甘肃省靖远县第二中学2025届高三下学期高考模拟测试数学试题（解析版）

第第页甘肃省靖远县第二中学2025届高三下学期高考模拟测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a∈R,i是虚数单位，a+2A．−2 B．−1 C．0 D．3【答案】C【解析】【解答】解：因为a+2ia−2i=a故答案为：C.

【分析】由复数的乘法运算法则和已知条件，从而解方程得出a的值.2．已知集合A=x∣x2A．−1,2 B．0,2 C．1 D．0,1【答案】D【解析】【解答】解：因为A=x∣B={y∈N所以A∩B=0,1故答案为：D.【分析】先利用一元二次不等式求解方法和三次函数求值域的方法以及元素与集合的关系，从而得出集合A和集合B，再结合交集的运算法则，从而得出集合A∩B.3．已知向量a=1,2，b⋅A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【解答】解：因为向量a=1,2，

所以则a+2故答案为：A.【分析】先利用数量积的坐标表示计算出a2的值，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出a4．已知两个不同的平面α,β，一条直线m，下列命题是假命题的是（）A．若α∥β,m∥α，则m∥β B．若m⊥α,m⊥β，则α∥βC．若α∥β,m⊥α，则m⊥β D．若m⊥α,m∥β，则α⊥β【答案】A【解析】【解答】解：设平面α,β的法向量分别为n1,n2，直线对于A：若α∥β,m∥α，

则m∥β或m⊂β，故A错误；对于B：若m⊥α,m⊥β，

则m//n1,m//n2，

所以对于C：由α∥β,m⊥α，

可得n1//n2,m//n2对于D：由m⊥α,m∥β，

可得：m//n1，m⊥n2，

所以故答案为：A.【分析】由已知条件和线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，从而逐项判断找出假命题的选项.5．已知动点P的轨迹所构成的图形为图中阴影区域，其外边界为一个边长为4的正方形，内边界由四个直径相同且均与正方形一边相切的圆的四段圆弧组成，如图所示，则该阴影区域的面积为（）A．16−4π B．4+π C．4+2π【答案】D【解析】【解答】解：如图，作出辅助线，

根据图形的对称性，

可知阴影区域的面积为8×2×22故答案为：D.

【分析】先将图分为八部分，再通过切割的思想和图形的对称性，从而得出该阴影区域的面积.6．已知0<a<1<b，则（）A．ba<aC．bb<a【答案】B【解析】【解答】解：因为函数y=ax(0<a<1)是减函数，

同理可得，函数y=bxb>1是增函数，

综上所述，可得ab故答案为：B.【分析】利用已知条件和指数函数的单调性，从而比较出ab7．已知椭圆C:x2a12+yA．1 B．12 C．13 【答案】A【解析】【解答】解：设椭圆的焦点为F1−c,0,

根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知，两曲线位于第一象限的公共点为Pm,mm>0则PF所以PF所以e2则e2当且仅当c=m时取等号.故答案为：A.

【分析】利用椭圆和双曲线的基本性质和椭圆的定义、椭圆的离心率公式，从而得出e2−e8．设函数fx=3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：因为fx=2sin显然，当x≥8时，fx<0，

所以x≥8时，故只需考虑x∈0,3π的情况，

由fx则2−2cos2x+π由sinx+π6≥0，

得到2kπ由x∈0,3π，得令y1=2−2cos如图，在同一直角坐标系中作出函数y1=2−2cos由图知，两个函数的图象在x∈0,5π6∪故答案为：B.

【分析】根据已知条件和函数fx零点与两函数y1=2−2cos2x+π3、y2=二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．某汽车公司为了宣传A,B两款新能源汽车，邀请8名业内人士试驾，就新款汽车的驾乘感受进行评分，最高分数为10分.试驾结束后，评分如下表：A9.99.59.69.49.79.89.99.7B9.79.59.89.79.79.99.89.6下列说法正确的是（）A．A，B两款汽车评分数据的众数相同B．A，B两款汽车评分数据的中位数相同C．若将评分数据乘以10，则新数据的方差为原数据的方差的10倍D．A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差小于原数据的极差【答案】B,D【解析】【解答】解：对于A，易知B款汽车评分数据的众数为9.7，A款汽车评分数据众数为9.9,9.7，

所以A错误；对于B，易得两组数据的中位数均为9.7，所以B正确；对于C，由方差的性质得出新数据的方差为原数据的方差的100倍，所以C错误；对于D，因为A款汽车评分数据去掉一个最低分和一个最高分后所得数据的极差为：9.9−9.5<9.9-9.4，所以D正确.故答案为：BD.

