福建省宁德一中2026届高一数学第一学期期末统考试题含解析

福建省宁德一中2026届高一数学第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．如果是定义在上的函数，使得对任意的，均有，则称该函数是“-函数”.若函数是“-函数”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617年）．在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：

12345678…1415…272829248163264128256…1638432768…134217728268435356536870912这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算64×256的值，就可以先查第一行的对应数字:64对应6，256对应8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的14，对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=A.134217728 B.268435356C.536870912 D.5137658024．设全集，集合，，则等于A. B.{4}C.{2,4} D.{2,4,6}5．已知函数，且函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是A. B.C. D.6．下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速A.①②④ B.④②③C.①②③ D.④①②7．若不等式(>0,且≠1)在[1,2]上恒成立，则的取值范围是A.(1,2) B.(2,)C.(0,1)(2,) D.(0,)8．直线和直线的距离是A. B.C. D.9．设则下列说法正确的是（）A.方程无解 B.C.奇函数 D.10．若幂函数f（x）的图象过点（16，8），则f（x）<f（x2）的解集为A.（–∞，0）∪（1，+∞） B.（0，1）C.（–∞，0） D.（1，+∞）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在下列四个函数中：①，②，③，④．同时具备以下两个性质：(1)对于定义域上任意x，恒有；(2)对于定义域上的任意、，当时，恒有的函数是______(只填序号)12．给出下列四个结论函数的最大值为；已知函数且在上是减函数，则a的取值范围是；在同一坐标系中，函数与的图象关于y轴对称；在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称其中正确结论序号是______13．已知，则___________.14．若关于的不等式的解集为，则实数__________15．在内不等式的解集为__________16．已知函数若函数有三个不同的零点，且，则的取值范围是____三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱垂直于底面，分别是的中点.求证：（1）平面平面；（2）平面平面.18．如图,△ABC中,,在三角形内挖去一个半圆(圆心O在边BC上,半圆与AC、AB分别相切于点C、M,与BC交于点N),将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个旋转体(1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小;(2)求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.19．在①；②关于x的不等式的解集是这两个条件中任选一个，补充在下面的问题（1）中并解答，若同时选择两个条件作答，以第一个作答计分（1）已知______，求关于的不等式的解集；（2）在（1）的条件下，若非空集合，，求实数的取值范围20．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，B1C⊥平面ABC，E，F分别是AC，B1C的中点（1）求证：EF∥平面AB1C1；（2）求证：平面AB1C⊥平面ABB121．设函数，其中，且.（1）求的定义域；（2）当时，函数图象上是否存在不同两点，使过这两点的直线平行于轴，并证明.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解.【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点，由可知，当时，函数是周期为1的函数，如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象，数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点，故函数有两个不同的零点.故选：A.2、A【解析】根据题中的新定义转化为，即，根据的值域求的取值范围.【详解】，，函数是“-函数”，对任意，均有，即，，即，又，或.故选：A【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，关键是读懂新定义，并使用新定义，并能转化为函数值域解决问题.3、C【解析】先找到16384与32768在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可.【详解】由已知可知，要计算16384×32768，先查第一行的对应数字:16384对应14，32768对应15，然后再把第一行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的536870912，所以有：16384×32768＝536870912,故选C.【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题.4、C【解析】由并集与补集的概念运算【详解】故选：C5、A【解析】函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点，再分别画出和的图像，通过观察图像得出a的范围.