贵州省贵阳市普通中学2026届高三数学第一学期期末达标测试试题含解析

贵州省贵阳市普通中学2026届高三数学第一学期期末达标测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形．若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（）A． B． C． D．2．以下关于的命题，正确的是A．函数在区间上单调递增B．直线需是函数图象的一条对称轴C．点是函数图象的一个对称中心D．将函数图象向左平移需个单位，可得到的图象3．已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为A． B． C． D．4．定义，已知函数，，则函数的最小值为（）A． B． C． D．5．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（）A．6种 B．12种 C．24种 D．36种6．已知复数，则（）A． B． C． D．27．复数的模为（）．A． B．1 C．2 D．8．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（）．A． B．C． D．9．设，则关于的方程所表示的曲线是（）A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线10．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于()A． B． C． D．11．已知集合，，则（）A． B． C． D．12．已知向量，则（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.14．若点在直线上，则的值等于______________.15．已知函数，则函数的极大值为___________．16．已知双曲线-=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点F到双曲线的渐近线的距离为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．18．（12分）记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“极差数列”仍是；（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.19．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标.20．（12分）在中，角的对边分别为，若.（1）求角的大小；（2）若，为外一点，，求四边形面积的最大值.21．（12分）已知函数．（1）若不等式有解，求实数的取值范围；（2）函数的最小值为，若正实数，，满足，证明：．22．（10分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.2、D【解析】

利用辅助角公式化简函数得到，再逐项判断正误得到答案.【详解】A选项，函数先增后减，错误B选项，不是函数对称轴，错误C选项，，不是对称中心，错误D选项，图象向左平移需个单位得到，正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性，对称轴，对称中心，平移，意在考查学生对于三角函数性质的综合应用，其中化简三角函数是解题的关键.3、B【解析】

直线的倾斜角为，易得．设双曲线C的右焦点为E，可得中，，则，所以双曲线C的离心率为.故选B．4、A【解析】

根据分段函数的定义得，，则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式，可求得函数的最小值.【详解】依题意得，，则,(当且仅当，即时“”成立.此时,，，的最小值为，故选：A.【点睛】本题考查求分段函数的最值，关键在于根据分段函数的定义得出，再由基本不等式求得最值，属于中档题.5、B【解析】

分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数.【详解】如果甲单独到县，则方法数有种.如果甲与另一人一同到县，则方法数有种.故总的方法数有种.故选：B【点睛】本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题.6、C【解析】

根据复数模的性质即可求解.【详解】,,故选：C【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题.7、D【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【详解】解：，复数的模为．故选：D．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．8、B【解析】

奇函数满足定义域关于原点对称且，在上即可.【详解】A：因为定义域为，所以不可能时奇函数，错误；B：定义域关于原点对称，且满足奇函数，又，所以在上，正确；C：定义域关于原点对称，且满足奇函数，，在上，因为，所以在上不是增函数，错误；D：定义域关于原点对称，且，满足奇函数，在上很明显存在变号零点，所以在上不是增函数，错误；故选：B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性，注意奇偶性的前提定义域关于原点对称，属于简单题目.9、C【解析】

根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．【详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0，

方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线，

故选C．【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．10、B【解析】由于直线的斜率k,所以一条渐近线的斜率为，即，所以，选B.11、B【解析】

求出集合，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由，得，则集合，所以，.故选：B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合是解决本题的关键，属于基础题.12、D【解析】

由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，两个向量平行、垂直的性质，得出结论.【详解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐标对应不成比例，故、不平行，故排除A；显然，•3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），显然，和的坐标对应不成比例，故和不平行，故排除C；∴•（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正确，故选：D.【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量平行、垂直的性质，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.【详解】设，交圆于点，所以易知:即.故答案为：【点睛】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.14、【解析】

根据题意可得，再由，即可得到结论.【详解】由题意，得，又，解得，当时，则，此时；当时，则，此时，综上，.故答案为：.【点睛】本题考查诱导公式和同角的三角函数的关系，考查计算能力，属于基础题.15、【解析】

对函数求导，通过赋值，求得，再对函数单调性进行分析，求得极大值.【详解】，故解得，，令，解得函数在单调递增，在单调递减，故的极大值为故答案为：.【点睛】本题考查函数极值的求解，难点是要通过赋值，求出未知量.16、【解析】

设点为，由抛物线定义知，，求出点P坐标代入双曲线方程得到的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点为，由抛物线定义知，，解得，不妨取P(3，2)，代入双曲线-=1，得-=1，又因为a2+b2=4，解得a=1，b=，因为双曲线的渐近线方程为，所以双曲线的渐近线为y=±x，由点到直线的距离公式可得，点F到双曲线的渐近线的距离.故答案为：【点睛】本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可。【详解】因为不等式有实数解，所以因为，所以故。①当时，，所以，故②当时，，所以，故③当时，，所以，故综上，原不等式的解集为。【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用。18、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】

（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【详解】（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，是递增数列，∴，∴的前项和.（2）证明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴的“极差数列”仍是（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，，根据，的定义，得：，，且两个不等式中至少有一个取等号，当时，必有，∴，∴是一个单调递增数列，∴，，∴，∴，∴是等差数列，当时，则必有，∴，∴是一个单调递减数列，∴，，∴，∴.∴是等差数列，当时，，∵，中必有一个为0，根据上式，一个为0，为一个必为0，∴，，∴数列是常数数列，则数列是等差数列.综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.【点睛】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查等差数列的证明，考查数列的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.19、【解析】

利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.【详解】因为，所以，所以曲线的直角坐标方程为.由，得，所以曲线的普通方程为.由，得，所以（舍），所以，所以曲线的交点坐标为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.20、（1）（2）【解析】

（1）根据正弦定理化简等式可得，即；（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形，进而可得最值.【详解】（1），由正弦定理得：在中，，则，即，，即.（2）在中，又，则为等边三角形，又，-当时，四边形的面积取最大值，最大值为.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基础题．21、（1）（2）见解析【解析】

(1)分离得到，求的最小值即可求得的取值范围；（2）先求出，得到，利用乘变化即可证明不等式.【详解】解：（1）设，∴在上单调递减，在上单调递增．故．∵有解，∴．即的取值范围为．（2），当且仅当时等号成立．∴，即．∵．当且仅当，，时等号成立．∴