2025年统计学专业本科毕业考试试卷及答案

2025年统计学专业本科毕业考试试卷及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，且已知E[(X-1)(X-2)]=1，则λ=（）A.1B.2C.3D.42.某样本数据的偏度系数为-0.8，峰度系数为3.5，说明该数据分布（）A.左偏，尖峰B.右偏，尖峰C.左偏，平峰D.右偏，平峰3.在假设检验中，若原假设为H₀:μ=μ₀，备择假设为H₁:μ≠μ₀，当样本量固定时，增大显著性水平α会导致（）A.第一类错误概率减小，第二类错误概率增大B.第一类错误概率增大，第二类错误概率减小C.两类错误概率均减小D.两类错误概率均增大4.对于一元线性回归模型y=β₀+β₁x+ε，若残差的样本方差为s²=4，回归平方和SSR=120，总样本量n=20，则回归模型的F统计量为（）A.15B.30C.45D.605.若两个随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)=0，则以下结论一定成立的是（）A.X和Y独立B.D(X+Y)=D(X)+D(Y)C.E(XY)=E(X)E(Y)D.相关系数ρ=06.某时间序列的自相关函数（ACF）在滞后1阶显著不为0，滞后2阶及以上接近0，偏自相关函数（PACF）在滞后1阶显著不为0，滞后2阶及以上接近0，该序列最可能服从（）A.AR(1)B.MA(1)C.ARMA(1,1)D.AR(2)7.采用简单随机抽样从N=1000的总体中抽取n=50的样本，样本均值为30，样本方差s²=100，则总体均值的95%置信区间为（）（Z₀.₀₂₅=1.96）A.[27.24,32.76]B.[28.62,31.38]C.[29.12,30.88]D.[29.56,30.44]8.在列联表的卡方独立性检验中，若自由度为6，则列联表的行数和列数可能为（）A.2行4列B.3行3列C.4行2列D.5行2列9.某组数据的茎叶图如下（十位为茎，个位为叶）：茎：2|3|4|5叶：135|0247|168|39则该组数据的中位数为（）A.37B.39C.41D.4310.若随机变量X~N(μ,σ²)，Y=2X-3，则Y服从（）A.N(2μ-3,2σ²)B.N(2μ-3,4σ²)C.N(μ-3,4σ²)D.N(μ-3,2σ²)二、填空题（每题3分，共15分）11.已知事件A和B满足P(A)=0.6，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.8，则P(A|B)=______。12.样本数据12,15,18,20,22的平均绝对偏差（MAD）为______。13.设X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体N(μ,σ²)的简单随机样本，X̄为样本均值，S²为样本方差，则统计量T=(X̄-μ)/(S/√n)服从______分布，自由度为______。14.在多元线性回归中，若加入一个无关解释变量，调整的决定系数R̄²会______（填“增大”“减小”或“不变”）。15.某产品寿命服从指数分布，已知平均寿命为500小时，则该产品寿命超过1000小时的概率为______（e≈2.718）。三、简答题（每题8分，共24分）16.简述中心极限定理的核心内容及其在统计推断中的作用。17.解释假设检验中“p值”的含义，并说明如何根据p值进行决策。18.比较参数检验与非参数检验的优缺点，举例说明非参数检验的适用场景。四、计算分析题（每题12分，共36分）19.某公司为评估新产品的市场接受度，随机调查了200名消费者，其中120人表示“愿意购买”。（1）计算“愿意购买”比例的样本均值和样本方差；（2）构造总体比例的95%置信区间（Z₀.₀₂₅=1.96）；（3）若希望置信区间宽度不超过0.06，在95%置信水平下至少需要调查多少消费者？20.某地区2015-2024年的GDP数据（单位：亿元）如下：年份：2015201620172018201920202021202220232024GDP：120135150168185200220240265290（1）计算该时间序列的逐期增长量和环比发展速度；（2）用最小二乘法拟合线性趋势方程ŷₜ=a+bt（t=1对应2015年）；（3）预测2025年该地区的GDP（保留1位小数）。21.为研究居民收入（x，万元）对消费支出（y，万元）的影响，收集了10户家庭的样本数据，计算得：∑x=50，∑y=30，∑x²=300，∑y²=100，∑xy=180（1）计算相关系数r，并判断相关程度；（2）建立一元线性回归方程ŷ=β₀+β₁x；（3）解释回归系数β₁的实际意义；（4）若某家庭收入为8万元，预测其消费支出（保留2位小数）。五、综合应用题（25分）22.某电商平台为分析用户复购行为，收集了1000名用户的以下数据：-年龄（x₁，岁）-月均消费金额（x₂，元）-首次购买到复购的时间间隔（y，天）部分统计量如下：样本均值：x̄₁=28，x̄₂=850，ȳ=45样本协方差矩阵：[Var(x₁)=25,Cov(x₁,x₂)=30,Cov(x₁,y)=-15][Cov(x₂,x₁)=30,Var(x₂)=10000,Cov(x₂,y)=-200][Cov(y,x₁)=-15,Cov(y,x₂)=-200,Var(y)=400]（1）计算年龄与月均消费金额的相关系数；（2）计算月均消费金额对复购时间间隔的简单相关系数，并说明其经济意义；（3）建立复购时间间隔关于年龄和月均消费金额的多元线性回归方程ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂；（4）若某用户年龄30岁，月均消费1000元，预测其复购时间间隔；（5）分析回归系数的符号是否符合实际意义（需结合变量定义说明）。