河南省百师联盟2025-2026学年上学期高三1月月考数学试卷(含解析)

2026届高三年级1月联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈ℤ|A.1 B.2 C.3 D.42.若方程x25−m+yA.(−2,5) B.(5,+∞)C.(−∞,−2)∪(5,+∞) D.(−∞,−2)3.在平面直角坐标系中，从点P(1,0)出发的一束光线经直线x+y−2=0上的点A反射后，又经过y轴上的点Q反射后经过点A.5+1 C.10 D.104.下列说法正确的是A.过圆x2+y2B.集合{x|C.函数y=D.平面内到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线5.在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c。若sinB(c−bA.32 B.C.34 D.6.函数f(x)=3sin(ωx+φ)

(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，

A.62 B.6C.−6 D.7.已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1

(a>A.79 B.C.73 D.8.已知函数f(x)=ex−e−A.(−∞,2−2ln2] C.(−∞,2ln2] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.已知正项等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Sn，若A.aB.qC.aD.当Sn最小时，10.已知圆C:x2+yA.存在b使得圆C关于直线l对称B.圆心到直线l的距离最小值为2C.当b2=22−1时，直线D.存在b使得圆C上有三个点到直线l的距离为111.已知F为椭圆C:x29+y25=1的左焦点，直线l:y=kx

