九年级数学上学期练习kl拔尖专训 8 相似中的动点探究问题

拔尖专训8相似中的动点探究问题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是BC的中点，连结AE，P是边AD上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点D′处，当△APD′是直角三角形时，PD＝________. 【点拨】2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以5cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以4cm/s的速度向点B匀速运动，运动时间为ts(0＜t＜2).

(1)如图①，连结PQ.若△BPQ与△ABC相似，求t的值；(2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值；

【点拨】(3)如图②，连结AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.3．综合与实践

(1)【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图①，已知正方形ABCD，E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG，点F在射线CG上，且∠EBF＝90°，连结EF.通过观察图形，直接写出BE与BF的数量关系：__________. BE＝BF(2)【类比探究】该兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图②，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为对角线AC上一动点，过点C作垂直于AC的射线CG，点F在射线CG上，且∠EBF＝90°，连结EF.请判断线段AE与CF的数量关系，并说明理由. (3)【拓展应用】在(2)的条件下，当四边形BECF为轴对称图形时，请直接写出线段BF的长. 【点拨】4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点(F不与B，C重合)，EF与BD相交于点M，连结DE. (1)求证：△EDM∽△FBM；

【证明】∵AB＝2CD，E是AB的中点，∴DC＝EB.又∵AB∥CD，∴四边形BCDE为平行四边形，∴ED∥BC，∴△EDM∽△FBM.(2)若F是BC的中点，BD＝18，求BM的长；

(3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP·BP＝BF·CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由. ∴△PDC∽△FBP，∴∠BPF＝∠PCD.∵∠DPC＋∠CPF＋∠BPF＝180°，∠DPC＋∠PDC＋∠PCD＝180°，∴∠PDC＝∠CPF.易知AD＝BC＝DE＝DC＝BE＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴∠AED＝60°，∴易得∠EDB＝∠PDC＝30°，∴∠CPF＝30°.5．[2025深圳福田区期中]定义：在△ABC内有一点P，连结PA，PB，PC.在所得的△ACP，△ABP，△BCP中，若有且只有两个三角形相似，则称点P为△ABC的相似心.(1)如图①，在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点上，点P为△ABC内一点，请判断点P是否为△ABC的相似心．若是，请直接写出相似的两个三角形；若不是，请说明理由.【解】点P是△ABC的相似心，△ABP∽△CAP.(2)如图②，在平面直角坐标系中，点A与点B分别为x轴负半轴、y轴正半轴上的两个动点，连结AB，设△OAB的外角平分线AM，BM交于点M，延长MB，MA分别交x轴于点G，交y轴于点H，连结GH. ①∠BMA的度数是________. 45°②求证：点O为△MHG的相似心. 【证明】如图，过点M分别作MQ⊥x轴，MP⊥y轴，MN⊥AB