【分析】由众数、中位数、方差、极差的计算公式，从而逐项判断找出说法正确的选项.10．已知函数fxA．fxB．fx在区间0,1C．fx的图象上不存在关于0,−1D．当fx的极小值大于−7时，a的取值范围为【答案】A,B,D【解析】【解答】解：令f'x=3x2所以f'x=0有两个不同实数解x1,x2易知fx的单调递增区间是−∞,对于A，由函数的单调性可知x1为极大值点，x对于B，由f'又因为f'x<0的解集为x所以，当x∈0,1时，f'x<0，

所以对于C，令fx+f−x=−2，

则x3−ax2−3x+对于D，由函数fx的极小值大于−7和f由函数的单调性可知：fx>−7在则x3令gx则g'令g'x=0由函数的单调性可知：当x∈0,2时，g'x当x∈2,+∞时，g'所以g(x)所以0<a<9故答案为：ABD.【分析】先求导，从而确定函数的单调区间，进而得出函数的极值点和极值，则可判断选项A、选项B和选项D；由fx+f−x=−2解方程得出函数11．某同学在学习了椭圆的标准方程后得到启发，借助几何画板画出了平面上到点F1−1,0,A．2B．PO的最小值为2C．当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆x2D．当点P的坐标为x0,y0时，【答案】A,C,D【解析】【解答】解：对于A，由题意可知1PF1+1因为PF2-PF解得2≤对于B，当PF2=对于C，因为P当且仅当PF所以，若点P不在坐标轴上时，PF2+PF1>4对于D，由1PF1+1因为PF2=所以PF12−P所以PF则PF令PF则t2令y=t4−4t3则当x0增大时，t4−4t3中t也增大，

故答案为：ACD.

【分析】利用椭圆定义和PF2-PF1≤F1F2=2，从而解关于PF1的不等式，则判断出选项A；找特殊位置求出PO的最小值，即当PF2=三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知圆台O1O2，其上底面圆O1的直径为2，下底面圆【答案】28【解析】【解答】解：由题意，得h=52−(4−1)2=4故答案为：28π【分析】先利用已知条件和勾股定理计算出圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.13．某公司有5名员工要去参加A,B,C三项工作，每项工作都至少需要一人参加，且每人的精力只够参加一项工作，一共有种不同的安排方案.【答案】150【解析】【解答】解：根据题意按每项工作人数分类，则只能是1,1,3或2,2,1，这是一个部分均分问题，

所以总的安排方案种数为C5故答案为：150.【分析】利用已知条件将问题转化为排列、组合中的分组分配问题，则5名员工分成三组只能是1,1,3或2,2,1，再由排列数公式和组合数公式以及分类加法计数原理，从而得出共有的不同安排方案种数.14．已知定义在R上的奇函数fx和偶函数gx满足fx+gx=2+【答案】1【解析】【解答】解：因为fx+g所以f由题意，可化简−fx+g①-②可得fx=sinx，又因为(sinα+cosβ)2③+④可得2+2sinαcosβ+cos故答案为：12【分析】将x替换成−x，两式相减可得fx=sin四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，在正方体ABCD−A1B1C（1）求证：A1（2）求直线A1E与平面【答案】（1）证明：以D为原点，以DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴，y轴和z轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，

不妨设正方体ABCD−则A2,0,0可得A1由A1得A1E⊥B1（2）解：由（1）可得AC=设平面ACD1的法向量为m=x,y,z，令x=1，可得y=1,z=1，所以m=设直线A1E与平面ACD则sinθ=则cosθ=1−sin2θ=73，【解析】【分析】（1）以D为原点，建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再结合数量积的坐标表示得出A1E⋅B1（2）由（1）知：向量A1E=−1,1,−2，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面ACD1的一个法向量为（1）以D为原点，以DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，不妨设正方体则A2,0,0可得A1由A1所以A1E⊥（2）由（1）可得AC=设平面ACD1的法向量为m=令x=1，可得y=1,z=1，所以m=设直线A1E与平面ACD则sinθ=则cosθ=1−sin2θ=716．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2b,c=3,cos（1）求sinB（2）求△ABC的面积；（3）求cosC−B【答案】（1）解：在△ABC中，

