人教版七年级数学下册《平行线与数学思想方法》专项练习题（含答案解析）

第第页人教版七年级数学下册《平行线与数学思想方法》专项练习题（含答案解析）一．转化思想1．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm22．平行线的判定定理和性质定理可以实现“角度的数量关系”与“直线的位置关系”之间的转化，请补全以下推理过程：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）∴AD∥EF．（）∴∠2+∠EAD＝180°．（）∵∠1+∠2＝180°，（已知）∴∠1＝∠．（同角的补角相等）∴AE∥HG．（）∴∠B＝∠BDH．（）∵∠B＝50°，（已知）∴∠BDH＝50°．（等量代换）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（）∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）∵AD∥EF，（已证）∴∠H＝∠1＝°．（）3．【阅读理解】如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）请将下面推理过程补充完整；解：如图①，过点A作ED∥BC则∠B＝∠EAB，∠C＝．因为＝180°所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图②，已知AB∥ED，试说明：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．【深化拓展】（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图③，若点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，求∠BED的度数．②如图④，若点B在点A的右侧，∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．二．分类讨论思想4．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为．5.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为．6．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．三．方程思想7．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝°；（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？8．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求证：AD∥BC；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．9．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠AFE＝∠C+∠CEF；（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．四．类比迁移思想10．【问题情境】：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC的度数．小明的思路是：过P作PE∥AB，通过平行线性质来求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度数；【问题迁移】：如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PAB＝α，∠PCD＝β，当点P在B、D两点之间运动时，问∠APC与α、β之间有何数量关系？请说明理由；【问题应用】：（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出∠APC与α、β之间的数量关系．参考答案与解析一．转化思想1．如图，将直角三角形ABC沿AB方向平移2cm得到△DEF，DF交BC于点H，CH＝2cm，EF＝5cm，则阴影部分的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．12cm2 D．16cm2【分析】由平移的性质可知BC＝EF，BE＝AD＝2cm，∠ABC＝∠E＝90°，进而得出BH的长，根据S阴影＝S直角梯形BEFH，即可得出答案．【解答】解：由平移的性质可知BC＝EF＝5cm，BE＝AD＝2cm，∠DEC＝∠B＝90°，S阴影＝S直角梯形BEFH∴BH＝BC﹣CH＝3cm∴S阴影＝S直角梯形BEFH＝（3+5）×2＝8（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了平移的性质，求阴影部分的面积等，将阴影部分的面积转化为规则图形面积是解题的关键．2．平行线的判定定理和性质定理可以实现“角度的数量关系”与“直线的位置关系”之间的转化，请补全以下推理过程：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数．解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵∠1+∠2＝180°，（已知）∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）∵∠B＝50°，（已知）∴∠BDH＝50°．（等量代换）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）∵AD∥EF，（已证）∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）【分析】先证明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，则∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知）∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵∠1+∠2＝180°，（已知）∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等）∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行）∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等）∵∠B＝50°，（已知）∴∠BDH＝50°．