【详解】解：方程所以函数恰有三个不同的零点等价于与有三个交点记，画出函数简图如下画出函数如图中过原点虚线l，平移l要保证图像有三个交点，向上最多平移到l’位置，向下平移一直会有三个交点，所以，即故选A.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解决函数零点问题常转化为两函数交点问题6、D【解析】根据回家后，离家的距离又变为可判断（1）；由途中遇到一次交通堵塞，可判断中间有一段函数值没有发生变化；由为了赶时间开始加速，可判断函数的图像上升的速度越来越快；【详解】离开家不久发现自己把作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为，故应先选图像（4）；途中遇到一次交通堵塞，这这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像（1）；后来为了赶时间开始加速，则可知图像上升的速度越来越快，故应选图像（2）；故选：D【点睛】本题主要考查函数图象的识别，解题的关键是理解题干中表述的变化情况，属于基础题.7、B【解析】分类讨论：①若a>1,由题意可得：在区间上恒成立，即在区间上恒成立，则，结合反比例函数的单调性可知当时，，此时；②若0<a<1,由题意可得：在区间上恒成立，即，，函数，结合二次函数的性质可知，当时，取得最大值1，此时要求，与矛盾.综上可得：的取值范围是(2,).本题选择B选项.点睛：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件8、A【解析】因为直线即，故两条平行直线和的距离故选A9、B【解析】根据函数的定义逐个分析判断【详解】对于A，当为有理数时，由，得，所以A错误，对于B，因为为无理数，所以，所以B正确，对于C，当为有理数时，也为有理数，所以，当为无理数时，也为无理数，所以，所以为偶函数，所以C错误，对于D，因为，所以，所以D错误，故选：B10、D【解析】先根据幂函数f（x）的图象过点（16，8）求出α=>0，再根据幂函数的单调性得到0<x<x2，解不等式即得不等式的解集.【详解】设幂函数的解析式是f（x）=xα，将点（16，8）代入解析式得16α=8，解得α=>0，故函数f（x）在定义域是[0，+∞），故f（x）在[0，+∞）递增，故，解得x>1．故选D【点睛】(1)本题主要考查幂函数的概念和解析式的求法，考查幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)幂函数在是增函数，，幂函数在是减函数，且以两条坐标轴为渐近线.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、③④【解析】满足条件(1)则函数为奇函数，满足条件(2)则函数为其定义域上的减函数.分别判断四个函数的单调性和奇偶性即可.【详解】满足条件(1)则函数为奇函数，满足条件(2)则函数为其定义域上的减函数.①，f(x)奇函数，在定义域不单调；②，f(x)是偶函数，在定义域R内不单调；③，f(x)是奇函数，且在定义域R上单调递减；④，满足为奇函数，且根据指数函数性质可知其在定义域R上为减函数.综上，满足条件(1)(2)的函数有③④.故答案为：③④.12、【解析】根据指数函数单调性可得二次函数的最值，求得的最小值为；根据对数函数的图象与性质，求得a的取值范围是；同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称；同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称【详解】对于，函数的最大值为1，的最小值为，错误；对于，函数且在上是减函数，，解得a的取值范围是，错误；对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于x轴对称，错误；对于，在同一坐标系中，函数与的图象关于直线对称，正确综上，正确结论的序号是故答案为【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题13、##-0.75【解析】将代入函数解析式计算即可.【详解】令，则，所以.故答案为：14、【解析】先由不等式的解得到对应方程的根，再利用韦达定理，结合解得参数a即可.【详解】关于的不等式的解集为，则方程的两根为，则，则由，得，即，故.故答案为：.15、【解析】利用余弦函数的性质即可得到结果.【详解】∵，∴，根据余弦曲线可得，∴.故答案为：16、；【解析】作图可知:点睛：利用函数零点情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）因为是的中点，所以，由平面又可以得到，故平面得证.（2）因为三角形的中位线，所以，从而可以证明平面，同理平面，故而平面平面.解析：（1）∵底面，平面，∴，又矩形中，分别为中点，∴，，∴，∵，，平面，∴平面，∵平面，平面平面.（2）∵矩形中，分别为中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面，∵，，平面，∴平面平面.18、(1);(2)【解析】根据旋转体的轴截面图，利用平面几何知识求得球的半径与长，再利用面积公式与体积公式计算即可.【详解】解：（1）连接，则，设，在中，，；（2），∴圆锥球.【点睛】本题考查旋转体的表面积与体积的计算，球的表面积，圆锥的体积.19、（1）条件选择见解析，或（2）【解析】（1）若选①，分和，求得a，再利用一元二次不等式的解法求解；若选②，根据不等式的解集为，求得a，b，再利用一元二次不等式的解法求解；（2）由，得到求解；【小问1详解】解：若选①，若，解得，不符合条件若，解得，则符合条件将代入不等式并整理得，解得或，故或若选②，因为不等式的解集为，所以，解得将代入不等式整理得，解得或故或【小问2详解】∵，∴，又∵，∴或，∴或，∴20、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析.【解析】（1）通过证明，来证得平面.（2）通过证明平面，来证得平面平面.【详解】（1）由于分别是的中点，所以.由于平面,平面，所以平面.（2）由于平面，平面，所以.由于，所以平面,由于平面，所以平面平面.【点睛】本