2026年数学学科能力评试卷及答案

2026年数学学科能力评试卷及答案考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年数学学科能力评试卷考核对象：高中阶段学生题型分值分布-单选题（10题，每题2分）总分20分-填空题（10题，每题2分）总分20分-判断题（10题，每题2分）总分20分-简答题（3题，每题4分）总分12分-应用题（2题，每题9分）总分18分总分：100分一、单选题（每题2分，共20分）1.函数f(x)=log₃(x²-2x+3)的定义域为（）A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.RD.(-1,3)2.若向量a=(1,k),b=(2,-1),且a⊥b，则k的值为（）A.-2B.2C.-1/2D.1/23.抛掷两个均匀的骰子，点数之和为7的概率为（）A.1/6B.1/12C.5/36D.1/184.圆x²+y²-4x+6y-3=0的圆心坐标为（）A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)5.已知等差数列{aₙ}中，a₁=5,d=-2,则a₅的值为（）A.-3B.-1C.1D.36.函数f(x)=sin(x+π/4)的图像关于y轴对称的函数为（）A.sin(x-π/4)B.-sin(x+π/4)C.cos(x)D.-cos(x)7.若直线y=kx+1与圆x²+y²=4相切，则k的值为（）A.±√2B.±1C.±√3D.±28.已知三角形ABC的三边长分别为3,4,5，则其面积为（）A.6B.12C.15D.309.不等式|2x-1|<3的解集为（）A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)10.已知函数f(x)=e^x-x在x=0处的切线方程为（）A.y=xB.y=-xC.y=x+1D.y=-x+1二、填空题（每题2分，共20分）1.若sinα=1/2且α∈(π/2,π)，则cosα的值为______。2.已知函数f(x)=x³-3x+1，则f'(1)的值为______。3.在△ABC中，若a=3,b=4,C=60°，则c的值为______。4.等比数列{bₙ}中，b₁=2,q=3，则b₄的值为______。5.抛物线y²=8x的焦点坐标为______。6.函数f(x)=arctan(x)的导数为______。7.已知集合A={x|x²-x-6>0},B={x|x<3}，则A∩B=______。8.在直角坐标系中，点P(1,2)到直线x-y+1=0的距离为______。9.已知直线l₁:ax+2y-1=0与l₂:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值为______。10.已知某校男生身高服从正态分布N(170,10²)，则身高超过180cm的男生概率约为______（保留两位小数）。三、判断题（每题2分，共20分）1.若a²=b²，则a=b。（）2.函数y=cos(x)是周期函数，周期为2π。（）3.在等比数列中，任意两项的比等于公比。（）4.若向量a=(1,1),b=(2,2)，则a与b共线。（）5.圆x²+y²=1与直线y=x相切。（）6.函数f(x)=x²在(-1,1)上单调递增。（）7.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，则P(A∪B)=1。（）8.已知三角形ABC的三内角分别为30°,60°,90°，则其三边长之比为√3:1:2。（）9.抛物线y²=4ax的准线方程为x=-a。（）10.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)=0。（）四、简答题（每题4分，共12分）1.求函数f(x)=x²-4x+5的最小值及对应的x值。2.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2)，求向量a+b及|a|的值。3.解不等式组：{x²-x-6>0{2x+1<5五、应用题（每题9分，共18分）1.某工厂生产一种产品，固定成本为10000元，每件产品成本为50元，售价为80元。若销售量x件时，利润y元满足y=80x-50x-10000，求：（1）当销售量为200件时，工厂的利润是多少？（2）若要盈利，至少需要销售多少件产品？2.在△ABC中，已知AB=5,AC=7,∠BAC=60°，求：（1）BC的长度；（2）△ABC的面积。标准答案及解析一、单选题1.C（x²-2x+3>0恒成立）2.A（a·b=0⇒1×2+k×(-1)=0⇒k=-2）3.A（基本事件共36种，和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共6种）4.C（圆心为(-(-4)/2,-6/2)=(2,3)）5.B（a₅=5+4×(-2)=-3）6.C（sin(x+π/4)=sinx·cos(π/4)+cosx·sin(π/4)=√2/2(sinx+cosx)≈cosx）7.A（圆心(2,-3)，半径2，直线到圆心距离d=|2k-3|/√(k²+1)=2⇒k=±√2）8.B（半周长s=(3+4+5)/2=6，面积S=√[6×(6-3)×(6-4)×(6-5)]=12）9.A（|2x-1|<3⇒-3<2x-1<3⇒-2<2x<4⇒-1<x<2）10.A（f'(x)=e^x-1，f'(0)=0，切线过(0,1)，斜率为0）二、填空题1.-√3/2（sin²α+cos²α=1⇒cosα=-√(1-1/4)=-√3/2）2.0（f'(x)=3x²-3⇒f'(1)=3-3=0）3.5（余弦定理c²=a²+b²-2abcosC⇒c²=9+16-24×√3/2⇒c=5）4.18（b₄=b₁q³=2×3³=54）5.(2,0)（焦点坐标(1/4a,0)=(2,0)）6.1/(1+x²)（arctan(x)的导数公式）7.(-∞,-3)∪(3,+∞)∩(-∞,3)=(-∞,-3)8.√5/2（距离公式d=|1-2+1|/√2=√5/2）9.-2（l₁与l₂平行⇒a/(a+1)=2/1⇒a=-2）10.0.159（正态分布P(X>180)=P(Z>(180-170)/10)=P(Z>1)≈0.159）三、判断题1.×（a=±b）2.√3.√4.√（a与b比例相同）5.√（圆心(0,0)，半径1，直线到圆心距离√2/√2=1）6.×（f'(x)=2x，在(-1,1)上f'(x)变化符号）7.×（P(A∪B)=0.6+0.4-0.6×0.4=0.76）8.√（30°,60°,90°三角形为直角三角形，边长比√3:1:2）9.√（准线x=-a）10.√（极值点处导数为0，但需结合二阶导数或定义验证）四、简答题1.最小值1，x=2（f(x)=(x-2)²+1，顶点为(2,1)）2.a+b=(2,1),|a|=√10（|a|=√(3²+(-1)²)=√10）3.(-∞,-3)∪(2,+∞)（解不等式x²-x-6>0得x<-2或x>3，与2x+1<5联立得x<-3或2<x<2，无解区间为(-∞,-3)∪(2,+∞)）五、应用题1.（1）利润y=80×200-50×200-10