答案一、单项选择题1-5：CABBD6-10：ADBCB二、填空题11.0.612.3.613.t；n-114.减小15.e⁻²≈0.135三、简答题16.核心内容：独立同分布的随机变量序列，当样本量n足够大时，其均值的分布近似服从正态分布，无论原总体分布如何。作用：为大样本下的参数估计（如置信区间）和假设检验（如Z检验）提供了理论依据，使非正态总体的统计推断成为可能。17.p值是在原假设成立的条件下，出现当前样本统计量或更极端情况的概率。决策规则：若p值≤显著性水平α（如0.05），则拒绝原假设；若p值>α，则不拒绝原假设。p值越小，拒绝原假设的证据越强。18.参数检验优点：检验效能高（易发现差异），可推断总体参数；缺点：依赖总体分布假设（如正态性）。非参数检验优点：不依赖总体分布，适用于定性数据或分布未知的情况；缺点：检验效能较低（可能漏掉真实差异）。适用场景：如比较两组患者的疗效等级（有序分类数据），或检验某变量是否服从特定分布（如卡方拟合优度检验）。四、计算分析题19.（1）样本比例p̂=120/200=0.6；样本方差s²=p̂(1-p̂)=0.6×0.4=0.24。（2）置信区间：p̂±Z√[p̂(1-p̂)/n]=0.6±1.96×√(0.24/200)=0.6±0.068，即[0.532,0.668]。（3）宽度=2×Z√[p̂(1-p̂)/n]≤0.06→n≥(2×1.96/0.06)²×0.24≈1024（取整）。20.（1）逐期增长量（后-前）：15,15,18,17,15,20,20,25,25；环比发展速度（后/前×100%）：112.5%,111.1%,112.0%,109.0%,108.1%,110.0%,109.1%,110.4%,111.3%。（2）t=1~10，∑t=55，∑t²=385，∑y=120+135+…+290=2073，∑ty=1×120+2×135+…+10×290=14645。b=(n∑ty-∑t∑y)/(n∑t²-(∑t)²)=(10×14645-55×2073)/(10×385-55²)=(146450-113915)/(3850-3025)=32535/825≈39.44a=ȳ-bt̄=2073/10-39.44×5.5=207.3-216.92≈-9.62趋势方程：ŷₜ=-9.62+39.44t。（3）2025年t=11，预测值=-9.62+39.44×11≈424.2（亿元）。21.（1）r=(n∑xy-∑x∑y)/√[(n∑x²-(∑x)²)(n∑y²-(∑y)²)]=(10×180-50×30)/√[(10×300-2500)(10×100-900)]=(1800-1500)/√[(500)(100)]=300/√50000≈300/223.61≈0.984，高度正相关。（2）β₁=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²)=300/500=0.6；β₀=ȳ-β₁x̄=3-0.6×5=0；回归方程：ŷ=0+0.6x。（3）β₁=0.6表示收入每增加1万元，消费支出平均增加0.6万元。（4）x=8时，ŷ=0.6×8=4.80（万元）。五、综合应用题22.（1）r(x₁,x₂)=Cov(x₁,x₂)/(√Var(x₁)√Var(x₂))=30/(5×100)=0.6。（2）r(x₂,y)=Cov(x₂,y)/(√Var(x₂)√Var(y))=-200/(100×20)=-1.0，说明月均消费金额与复购时间间隔完全负相关（消费越高，复购越快）。（3）设回归方程为ŷ=β₀+β₁x₁+β₂x₂，根据正规方程组：∑y=nβ₀+β₁∑x₁+β₂∑x₂∑x₁y=β₀∑x₁+β₁∑x₁²+β₂∑x₁x₂∑x₂y=β₀∑x₂+β₁∑x₁x₂+β₂∑x₂²由样本均值得∑y=1000×45=45000，∑x₁=1000×28=28000，∑x₂=1000×850=850000；∑x₁²=n[Var(x₁)+x̄₁²]=1000×(25+28²)=1000×809=809000；∑x₁x₂=n[Cov(x₁,x₂)+x̄₁x̄₂]=1000×(30+28×850)=1000×23830=23830000；∑x₂²=n[Var(x₂)+x̄₂²]=1000×(10000+850²)=1000×732500=732500000；∑x₁y=n[Cov(x₁,y)+x̄₁ȳ]=1000×(-15+28×45)=1000×1245=1245000；∑x₂y=n[Cov(x₂,y)+x̄₂ȳ]=1000×(-200+850×45)=1000×38050=38050000；代入正规方程：45000=1000β₀+28000β₁+850000β₂→45=β₀+28β₁+850β₂1245000=28000β₀+809000β₁+23830000β₂→1245=28β₀+809β₁+23830β₂38050000=850000β₀+23830000β₁+732500000β₂→38050=850β₀+23830β₁+