九年级数学上学期练习kf拔尖专训 5 一元二次方程的特殊解法

拔尖专训5一元二次方程的特殊解法1．阅读下面的例题：解方程：x2－|x|－2＝0.解：①当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)；②当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.综上，原方程的根是x1＝2，x2＝－2.请参照例题解方程：x2－|x－3|－3＝0.【解】①当x－3≥0，即x≥3时，原方程可化为x2－(x－3)－3＝0，即x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1(均不合题意，舍去)；②当x－3＜0，即x＜3时，原方程可化为x2＋x－3－3＝0，即x2＋x－6＝0，解得x1＝－3，x2＝2.综上所述，原方程的根是x1＝－3，x2＝2.2．2y2－3y＋1＝03．[2025韶关月考]为解方程(x2－3)2－7(x2－3)＋6＝0，我们可以将x2－3视为一个整体，然后设x2－3＝t，则原方程化为t2－7t＋6＝0，解此方程得t1＝1，t2＝6.当t＝1时，x2－3＝1，∴x＝±2；当t＝6时，x2－3＝6，∴x＝±3.∴原方程的解为x1＝2，x2＝－2，x3＝3，x4＝－3.以上方法叫作换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程．(1)请用上述方法解方程：x4－5x2＋4＝0；【解】设y＝x2，则原方程化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2，∴原方程的解为x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(2)已知实数x，y满足(2x2＋2y2)2－2(2x2＋2y2)－15＝0，求x2＋y2的值．4．我国古代数学家赵爽在《勾股圆方图注》中记载了用几何法对一元二次方程进行求解的方法．例如，求方程x2＋2x＝35正根的方法．如图，构造4个长为x＋2，宽为x的矩形，围成一个边长为x＋2＋x的大正方形，∴S1＝S2＝S3＝S4＝x(x＋2)，易知S5＝22，∴大正方形的面积为4×x(x＋2)＋22＝4×(x2＋2x)＋4＝4×35＋4＝144，∴大正方形的边长为12，即x＋2＋x＝12，∴x＝5.(1)请利用上面方法画出图形，求方程x2＋4x－15＝0的正根，并写出分析过程；

(2)你能否用几何法求方程m2－2m－5＝0的正根，如果能，请直接画出图形，并标注相关信息．【解】能．画出图形如图②.5．阅读下面的内容，按要求完成题目：已知方程①x2－1＝0的两根是x1＝1，x2＝－1；方程②x2＋x－2＝0的两根是x1＝1，x2＝－2；方程③x2＋2x－3＝0的两根是x1＝1，x2＝－3；方程④x2＋3x－4＝0的两根是x1＝1，x2＝－4.(1)请用适当的方法求方程x2＋4x－5＝0的两根；【解】∵x2＋4x－5＝0，∴(x－1)(x＋5)＝0，∴x1＝1，x2＝－5.(2)观察上面几个方程的根的特点，请直接写出方程

x2＋2024x－2025＝0的两根是x1＝________，x2＝________，并验证你的结果；1－2025检验：∵当x＝1时，左边＝12＋2024×1－2025＝0＝右边；当x＝－2025时，左边＝(－2025)2＋2024×(－2025)－2025＝0＝右边，∴方程的根是x1＝1，x2＝－2025.(3)请直接写出关于x的方程x2＋(n－1)x－n＝0的两根是x1＝________，x2＝________．1－n6．我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程．例如：一元三次方程x3＋x2－2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x(x2＋x－2)＝0，通过解方程x＝0和x