河南省南阳市六校联考2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题

高三年级数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意解不等式，再根据并集的定义即可求解．【详解】由题可知，，，所以.故选：D．2.已知复数（i为虚数单位），则z在复平面上对应的点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数除法法则得到，在复平面上对应的点坐标，判断出所在象限.【详解】，所以在复平面上对应的点在第二象限.故选：B3.已知平面向量满足，，，则在上的投影数量为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律及定义，结合投影数量的公式即可求解．【详解】设，因为，所以，解得，所以在上的投影数量为，故选：C．4.想要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向右平移个单位B.各点横坐标变为原来的2倍，再把图像向左平移个单位C.各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位D.各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位【答案】C【解析】【分析】根据三角函数解析式之间的关系结合三角函数图像变换关系进行判断即可．【详解】，将函数的图像各点横坐标变为原来的倍，再把图像向右平移个单位，即可得出函数的图像，故选：C．5.展开式中的系数是（）A.-8 B.24 C.-24 D.16【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理结合多项式乘多项式的法则即可求解.【详解】展开式中的系数为，的系数为，所以展开式中的系数是.故选：D6.已知函数是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意知得出函数周期，由奇函数的性质得出时的解析式，结合对数恒等式即可求解．【详解】由题意得，，对称轴为直线，则，所以，所以，所以，则的周期，因为，所以，又当时，，函数是定义在上的奇函数，所以时，，所以，故选：A．7.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理即可求解.【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为，连接，则，，，由椭圆的定义可知，在和由余弦定理可得，整理得，所以，即.故选：B8.若关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用同构思想变形不等式，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数求出最小值即可.【详解】不等式，令函数，显然函数在上单调递增，依题意，不等式恒成立，即，令函数，求导得，当时，；当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，因此当时，，，所以实数k的取值范围是.故选：B二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知为两个随机事件，且，，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若相互独立，则C.若相互独立，则D.若，则【答案】AB【解析】【分析】根据互斥事件概率的加法公式和对立事件概率的公式可判断A；根据独立事件同时发生的概率公式和对立事件概率的公式可判断B；根据独立事件同时发生的概率公式和容斥原理可判断C；根据条件概率公式可判断D.【详解】若，则与互斥，所以，故A正确；若相互独立，则相互独立，则，故B正确；若相互独立，则，故C错误；若，则，故D错误.故选：AB10.记锐角的内角的对边分别为，已知，则（）A. B.C.的最大值为 D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】由余弦定理和，化简得到，可判定A正确；由正弦定理得到，结合两角和的正弦公式，化简得到，可判定B正确；设，则，得到，结合基本不等式，可判断C不正确；化简得到，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，可判定D正确.【详解】对于A，由余弦定理得，因为，可得，整理得，即，所以A正确；对于B，因为，由正弦定理得，又因为，可得，所以，即，所以，所以B正确；对于C，由且为锐角三角形，设，则，又由，可得，可得，解得，因为，因为，可得，当且仅当时，即时等号成立，又因为，所以等号不成立，则，所以，所以C不正确；对于D，由选项C得，其中，设，可得，令，解得或（舍去），当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，所以的最小值为，所以D正确.故选：ABD.11.已知抛物线，直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点，点是横坐标为的一定点，当时，弦恰被点平分，则以下结论正确的是（）A. B.C.的周长可以为 D.当时，【答案】ABC【解析】【分析】选项A，利用抛物线定义与梯形中位线性质，结合弦长及中点横坐标求出的值.选项B，设直线方程并联立抛物线，结合韦达定理与基本不等式，证明.选项C，结合弦长条件求出相关参数，利用抛物线定义转化周长表达式，判断其最小值小于14，从而确定周长可以为14.选项D，根据面积比得到线段长度关系，结合韦达定理求出点的横坐标，计算弦长后判断该选项错误.【详解】对于A选项，如图，分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，又，解得，故A正确；对于B选项，设直线的方程为，又抛物线，由，可得，则当且仅当时等号成立，故B正确；对于C选项，当时，，又，所以，由对称性，下面只考虑的情况，，设的周长为，如图，分别过点、向抛物线准线作垂线，垂足分别为、，则，周长的最小值为，故C正确；对于D选项，，，则，解得或-2(舍)，，，故D错误.