生物统计学-第五章-卡方检验

□两个比率比较的u(t)

检验，在观察例数不足够大或拟对多个比率进行比较时，该

检验不适宜，因为直接对多个样本率作两两间的u(t)

检验有可能加大第一类错误。□

x²检验的基本思想是检验实际频数与理论

频数的差别是否由抽样误差所此起的，也

是就是样本率(或样本构成比)来推断总

体率(或总体构成比)。第五章

x²检验一

、X²

检验的定义□

对样本的频数分布所来自的总体

分布是否服从某种理论分布或某

种假设分布所作的假设检验，即根据样本的频数分布来推断总体

的分布。x²检验的相关知识x²检验的相关知识连续型资料总体正态分布总体参数或几个总体参

数之差离散型资料总体分布未知不是对总体参数而是对

总体分布的假设检验数据资料所属总体检验对象二、X²检验与连续型资料假设检验的区别连续型资料假设检验x²

检验适合性检验独立性检验指对样本的理论数先通过一定的理论分布推算出来，然后用实际观测值与理论数相比较，从

而得出实际观测值与理论数之间是否吻合。因

此又叫吻合度检验。是指研究两个或两个以上的计数资料或属性资

料之间是相互独立的或者是相互联系的假设检

验，通过假设所观测的各属性之间没有关联，然后证明这种无关联的假设是否成立。同质性检验在连续型资料的假设检验中，对一

个样本方差的同质性检验，也需进行x2检验。x²检验的相关知识三、x²

检验的用途第一节

x²

检验的原理与方法第二节

适合性检验第三节

独立性检验第五章x²

检

验就是统计样本的实际观测值与理论推算值之间的偏离程度。实际观测值与理论推算值之间的偏离程度就决定其x²值的大小。两值偏差越大，

x²

值就越大，越不符合；偏差越小，

x²

值就越小，越趋于符合；两值完全相等，

x²

值就为0,表明理论值完全符合。性别观

察

值

(

O

)理论值(E)O-E公羊428438-10母羊448438+10合计8768760876只羔羊性别调察口要回答这个问题，首先需要确定一个统计量，将其用来表示实际观测值与理论值偏离的程

度；然后判断这一偏离程度是否属于抽样误

差，即进行显著性检验。□判断实际观测值与理论值偏离的程度，最简单的办法是求出实际观测值与理论值的差数。性别观

察

值

(

O

)理论值(E)O-E公羊428438-10母羊448438+10合计8768760由于差数之和正负相消，并不能反映实际观测值与理论值相差的大小。876只羔羊性别调察口为了避免正、负相抵消的问题，可将实际观测值与理论值的差数平方后再相加，也就是计算：∑

(0

一E)2∑(O-E)²值越大，观测值与理论值相差也就越大，反之越小。口将实际观测值与理论值的差数平

方，即(0

一E)2,再用差数的平方除以相应的理论值，将之化

为相对数，从而来反映(0-E)²的比重，最后

将各组求和，这个总和就是x²。∑0-E,)²

值越大，观测值与理论值相差也就0;=49E=46越大，反之越小。0=9E=6x²值就等于各组观测值和理论值差的平方与理论值之比，再求其和。438

-10438

+10876x²=∑性

别公羊

母羊

合计0.22830.22830.4566876只羔羊性别调察428448876理论值(E)观测值(O)0-EE可加性非负值随○和E而变化说明实际值与理论值之差越小，样本分布与假设的理论分布越相一致；x²

越大，P值越小，说明两者之差越大，样本分布与假设理论分布越不一致。·264

·x²

值与概率P成反比，

x²值越小，P值越大，0.10

0.35

0.71

1.151.64

2.170.02

0.21

0.58

1.06

1.612.20

2.83自

由

度

(df)234670.02

0.11

0.30

0.550.87

1.240.05

0.22

0.48

0.831.24

1.69值0.2501.32

2.77

4.11

5.39

6.637.84

9.04(P)0.1002.714.616.25

7.78

9.2410.6412.020.0255.02

7.38

9.35

11.1412.8314.4516.01率0.7500.10

0.58

1.21

1.922.673.45

4.250.0106.63

9.2111.3413.28

15.0916.81

18.480.5000.45

1.39

2.37

3.36

4.355.35

6.350.0503.845.99

7.81

9.4911.0712.5914.070.9950.010.07

0.21

0.410.68

0.99概0.950

0.900附表4

X²值表(右尾)0.99010.975表附51观测值与理论值的差异由抽样误差引起，即观测值=理论值。备择假设HA:

观测值与理论值

的差值不等于0,即观测值≠理论值2.确定显著水平a

一般确定为0.05或0.011.提出无效假设H₀3.

