2026年全国硕士研究生招生考试 数学(一)试题

2026年全国硕士研究生招生考试

数学(一)试题

一、选择题：第1～10小题，每小题5分，共50分.下列每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是最符合题目要求的.

1.设函数z=z(x,y)由方程x—az=e+a=(a为非零常数)确定，则().

B

2.幂级数的收敛域为().

A.[-2,2]B.[-1,1]C.(-2,2)D.(-1,1)

3.设函数f(z)在区间[-1,1]上有定义，则().

A.当f(z)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增时，f(0)为极小值

B.当f(0)是极小值时，f(x)在(-1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增

C.当f(x)的图形在[-1,1]上是凹的时，在(-1,1)上单调递增

D.当在(-1,1)上单调递增时，f(z)的图形在[-1,1]上是凹的

4.已知有界区域Ω2由曲面z=√4-x²-y²与z=√x²+y²围成，函数f(u)连续，则

5.单位矩阵经若干次互换两行得到的矩阵为置换矩阵.设A为n阶置换矩阵，A'为A的伴随

矩阵，则().

A.A'为置换矩阵B.A⁻¹为置换矩阵C.A⁻¹=AD.A-¹=-A

6.设A,B为n阶矩阵，β为n维列向量，若A的列向量组可由B的列向量组线性表示，则

().

A.当Aa=β有解时，Bx=β有解

B.当ATx=β有解时，BTx=β有解

C.当Bx=β有解时，Ax=β有解

D.当BTx=β有解时，ATx=β有解

7.设二次型f(x₁,T₂,T₃)=a(z²+x2+x3)+4x₁T₂+4z1T₃+4z₂T₃,若方程

f(z₁,T₂,C₃)=-1表示的曲面为圆柱面，则().

A.a=-4,且f(x₁,zT₂,x₃)的规范形为-y²-y²-y3

B.a=-4,且f(T₁,T₂,z₃)在正交变换下标准型为-6y²-6y2

C.a=2,且f(z₁,T₂,z₃)的规范形为-y²-y2-y3

D.a=2,且f(z₁,T₂,x₃)在正交变换下标准型为-6y²-6y2

8.设随机变量X～N(1,2),令f(t)=E[(X+t)²],则f(t)的最小值点和最大值点分别为

().

A.1,2B.1,4C.-1,2D.-1,4

9.设连续型随机变量X的分布函数为F(z),随机变量Y的分布函数为F(ay+b),X的数学

期望为μ,方差为σ²(σ>0).若Y的期望和方差为0和1,则().

A.a=σ,b=μB.a=σ,b=-μCD

10.设随机变量X的概率分布为,k=1,2,…,则对于正整数m,n,有

().

A.P{X>m+n|X>m}=P{X>m}

B.P{X>m+n|X>m}=P{X>n}

C.P{X>m+n|X>m}>P{X>m}

D.P{X>m+n|X>m}>P{X>n}

二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.

11.设向量v₁=(0,z,z),v₂=(y,0,1),令F(z,y,z)=v₁×v₂,则divF=

13.设函数y=y(z)由参数方程确定，则

15.设矩阵,设m(X)为3阶矩阵X的实特征值中的最大

值.若m(A)<m(B),则a的取值范围是.

16.设随机变量X服从参数为1的泊松分布，随机变量Y服从参数为3的泊松分布，X与

Y-X相互独立，则E(XY)=

三、解答题：第17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(本题满分10分)

求函数f(x,y)=(2z²-y²)e的极值.

18.(本题满分12分)

设f(u)在区间(0,+∞)内具有3阶连续导数，且存在可微函数F(x,y)使得

(1)证明：,C为常数；

(2)设f(1)=1,f'(1)=-1,f"(1)=0,求f(u)的表达式.

19.(本题满分12分)

设有向曲线L为椭圆x²+3y²=1上沿逆时针方向从点到的部分，

计算曲线积

20.(本题满分12分)

设可导函数f(x)严格单调递增且满足

(1)证明a>0;

(2)令F(x)=a(1-z²)+证明：存在ξ∈(-1,1),使F"(ξ)=0.

21.(本题满分12分)

已知向量组.设A=(aα₁,α₂,α₃,α₄),

G=(ax₁,α₂).

(1)证明：α₁,α2是α1,α₂,α₃,α4的极大线性无关组；

(2)求矩阵H使得A=GH,并求A¹⁰.

22.(本题满分12分)

假设某种元件的寿命服从指数分布，其均值θ是未知参数，为估计θ,取n个这种元件同

时做寿命试验，试验到出现k(1≤k≤n)个元件失效时停止.

(1)若k=1,失效元件寿命记为T.(i)求T