专项六　最值问题-2026年中考数学复习课件

专项六最值问题(5年4考)类型一构造“辅助圆”求最值根据题意画出如图所示的草图,通过△ADG∽△ABH证得点D是定点,点C在以OD为直径的圆上运动,进而得到点C到OD的最大距离等于OD的一半A2.(2021广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线段CD长度的最小值为

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线段AB是定线段,由∠ADB=45°,不妨设点D在以AB为弦的☉O上,圆心O在线段AB的垂直平分线上,根据这些信息作出如图所示的草图,从图形上看,当O,D,C三点共线时,CD的值最小.结合垂径定理、圆周角定理计算获解类型二利用二次函数性质求最值3.[人教九下P44T14改编]如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,则△BDE的面积最大值为

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由DE∥BC可得到△ADE∽△ABC.用含动点D运动时间t的代数式表示相关线段的长,结合相似三角形对应边成比例表示出△BDE中BD边上的高,利用三角形的面积公式得到关于t的二次函数,利用二次函数的增减性获解6通过列关系式得到二次函数解析式,利用二次函数的性质求最值,注意自变量的取值范围.解题策略类型三利用“垂线段最短”求最值方法1一动一定4.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边的中点,连接DQ,则DQ的最小值

是

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点P的运动轨迹是线段BC,点Q的运动轨迹在CQ所在的直线上,长度等于BC.所以当DQ⊥CQ时,DQ的长最小条件:点A是直线l外一定点,在直线l上找一点P,使AP的长最短;解题路径:如图所示,过点A作AP⊥l,此时AP的长最短.解题策略方法2两动一定5.如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,则CQ+PQ的最小值为

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2A条件:已知定点P和∠AOB,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PM+MN的值最小.解题路径:如图所示,作定点P关于OA的对称点P′,过点P′作OB的垂线,分别交OA于点M,交OB于点N,此时PM+MN的值最小,最小值为P′N的长.解题策略方法3一动两定(“胡不归”模型)条件:如图所示,点A为直线l上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线l上运动.求kAP+BP的最小值.解题路径:如图所示,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解.该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下:解题策略一找:找带有系数k的线段kAP;二构造:在点B异侧构造以线段AP为斜边的直角三角形:(1)以定点A为顶点作∠PAC,使sin∠PAC=k;(2)过动点P作垂线,构造Rt△PAC;三转化:化折为直,将kAP转化为PC;四求解:使得kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长.类型四利用轴对称性质求最值方法1两定一动8.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=2,点E是AB的中点,AD是高,点P是AD上的一动点,则BP+PE的最小值为

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C和最小值问题条件:已知两定点A,B和直线l,在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小.解题路径:(1)当两定点在直线l异侧时,如图(1),连接AB交直线l于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为线段AB的长;解题策略(2)当两定点在直线l同侧时,如图(2),作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为线段AB′的长.方法2两动一定A条件:已知定点P和∠AOB,点M是OA上一动点,点N是OB上一动点,求△PMN周长的最小值.解题路径:如图所示,分别作点P关于OA,OB对称点P′,P″,连接P′P″分别交OA,OB于点M,N,此时△PMN周长最小,最小值为P′P″的长.解题策略方法3两定两动11.九(2)班举行元旦文艺晚会,桌子摆成两条直线(如图中所示的AO,BO),AO桌面上摆满了橘子,OB桌面上摆满了糖果,坐在C处的小花先拿橘子再拿糖果,然后送给D处的小红.请你帮助她设计一条行走路线,使其所走的总路程最短(写出作法,无需说明理由).解:如图所示,按图中所示分别找出点C,D的对称点C′,D′,连接C′D′分别与OA与OB交于点M,N,则小花所走的路线为CM-MN-ND时,所走的总路程最短.条件:已知定点P,Q和∠AOB,点M是OA上一动点,点N是OB上一动点,求四边形PQ