（等量代换）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB＝90°．（垂直的定义）∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义）∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质）∵AD∥EF，（已证）∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等）故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等．【点评】本题考查了平行线的判定与性质以及补角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．3．【阅读理解】如图①，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．（1）请将下面推理过程补充完整；解：如图①，过点A作ED∥BC则∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC．因为∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°所以∠B+∠BAC+∠C＝180°．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将∠BAC，∠B，∠C“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图②，已知AB∥ED，试说明：∠D+∠BCD﹣∠B＝180°．【深化拓展】（3）已知AB∥CD，点C在点D的右侧，∠ADC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．①如图③，若点B在点A的左侧，∠ABC＝50°，求∠BED的度数．②如图④，若点B在点A的右侧，∠ABC＝100°，直接写出∠BED的度数．【分析】[阅读理解]（1）根据平行线的性质可得∠EAB＝∠B，∠DAC＝∠C，结合平角的性质即可求解；[方法运用]（2）如图所示，过点C作CM∥AB，可得AB∥CM∥DE，根据平行线的性质可得∠ABC＝∠BCM，∠DCM+∠D＝180°，由此即可求解；[深化拓展]（3）①如图所示，过点E作EN∥AB，可得AB∥EN∥CD，根据平行线的性质可得∠ABE＝∠BEN，∠CDE＝∠DEN，再根据角平分线的性质即可求解；②如图所示，过点E作EH∥AB，同理可得，AB∥EH∥CD，根据平行线，角平分线的性质即可求解．【解答】解：[阅读理解]（1）如图所示，过点A作ED∥BC，则∠B＝∠EAB，∠C＝∠DAC∵∠EAB+∠BAC+∠DAC＝180°∴∠B+∠BAC+∠C＝180°故答案为：∠DAC，∠EAB+∠BAC+∠DAC；[方法运用]（2）如图2所示，过点C作CM∥AB∵AB∥DE∴AB∥CM∥DE∴∠B＝∠BCM，∠D+∠DCM＝180°∵∠BCD＝∠BCM+∠DCM∴∠DCM＝∠BCD﹣∠BCM＝∠BCD﹣∠B∴∠D+∠DCM＝∠D+∠BCD﹣∠B＝180°；[深化拓展]（3）①如图3所示，过点E作EN∥AB∵AB∥CD∴AB∥EN∥CD∴∠ABE＝∠BEN，∠CDE＝∠DEN∴∠BED＝∠ABE+∠CDE∵BE平分∠ABE，DE平分∠ADC，∠ABC＝50°，∠ADC＝60°∴∴∠BED＝25°+30°＝55°；②如图4所示，过点E作EH∥AB同理可得，AB∥EH∥CD∴∠ABE+∠BEH＝180°，∠CDE＝∠DEH∴∠BED＝∠BEH+∠DEH∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝100°，∠ADC＝60°∴∴∠BEH＝180°﹣∠ABE＝180°﹣50°＝130°∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠BEH+∠CDE＝130°+30°＝160°．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，角的计算，关键是角的和差计算方法的掌握．二．分类讨论思想4．已知∠1的两边分别平行于∠2的两边，若∠1＝40°，则∠2的度数为40°或140°．【分析】①图1时，由两直线平行，同位角相等，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为40°；②图2时，同两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，等量代换和角的和差计算出∠2的度数为140°．【解答】解：①若∠1与∠2位置如图1所示：∵AB∥DE∴∠1＝∠3又∵DC∥EF∴∠2＝∠3∴∠1＝∠2又∵∠1＝40°∴∠2＝40°；②若∠1与∠2位置如图2所示：∵AB∥DE∴∠1＝∠3又∵DC∥EF∴∠2+∠3＝180°∴∠2+∠1＝180°又∵∠1＝40°∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣40°＝140°综合所述：∠2的度数为40°或140°故答案为：40°或140°．【点评】本题综合考查了平行线的性质，角的和差，等量代换，邻补角性质，对顶角性质等相关知识点，重点掌握平行线的性质，难点是两个角的两边分别平行是射线平行，分类画出符合题意的图形后计算．5.一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD＝15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为45°，60°，105°，135°．【分析】根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．【解答】解：如图①，当AC∥DE时，∠BAD＝∠DAE＝45°；如图②，当BC∥AD时，∠DAB＝∠B＝60°；图①图②如图③，当BC∥AE时，∵∠EAB＝∠B＝60°∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+60°＝105°；图③图④如图④，当AB∥DE时，∵∠E＝∠EAB＝90°∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝45°+90°＝135°．故答案为：45°，60°，105°，135°．【点评】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．6．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．