因为cosA=−55，

由正弦定理asinA=bsin（2）解：由余弦定理，得a2=b2+所以4b2=b2则∆ABC的面积为12（3）解：在△ABC中，

因为cosA<0，

所以A为钝角，B,C所以cosB=所以sincosC=则cos【解析】【分析】（1）根据已知条件和同角三角函数基本关系式以及正弦定理，从而计算得出角B的正弦值.（2）利用余弦定理得出b的值，再根据三角形的面积公式得出∆ABC的面积.（3）利用三角函数值在各象限的符号得出A为钝角和B,C为锐角，再利用同角三角函数基本关系式得出角B的余弦值，再结合三角形内角和定理、诱导公式和，两角和的正弦公式，从而得出sinC的值，再根据同角三角函数基本关系式得出角C的余弦值，最后根据两角差的余弦公式得出cos（1）在△ABC中，因为cosA=−55由正弦定理asinA=（2）由余弦定理a2=b得4b2=故△ABC的面积为12（3）在△ABC中，因为cosA<0，所以A为钝角，B,C所以cosB=所以sinC=cosC=则cosC−B17．已知抛物线E:y2=axa>0,P为E上一动点，且点P（1）求抛物线E的方程；（2）连接P,A并延长交抛物线E于另一点Q，若PQ=2OQ（O是原点），求点【答案】（1）解：设点Px0,y令fx若a≥2，则fx≥1恒成立，若a<2，则当x=2−a2时，f(x)min=1−(2−a)2综上所述，可知抛物线E的方程为y2（2）解：由题意，可设PQ:x=ty+1，

联立抛物线方程y2=x，消去x可得：y2−ty−1=0，

设点P的坐标为则y1+y2=t,所以OP⋅OQ=x1又因为PQ=2OQ，由所以OP=由OPOQ得x1所以，点P的横坐标为33【解析】【分析】（1）设Px0,（2）设PQ:x=ty+1，再将直线PQ的方程与抛物线方程联立，再结合韦达定理和数量积为0两向量垂直的等价关系和数量积的坐标表示，从而得到OP⊥OQ，再利用PQ=2OQ和勾股定理，从而得出OPOQ（1）设点Px0令fx若a≥2，则fx≥1恒成立，若a<2，则当x=2−a2时，f(x)min=1−综上，可知抛物线E的方程为y2（2）由题意可设PQ:x=ty+1，联立抛物线方程y2消去x可得：y2设点P的坐标为x1,y则y1+y所以OP⋅OQ=又PQ=2OQ，由所以OP=由OPOQ得x1故点P的横坐标为3318．已知函数fx（1）当a=−1时，求曲线y=fx在点0,f（2）若a>2，且fx在0,+∞（3）证明：当a∈1,+∞时，【答案】（1）解：当a=−1时，fx=ex+3x+2则f'x=ex所以曲线y=fx在点0,1处的切线方程为y−1=6x，

​​​​​​​即6x−y+1=0（2）解：令μx则μ'因为a>2,x>0，所以所以μ'所以f'x是又因为fx在0,+所以f'x=所以，只需f'0=a2所以a≥2.（3）证明：因为cosx≤1，

所以，要证f只需证fx令ga=exa令hx=3x令h'x>0，则x<1，h所以hx在−∞,1所以h(x)max=h1=32问题可转化为证明g1≥0，

即证即证3x−2sin令Fx则F'令φx则φ'所以φx在R上单调递减，且φ所以当x<0时，F'x>0；当x>0所以函数Fx在−∞,0所以Fx≤F0=1，【解析】【分析】（1）由a的值得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，再根据点斜式方程得出曲线y=fx在点0,f（2）先确定f'x是0,+∞上的增函数，再由f'x（3）由cosx≤1，将问题转化成fx=a2ex−3ax+2sinx≥1，构造函数ga=eφx的单调性，从而判断出函数Fx的单调性，进而得出函数Fx的最值，则证出当a∈（1）当a=−1时，fx=ef'x=故曲线y=fx在点0,1处的切线方程为y−1=6x，即6x−y+1=0（2）令μx则μ'因为a>2,x>0，所以所以μ'所以f'x是因为fx在0,+所以f'x=所以只需f'0=故a≥2.（3））因为cosx≤1，所以要证f只需证fx令ga=e令hx=3x令h'x>0，则x<1，h所以hx在−∞,1所以h(x)max=h1=问题可转化为证明g1≥0，即证即证3x−2sin令Fx则F'令φx则φ'所以φx在R上单调递减，且φ所以当x<0时，F'x>0，当x>0所以函数Fx在−∞,0所以Fx≤F019．设数列an的前n项和为Sn，若存在实数R>0，使得点an,Sn位于平面直角坐标系上以原点为圆心，半径为（1）设数列an是首项与公比均为−1的等比数列，证明：数列an具有“（2）若各项均为非负整数的数列an具有“R圆性质”，证明：数列an中非零的项数不超过（3）设随机变量Xn等可能地取−1,0,1n=1,2,⋯，且不同的Xn的取值是相互独立的.对于正整数m，定义数列Am：前m项为X1,X2,⋯,Xm【答案】（1）证明：由题意，得an=(−1)n,Sn=−1（2）证明：因为an具有“R圆性质”，

所以an2+Sn2≤R2，

设数列an中有k项是非零的，

记为an1,an2,⋯,ankn1<n2<⋯<（3）证明：当各项均为整数的数列an具有“2圆性质”时，an2+Sn2≤2，

则an,Sn∈−1,0,1，