特殊三角形的存在性问题课件06中考数学二次函数专题

特殊三角形的存在性问题典型例题

研析典型例题研析考点1等腰三角形的存在性例1

(2025·烟台中考)如图,抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点,作DF⊥AB交BC于点E,垂足为点F,连接CD.(1)求抛物线的表达式;(2)设点D的横坐标为t,①用含有t的代数式表示线段DE的长度;②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形?若存在,请求出所有满足条件的点D的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG,连接AG,请直接写出线段AG长度的最小值.

问题描述

如图,点A坐标为(a,b),点B坐标为(c,d),在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形.几何法:“两圆一线”得坐标(1)以点A为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有AB=AC;(2)以点B为圆心,AB为半径作圆,与x轴的交点即为满足条件的点C,有BA=BC;(3)作AB的垂直平分线,与x轴的交点即为满足条件的点C,有CA=CB.例2

(2024·雅安中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求二次函数的解析式;(2)如图①,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,当线段PQ的长度最大时,求点Q的坐标;(3)如图②,在(2)的条件下,过点Q的直线与抛物线交于点D,且∠CQD=2∠OCQ.在y轴上是否存在点E,使得△BDE为等腰三角形?若存在,直接写出点E的坐标;若不存在,请说明理由.

名师点金

代数法解等腰三角形存在问题如图,点A坐标为(a,b),点B坐标为(c,d),在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形.(1)表示出三个点坐标A,B,C;(2)由点坐标表示出三条线段:AB,AC,BC;(3)根据题意要求取①AB=AC,②AB=BC,③AC=BC;(4)列出方程求解.考点2直角三角形的存在性例3

(2025·青海中考)在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(1,0),点C(2,5)在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)①求点A的坐标;②当y<0时,根据图象直接写出x的取值范围为_______;

(3)连接AC交y轴于点D,在y轴上是否存在点P,使△ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P坐标;若不存在,请说明理由.

(3)存在.设点P的坐标为(0,t),∵A(-3,0),C(2,5),∴AC2=(2+3)2+(5-0)2=50,AP2=(0+3)2+(t-0)2=9+t2,CP2=(0-2)2+(t-5)2=t2-10t+29,∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形,∴分以下两种情况讨论:当AP为斜边时,则AP2=AC2+CP2,∴9+t2=50+t2-10t+29,解得t=7,∴P(0,7);当CP为斜边时,则CP2=AC2+AP2,∴t2-10t+29=50+9+t2,解得t=-3,∴P(0,-3).综上所述,存在符合条件的P点,点P的坐标为(0,7)或(0,-3).问题描述

如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(a,b),点B坐标为(c,d),在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形,求点C坐标.代数法:(1)表示点A,B,C坐标;(2)表示线段AB,AC,BC;(3)分类讨论①AB2+AC2=BC2,②AB2+BC2=AC2,③AC2+BC2=AB2;(4)列方程,求解.

问题描述

如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(a,b),点B坐标为(c,d),在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形,求点C坐标.几何法:两线一圆得坐标(1)若∠A为直角,过点A作AB的垂线,与x轴的交点即