(k≠0)与椭圆A.直线BE的斜率为1B.∠PABC.∆ABE面积的最大值为D.4|AF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)={e13.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠BAA14.已知F1，F2分别为双曲线C:x24−y25=1的左、右焦点，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B。若双曲线C在A，B两点处的切线相交于点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）已知平面内三点A(2,3)，B(4,−1)，（1）若直线l1经过点A且与线段BC有交点，求直线l（2）若直线l2经过点A，且与x，y轴的正半轴分别交于P，Q两点，求|AP|·|16.（15分）如图，在三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=（1）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值；（2）求二面角O−17.（15分）已知一动圆的圆心为M，该动圆与圆C1:x（1）求该动圆圆心M的轨迹方程；（2）设圆心M的轨迹为曲线C。点P在曲线C上（异于顶点），A1(−6,0)，A2(6,0)，F(−3,0)，直线A1P交y轴于点Q18.（17分）已知函数f(x)=a（1）讨论函数f(x（2）设g(x)=f(x)−lnx（3）当a=2时，函数y=f(x)−m有两个零点x19.（17分）我们把形如(abcd)的数学对象称作一个2×2（1）若矩阵B=(0110（2）若矩阵B=(abcd)，其中a，b，c，d都是正整数，且满足（3）现定义：Ak+1=Ak·A写出数列{ak}与{bk}间的递推关系式；记λ1=−1−52，λ2026届高三年级1月联考数学参考答案及评分意见1.C【解析】因为集合A={x∈Z|x2+x−6≤0}={−2,−1,0,1}，2.B【解析】由题意得{5−m<0m+2>0，解得m>5，即实数3.D【解析】点P(1,0)关于直线x+y−2=0对称的点为P1(2,1)，关于y轴对称的点为P2(−1,0)。由对称性可知，|P4.A【解析】对于A，圆x2+y2=7的圆心为点O(0,0)，x02+y02=7，切线与直线OP垂直，当直线OP和切线的斜率都存在时，kOP=y0x0，所以切线的斜率k=−x0y0，则切线方程为y−y0=−x0y0(x−x0)，化简得x0x+y0y=x02+y02=7。当直线OP的斜率不存在时，x0=0，y0=±7，切线方程为y=±7，满足x0x+y0y=7。当直线OP的斜率为0时，x5.C【解析】∵|AB→−AC→|=|CB→|=1，∴a=1。由sinB(c−b)=(sinA+sinC)(c−a)及正弦定理，得b(6.B【解析】过点C作CD⊥x轴于点D（图略），则由题意得CD=3。因为∆ABC是正三角形，所以AB=2。设函数f(x)的最小正周期为T，则T=4。因为ω>0，所以ω=2πT=π2，所以f(x)=3sin(π2x+φ)。因为OB=3OA，所以7.C【解析】∵点M在椭圆C上，∴|MF1|+|MF2|=2a。由题意知，直线MN平分∠F1MF2，∴MF1→+2MF2→=tMN8.A【解析】函数f(x)=ex−e−x−2sinx22sin2x4因为f(xex−a)+f(−2lnx−2x)≥0在(0,+∞)上恒成立，即f(xex−a)≥−f(−2lnx令t=lnx+x，则t∈因为h'(t)=et−2，解h'(所以h(t)在(−∞,ln2)上单调递减，在(ln2,+∞)上单调递增，所以h(t)≥h(ln2)=2−2ln故选A。9.BC【解析】由题意和正项等比数列的性质，得S8=(a3a6)4=4096，a3a6>0，解得a3a6=8，故A错误。∵a3=1，∴a6=8，∴q3=a6a3=8，解得q=2，故B正确。a5=a3q2=4，故C正确。∵10.BCD【解析】由题意得，圆C的圆心为C(0,0)，半径r=2。若圆C关于直线l对称，则圆心C在直线l上，即0=0+b2+1，关于b的方程没有实数解，所以不存在b使得圆C关于直线l对称，故A错误。圆心C到直线l的距离d=b2+12≥因为圆心C到直线l的距离为222=2=r，所以直线l与圆C相切，故C正确。因为r=2，所以当圆C上有三个点到直线l的距离为1时，圆心C到直线l的距离为1，即b2+12=111.AD【解析】由椭圆和直线的对称性，设k>0，点A在x轴上方，椭圆的右焦点为F'，如图。设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，k=y0x0m29+n25=1①，x029+y025=1②。①-②得n2−y02m2−x02=−59，又kPB=kBE=12k，所以kPA·12k=−59，所以kPA·k=−109，即kPA·kAB=−109，所以直线PA与AB不垂直，即∠PAB不是直角，故B错误。联立椭圆C的方程x29+y25=1与直线l的方程y=12.15【解析】方法一：∵当x>1时，f(x)=2f(x−1)+1，∴f(x)+1=2[f(x−1)+1]。∵当x≤1时，f(x)=ex−1，∴f(1)=1，∴f(1)+1=2，∴方法二：∵当x>1时，f(x)=2f(∵当x≤1时，f(x)=ex13.33【解析】∵A1C→=A1A→+AC→=A1A→+AB→+AD→，∠∵AC1→=AA14.215【解析】由题意得F1(−3,0)，F2(3,0)，设A(x1,y1)，B(x2,y2)（xA，B都在直线x0x4−y0y5=1上.因为点F2在直线AB上，所以x0=43，即P43,y0，直线l的方程为x43−y0y5=1，即x=3y0y5+3.