故选：ABC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.有一组正整数从小到大排列为：1，2，6，7，9，m，这组数据的40％分位数等于它们的平均数，则m为________【答案】11【解析】【分析】根据平均数和百分位数的定义即可求解.【详解】因为，所以这组数据的40％分位数为第3个数据6，则，解得.故答案为：1113.已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则________【答案】1【解析】【分析】首先根据导数的几何意义求出直线与曲线的交点（切点），然后根据切点在直线上求出，最后求出直线与的交点（切点）即可求出.【详解】设直线在处的切点坐标为，在处的切点坐标为，，，因为直线是曲线和的公切线，所以，解得，则，把代入直线中可得，又，解得，把代入直线中可得，再把代入中可得，即，所以.故答案为：114.已知圆台的上下底面积之比为1:4，与圆台的上下底面和侧面都相切的球半径为1，则圆台的表面积为___【答案】【解析】【分析】画出截面图根据平面几何知识得到，再根据圆台的表面积公式即可求解.【详解】如图所示，作出圆台的轴截面，，分别为圆台上、下底面的圆心，球的截面圆内切于梯形，作于点，连接，则，设球的半径为，圆台的上下底面半径分别为，易知圆台的高为，母线长为，由题意可知，，因为，，所以，把，代入方程可得，，所以圆台的表面积.故答案为：四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知单调递增的等差数列的前n项和为，且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）令是以2为首项，3为公比的等比数列，求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，列出方程，求解即可；（2）由错位相减法求和即可．【小问1详解】设等差数列的公差为，由题意得，，，由成等比数列得，，整理得，解得或，因为是单调递增的等差数列，所以，即，所以．【小问2详解】由题可知，，由（1）得，，所以，则，，两式相减得，，整理得．16.记的内角A，B，C的对边分别为且．（1）求角B；（2）若的面积为为AC边上一点，满足．①求的周长；②求的长．【答案】（1）（2）12；【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角，结合辅助角公式即可求解；（2）由三角形面积公式及余弦定理得出为等边三角形，即可求解①；由余弦定理即可求解．【小问1详解】由得，，又角C为的内角，所以，则，解得或（舍）．【小问2详解】①因为，所以，由余弦定理得，，由及得，即为等边三角形，所以的周长为12；②由，所以，在中，由余弦定理得，所以．17.如图，在平行六面体中，，，，点在底面上的射影为底面中心．（1）证明：（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直性质、判定推理得证.（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法求解.【小问1详解】平行六面体中，，平面，而平面，则，在中，，则四边形是正方形，，而平面，因此平面，又平面，所以.【小问2详解】由平面，，得直线两两垂直，，又，则是正三角形，，同理，而，则，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面法向量，则，令，得，，设直线与平面所成的角为，，所以直线与平面所成角的正弦值为.18.已知双曲线离心率为，为坐标原点，为左、右焦点，直线过右焦点与右支交于两点，当轴时，.（1）求双曲线的方程；（2）若动点在双曲线右支上，设的平分线分别与轴、轴交于点、，直线与双曲线左、右支分别交于、两点，如图所示：①求实数的取值范围；②求面积的最大值.【答案】（1）（2）①②【解析】【分析】（1）根据双曲线通径的长，离心率的公式以及之间的关系列方程组求解即可；（2）①由角平分线性质结合双曲线的定义可得，再利用得出的取值范围，解关于的不等式即可求解；②直线与双曲线联立，根据①求出的范围，由，最后利用导数判断函数的单调性即可求出最大值.【小问1详解】设双曲线的焦距为，把代入双曲线方程可得，由题意可知，解得，所以双曲线的方程为.【小问2详解】①由（1）可知，由角平分线性质可得，又，联立两式可得，因在双曲线右支上，所以且，即，所以，，所以，解得，又，所以的取值范围为.②由①可知；当时，，，此时直线的方程为，即，令，得，直线的斜率最小，，且，设，直线的方程为，则，由消去得，则，，，由图可知，令，，因为，所以，在上单调递增，所以，所以面积的最大值为.19.已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若函数都存在两个不同零点，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，给定满足条件的常数，证明：当取最小值时，.【答案】（1）当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）利用导数讨论参数的范围进而研究函数的单调性；（2）将恒成立问题转化成对恒成立，构造，利用导数求函数的最值求解；（3）先用换元法简化变量，再利用导数研究函数的最值去分析的最小值条件即可.【小问1详解】已知的定义域为，，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，所以当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.综上所述，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】由（1）可知，当时