)在x0左右两侧图形的凹凸性相反，则称点(x0,f(x0))为曲线f(x)的拐点（InflectionPoint）.定理4.12

（拐点的必要条件）曲线上点(x0,f(x0))为拐点的必要条件为f″(x0)=0或f″(x0)不存在.65§4.4函数图形的凹凸性与拐点三、函数的最大值与最小值66§4.5函数图像描绘一、渐近线1

水平渐近线67§4.5函数图像描绘一、渐近线2垂直渐近线68§4.5函数图像描绘一、渐近线3斜渐近线69§4.5函数图像描绘一、渐近线70§4.5函数图像描绘一、渐近线71§4.5函数图像描绘二、函数作图72§4.5函数图像描绘二、函数作图73§4.5函数图像描绘二、函数作图74§4.5函数图像描绘二、函数作图75§4.6综合与提高*

例1

设函数f(x)在［a,b］上可导，且有f′+(a)f′－(b)<0，则在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=0.分析：要证f′(ξ)=0，只有证明f(x)满足费马定理或罗尔中值定理的条件即可.从已知条件找不到函数f(x)满足罗尔中值定理中区间端点函数值相等的子区间，故只能应用费马定理来证明我们的结论.因此，我们需要证明在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)为函数f(x)的最值，再应用费马定理，结论即