由题意知，直线l的倾斜角不为0，则直线l的方程可设为x=my另解：同上，得P43,y0，−253<y0<253.在双曲线C中，c=3，a2=4，所以离心率15.解：（1）因为A(2,3)，B(4,−1)，所以直线<em>AB，AC的斜率分别为kAB因为直线<em>l₁经过点A且与线段BC有交点，所以其斜率k满足即−2≤k≤−15，即直线l（2）由题意，得直线l₂的斜率存在，设为k'，则k因为直线<em>l₂过点A(2,3)，所以直线l₂令y=0，解得x=2−3k'；令x=0，解得所以|=61当且仅当1k'2=k此时直线<em>l₂的方程为16.解：方法一：（1）设点O到平面ABC的距离为d.因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC=O所以OA⊥因为OB⊥OC，所以∆AOB，∆AOC，∆BOC都是直角三角形，OA因为OA=OC=3所以S∆OBC=12所以S∆ABC=12×32×(13)2-3222=3172。 4分由等体积法，V三棱锥O−所以直线OB与平面ABC所成角的正弦值为dOB=617172=31717。 7分（2）过点O作OD⊥BC于点D，连接由（1）知，OA⊥平面BOC，又因为BC⊂平面BOC，OD⊂平面BOC，所以OA⊥BC，OA⊥OD。 9分因为OD∩OA=A，OD⊂平面AOD，OA⊂平面AOD，所以BC⊥平面AOD。 10分因为AD⊂平面AOD，所以BC⊥AD，所以∠ODA是二面角O-BC-A的平面角。 12分在Rt∆BOC中，由等面积法及（1）中数据，得所以在Rt∆AOD中，tan∠ODA=OAOD=361313=132。 15分方法二：（1）因为OA，OB，OC两两垂直，所以以点O为坐标原点，OB，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 1分因为OA=OC=3，OB=2，所以O(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,3,0)，A(0,0,3)。 3分设平面ABC的法向量为m=(x因为AB→=(2,0,−3)，AC令z=2，则x=3，y=2，所以m=(3,2,2)。 7分设直线OB与平面ABC所成的角为θ，则sinθ=|cos⟨因为OB→=(2,0,0)，所以sinθ=|OB→·m||OB→||m|=62×17=31717。 9分（2）由（1）知，平面ABC的一个法向量为m=(3,2,2)。 10分OA→=(0,0,3)是平面OBC的一个法向量。 11分由题可知，二面角O−BC−A的平面角所以cosα=|cos⟨OA→因为sinα=所以tanα=sinαcosα=22117217.解：（1）设动圆M的半径为R。由题意，圆C1与圆C2的标准方程分别为(x∴C1(−3,0)，半径r1=2，C由题意得|MC1|=R∴由椭圆的定义，得圆心M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为12，焦距为6的椭圆。⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分在椭圆中，a=6，c=3，∴圆心M的轨迹方程为x236+（2）由（1）知，曲线C即椭圆x2由题意，点A1，A2是椭圆由题意知，直线A1P的斜率一定存在，设为k，则k≠0，且k≠±3∴Q(0,6k设P(由{x236+y由题意得−6xP=144k∵点A2到直线A1P的距离d∴S∆A∵S∴36|k||3−4解得k2=14或当k2=14时，当k=94时，xP=−3综上，|A1P|的值为952或3132。 15分18.（1）解：函数f(x)=af'(x)=-2ax3+1x=x2-2ax3。 1分当a≤0时，f'(x)>0恒成立，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增； 2分当a>0时，令f'(x)=0，解得x=2a，当x∈(0,∴f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增。 4分综上所述，当a≤0时，f(x)当a>0时，f(x)在(0,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增。 5分（2）解：由题意g(x)=f(x)-lnxx=ax2，∴e-ax2lnx-g(x)≥0即e-ax2lnx-ax2≥0。 6分∵x∈[e,+∞)，∴不等式可化为xlnx≥ax2eax2，即elnxlnx≥ax2eax2。 7分设φ(x)=xex，则当x<0时，φ(xφ'(x)=(x+1)ex，当x∵x∈[e,+∞)，∴lnx>1，即a≤x2lnx在[e,+∞)上恒成立。 9分设h(x)=x2∴h(x)在∴a≤e2，即实数a的取值范围是(-∞,e2]。 11分（3）证明：由（1）知，当a=2时，f(x)在(0,2)函数y=f(x)−m有两个零点x1，x要证x1+x2>4，只要证x2>4−x1又∵f(x2)=f(x1)，∴只要证f(x1)>f(4-x1)。 13分设F(x)=f(则F'(当0<x<2时，x−2<0，x∴F'(x)<0，∴F(x)单调递减，∴F(x)≥F(2)=0。 15分∴F(x∴x1+x2>4。 17分19.（1）解：∵A=(2∴由矩阵乘法的定义，得A⋅BB⋅A=(0110)⋅(2111)=(1121) 4分（2）证明：∵A∴由矩阵乘法的定义，得A⋅B⋅A=(abcd)⋅(2111)=(2a+ba+b2c+dc+d) 7分∵A·B=B·A，∴{2a+c=2a+b,2b+d=a+b,a+c=2c+d,b+d=c+d,化简得{b=c,a=b+d 8分∵ad-bc