2025-2026学年吉林省长春市慧泽高中高二（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春市慧泽高中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.双曲线x2−y2A.y=12x B.y=±2x C.y=2x2.已知数列{an}满足a1=1，aA.3 B.5 C.7 D.93.数列{an}满足a1=3，aA.−23 B.−12 C.4.若直线l1平行于直线x+2y=0，且垂直于直线l2：mx−3y−1=0，则m=(

)A.32 B.−32 C.65.若双曲线x2−y2=1的弦被点A.3x−4y−2=0 B.x+2y−4=0 C.3x+2y−8=0 D.2x−y−3=06.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S3=1，A.7 B.8 C.15 D.167.在直三棱柱ABC−A′B′C′中，侧棱长为3，底面是边长为4的正三角形，则异面直线AB′与BC′所成角的余弦值为(

)A.12 B.13 C.1208.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，关于原点对称的两点A、BA.2 B.102 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列有关数列的说法正确的是(

)A.在数列1，3，5，7，3，…中，第8个数可能是15

B.数列{an}的通项公式为an=n(n+1)，则110是该数列的第10项

C.等比数列{an}中，a3=1，a10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，a1>0，aA.d<0 B.Sn的最大值为S6

C.当Sn>0时，n的最大值为12 D.数列{Snn11.已知P为抛物线C：x2=4y上一点，F为C的焦点，直线l的方程为3x+4y+6=0，则下列说法正确的有(

)A.若A(3,4)，则|AP|+|PF|≥5

B.点P到直线l与到直线y=−2的距离之和的最小值为2

C.若M，N是抛物线C上的两点且满足OM⊥ON，则直线MN过定点(0,4)

D.若存在点P，使得过点P可作两条垂直的直线与圆x2+(y−4)2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆心为(5,3)，且与x轴相切的圆的标准方程为

．13.如图，在棱长为4的正方体ABCD−A1B1C1D1中，F，G分别是AB，CC114.已知数列{an}满足a12+a222+⋯+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在各项都是正数的等比数列{an}中，a1=1，a9=4a7．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)16.(本小题15分)

已知抛物线C：y2=2px的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点．

(Ⅰ)求抛物线的标准方程；

(Ⅱ)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|17.(本小题15分)

在数列{an}中，a1=12，an+1an+an+1−an=0．

(Ⅰ)求证：数列{1a18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=2，E是BC的中点，点Q在侧棱PC上，PQ=tPC．

(Ⅰ)求证：直线DE⊥平面PAD；

(Ⅱ)求t的值，使得平面ABCD与平面QDE夹角的余弦值为1019.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点(1,32)在椭圆C上，过点P(4,0)的直线交椭圆C于A，B两点．

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)求△OAB面积的最大值(O为坐标原点)；

(Ⅲ)已知点Q(52,0)，连接BQ，过点A作直线AD//x轴，且与直线BQ交于点参考答案1.B

2.C

3.D

4.C

5.D

6.C

7.D

8.B

9.AB

10.ABD

11.ACD

12.(x−5)13.814.(315.解：(Ⅰ)设等比数列{an}的公比为q，由题知q>0，

由a9=4a7⇒a7q2=4a7，所以q=2，16.(Ⅰ)抛物线C：y2=2px的焦点到准线的距离为p，

由已知该距离为4，故p=4，

则抛物线的标准方程为y2=8x；

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，抛物线焦点F(2,0)，

由直线l倾斜角为45°，得斜率k=tan45°=1，

故直线l的方程为y=x−2，

联立y=x−2y2=8x，消去y得x2−12x+4=0，

显然Δ>0，设A(x117.证明：(Ⅰ)因为an+1an+an+1−an=0，

所以1+1an−1an+1=0，

所以1a18.解：(Ⅰ)证明：因底面ABCD是边长为2的菱形，且AD=BD，则△DBC是等边三角形，

又因E是BC的中点，则DE⊥BC，

因AD//BC，则DE⊥AD，

因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，DE⊂平面ABCD，

故直线DE⊥平面PAD；

(Ⅱ)取AD的中点为O，连OP，OB，

因PA=PD=2，AD=2，则OP⊥AD，且OP=1，

因平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，OP⊂平面PAD，则OP⊥平面ABCD，

易得OB⊥AD，且OB=32×2=3，

则OA，OB，OP两两垂直，故可以点O为坐标原点，分别以OA，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则D(−1,0,0)，P(0,0,1)，E(−1,3,0)，C(−2,3,0)，

因点Q在侧棱PC上，PQ=tPC，则PQ=tPC=t(−2,3,−1)=(−2t,3t,−t)，t∈[0,1]，

所以DQ=DP+PQ=(1,0,1)+(−2t,3t,−t)=(1−2t,3t,1−t)，DE=(0,19.解：(I)因为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，点(1,32)在椭圆C上，

所以ca=121a2+94b2=1a2=b2+c2，解得a=2b=3c=1，椭圆C的方程为x24+y23=1；

(Ⅱ)因为过点P(4,0)的直线交椭圆C于A，B两点，

当直线AB与x轴重合时△OAB的面积为0，不符合题意，所以直线AB与x轴不重合，

设直线AB的方程为x=my+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立直线和椭圆方程x=my+4x24+y