正方形第2课时课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形21.3.3正方形第2课时正方形的判定初中数学人教版（2024）八年级下册学习目标1.探索并证明正方形的判定.(重点)2.会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算.(难点)课堂引入1.什么是正方形？正方形有哪些性质？2.矩形、菱形的判定方法有哪些？一、正方形的判定问题1

预习课本P77~P78思考：(1)准备一张矩形的纸片，按照如图方式折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可测量验证.满足怎样条件的矩形是正方形？提示一组邻边相等的矩形是正方形.(2)证一证：对角线互相垂直的矩形是正方形.如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，且AC⊥DB.求证：四边形ABCD是正方形.提示∵四边形ABCD是矩形，∴AO=CO=BO=DO，∠ADC=90°.∵AC⊥DB，∴AD=AB=BC=CD，∴矩形ABCD是正方形.问题2

预习课本P77~P78思考：(1)把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.满足怎样条件的菱形是正方形？提示有一个角是直角的菱形是正方形.(2)证一证：对角线相等的菱形是正方形.如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB.求证：四边形ABCD是正方形.提示∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.∵AC=DB，∴AO=BO=CO=DO，∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴菱形ABCD是正方形.知识梳理正方形的判定的几种途径：证明∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，又AE=BF=CG=DH，∴EB=FC=GD=HA，∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴HE=EF=FG=GH.例1

(课本P77例6)如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.证明∴四边形EFGH是菱形，∵△AEH≌△BFE，∴∠2=∠3，又∠1+∠2=90°，∴∠1+∠3=90°，∴∠HEF=180°-(∠1+∠3)=90°.∴四边形EFGH是正方形.例1

(课本P77例6)如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CG=DH.求证：四边形EFGH是正方形.跟踪训练1

(1)如图，在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是A.AC=BD，AB∥CD，AB=CDB.AD∥BC，∠BAD=∠BCDC.AO=BO=CO=DO，AC⊥BDD.AO=CO，BO=DO，AB=BC√解析对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.(2)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：四边形CEDF为正方形.证明∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°.又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是矩形.过点D作DG⊥AB于点G(图略).∵AD是∠CAB的平分线，∴DE=DG.同理DG=DF，∴DE=DF.∴四边形CEDF为正方形.二、正方形的性质和判定的综合应用例2

如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.(1)求证：BF=DE；

例2

如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由.

例2

如图，在正方形ABCD中，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE.(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变)，四边形AFBE是什么特殊四边形？请说明理由.解

∴∠FAE=∠BEC=90°，∴BE∥AF，∵BE=AF，∴四边形AFBE是平行四边形，∵∠FAE=90°，AF=AE，∴▱AFBE是正方形.跟踪训练2

如图，在正方形ABCD中，点E是边AB的中点，过点A作DE的垂线，垂足为F，过点B作DE的垂线，垂足为G，过点A作BG的垂线，垂足为H.求证：四边形AFGH是正方形.

课堂小结1.下列命题正确的是A.四个角都相等的四边形是正方形B.四条边都相等的四边形是正方形C.对角线相等的平行四边形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形课堂练习√2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是A.当AB=BC时，四边形ABCD是菱形B.当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C.当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形D.当AC=BD时，四边形ABCD是正方形√课堂练习3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC；②∠ABC=90°；③AC=BD；④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的组合是

(只填写序号).

②③和①④课堂练习4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(1)求证：∠ADB=∠CDB；

课堂练习4.如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.(2)当∠ADC=

时，四边形MPND是正方形，并说明理由.

解

当∠ADC=90°时，四边形MPND是正方形.理由如下：∵PM⊥AD，