（1）填空：∠PNB+∠PMD＝∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB∴∠PNB＝∠NPQ∵AB∥CD∴PQ∥CD∴∠PMD＝∠QPM∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN故答案为：＝（2）①∵NO∥EF，PM∥EF∴NO∥PM∴∠ONM＝∠NMP∵∠PMN＝60°∴∠ONM＝∠PMN＝60°∵NO平分∠MNO∴∠ANO＝∠ONM＝60°∵AB∥CD∴∠NOM＝∠ANO＝60°∴α＝∠NOM＝60°；②点N在G的右侧时，如图②∵PM∥EF，∠EHD＝α∴∠PMD＝α∴∠NMD＝60°+α∵AB∥CD∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α∵NO平分∠ANM∴∠ANO∠ANM＝30°α∵AB∥CD∴∠MON＝∠ANO＝30°α点N在G的左侧时，如图∵PM∥EF，∠EHD＝α∴∠PMD＝α∴∠NMD＝60°+α∵AB∥CD∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON∵NO平分∠MNG∴∠BNO[180°﹣（60°+α）]＝60°α∴∠MON＝60°α综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α．综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α．【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．三．方程思想7．“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN＝2：1．（1）填空：∠BAN＝60°；（2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？【分析】（1）根据∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1，即可得到∠BAN的度数；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：当0＜t＜30时，根据4t＝2×（15+t），可得t＝15；当30＜t＜75时，根据2（15+t）+（4t﹣180）＝180，可得t＝55；【解答】解：（1）∵∠BAM+∠BAN＝180°，∠BAM：∠BAN＝2：1∴∠BAN＝180°60°故答案为：60；（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行①当0＜t＜45时，如图1∵PQ∥MN∴∠PBD＝∠BDA∵AC∥BD∴∠CAM＝∠BDA∴∠CAM＝∠PBD∴4t＝2×（15+t）解得：t＝15；②当45＜t＜75时，如图2∵PQ∥MN∴∠PBD+∠BDA＝180°∵AC∥BD∴∠CAN＝∠BDA∴∠PBD+∠CAN＝180°∴2（15°+t）+（4t﹣180°）＝180°解得：t＝55；综上所述，当t＝15秒或t＝55秒时，两灯的光束互相平行.8．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝∠C＝100°，E，F在CD上，且满足∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF．（1）求证：AD∥BC；（2）求∠DBE的度数；（3）若平行移动AD，在平行移动AD的过程中，是否存在某种情况，使∠BEC＝∠ADB？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据平行线的性质，以及等量代换证明∠ADC+∠C＝180°，即可证得AD∥BC；（2）由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠ABC的度数，又由∠DBE∠ABC，即可求得∠DBE的度数．（3）首先设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°，由直线AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，可求得∠BEC与∠ADB的度数，又由∠BEC＝∠ADB，即可得方程：x°+40°＝80°﹣x°，解此方程即可求得答案．【解答】证明：（1）∵AB∥CD∴∠A+∠ADC＝180°又∵∠A＝∠C∴∠ADC+∠C＝180°∴AD∥BC；（2）∵AB∥CD∴∠ABC＝180°﹣∠C＝80°∵∠DBF＝∠ABD，BE平分∠CBF∴∠DBE∠ABF∠CBF∠ABC＝40°；（3）存在．设∠ABD＝∠DBF＝∠BDC＝x°．∵AB∥CD∴∠BEC＝∠ABE＝x°+40°；∵AB∥CD∴∠ADC＝180°﹣∠A＝80°∴∠ADB＝80°﹣x°．若∠BEC＝∠ADB则x°+40°＝80°﹣x°得x°＝20°．∴存在∠BEC＝∠ADB＝60°．【点评】此题考查了平行线的性质与平行四边形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合与方程思想的应用．9．如图，AE平分∠BAC，∠CAE＝∠CEA．（1）如图1，求证：AB∥CD；（2）如图2，点F为线段AC上一点，连接EF，求证：∠AFE＝∠C+∠CEF；（3）如图3，在（2）的条件下，在射线AB上取点G，连接EG，使得∠GEF＝∠C，当∠AEF＝35°，∠GED＝2∠GEF时，求∠C的度数．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAE＝∠CAE，求出∠CEA＝∠BAE，根据平行线的判定得出即可；（2）过F作FM∥AB，求出AB∥FM∥CD，根据平行线的性质得出∠AFM＝∠C，∠CEF＝∠EFM，即可求出答案；（3）设∠GEF＝∠C＝x°，求出∠GED＝2x°，根据平行线的性质得出∠BAC＝180°﹣x°，根据角平分线的定义得出∠BAE∠BAC＝90°x°，根据平行线的性质得出∠BAE+∠AED＝180°，得出方程90x+x﹣35+2x＝180，求出x即可．【解答】（1）证明：∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠CAE∵∠CAE＝∠CEA∴∠BAE＝∠CEA∴AB∥CD；（2）证明：过F作FM∥AB，如图∵AB∥CD∴AB∥FM∥CD∴∠AFM＝∠C，∠CEF＝∠EFM∴∠AFE＝∠AFM+∠EFM＝∠C+∠CEF即∠AFE＝∠C+∠CEF；（3）解：设∠GEF＝∠C＝x°∵∠GED＝2∠GEF∴∠GED