计算样本的x²

值4.进行统计推断

x²>x2df=n-11、任何一组的理论次数E;都必须大于5,如果

E,≤5,

则需要合并理论组或增大样本容量以满

足E>52、在自由度=1时，需进行连续性矫正。x²检验的注意事项口由于检验的对象一次数资料是间断性的，而x²分布是连续型的，检验计算所得的x²

值只是近似地

服从x²

分布，所以应用连续型的x²分布的概率检

验间断性资料所得的x²值就有一定的偏差。口

由次数资料算得的x²均有偏大的趋势，即概率偏低。当df=1,

尤其是小样本时，必须作连续性矫正。□

Yates(1934)提出了一个矫正公式x²

检验的注意事项第一节

x²

检验的原理与方法第二节

适合性检验第三节

独立性检验第五章□比较观测数与理论数是否符合的假设检验。□是对样本的理论值先通过一定的理论分布推

算出来，然后用实际观测值与理论值比较，

从而得出实际观测值与理论值之间是否吻合，

因此也称为吻合性检验或拟合度检验。第二节：适合性检验适合性检验适合性检验的df由于受理论值的总和等于观

测值总和这一条件的约束，故df=n-1孟德尔分离规律

自由组合定律□样本的分布与理论分布是否相等口遗传学中用以检验实际结果是否符合遗传规律例有一鲤鱼遗传试验，以荷包红鲤(红色)与湘江野鲤(青灰

色)杂交，其F2代获得如下表所示的体色分离尾数，问这一资

料的实际观测值是否符合孟德尔一对等位基因的遗传规律，即

鲤鱼体色青：红=3:1鲤鱼遗传试验F₂观测结果体色青灰色红色总数F₂观测尾数1503991602H₀

:

鲤鱼体色F,分离符合3:1比率；HA:

鲤鱼体色F₂

分离不符合3:1比率；(

1

)

假

设(2)水平

a=0.05

(3)检验

df=k-1=2-1=1需要连续性校正在无效假设H₀正确的前提下青灰色的理论数为：

E=1602×3/4=1201.5红色理论数为：

E=1602×1/4=400.5查x²

值表，当df=1时

，x²0.05=3.84。实得x²

。=301.63>x²0

.05否定H。,

接受H,

即鲤鱼体色F2分离不符合3:1比率。(4)推断□在遗传学中，有许多显、隐性比率可以划分为两组的资料，如欲测其与某种理论比率的

适合性，则x²

值可用下表中的简式进行计算：1:12:1显：隐r:mA

a(A—3a—2)²(7A-9a-8)²63n理论比率x²

值rmn(1)H₀:大豆花色F₂分离符合3:1比率；HA:大豆花色F₂分离不符合3:1比率；(2)取显著水平a

=0.05(3)计算统计数x²值

：x²=(A-3a-2)_(208-3×81-2)

=1.2563n3×289花色总数F₂观测株数20881289大豆花色遗传试验F₂

观测结果208-3×81-2)

=1.256

3×289df

=1

P>0.05_(A-3a-2)_(3n(4)查值表，进行推断接受H₀,

即大豆花色F₂分离符合3:1比率□对于资料组数多于两组的值，可通过下面简式进行计算：0:

一第

i

组的实际观测数p:

一第

i

组的理论比率n一总次数x²=

∑

—n豌豆F₂代，共556粒31510110832此结果是否符合自由组合规律黄

圆：黄皱：绿圆：绿皱=

9.3:3116161616根据自由组合规律，理论分离比为：黄圆黄皱绿圆绿皱实际观测数031510110832理论频数P9/163/163/161/16理论数E312.75104.25104.2534.750一E2.25-3.253.75-2.75(0-E)²/E0.0160.1010.1350.218(1)H₀

:豌豆F₂

分离符合9:3:3:1的自由组合规律；HA:

豌豆F₂

分离不符合9:3:3:1的自由组合规律；(2)取显著水平α

=0.05(3)计算统计数x²

值：x²=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470方法一

豌豆杂交实验F,分离结果(4)查临界值表，进行推断：df

=4-1=3

x2o5

=7.815接受H₀,

即豌豆F₂

分离符合9:3:3:1的自由组合规律。P>0

.05方法二黄

圆：

黄皱：绿圆：绿皱=9.33116161616x²=0.016+0.101+0.135+0.218=0.470315

101

108第一节

x²

检验的原理与方法第二节

适合性检验第三节

独立性检验第五章独立性检验(independence

test)又叫列联表

(contingency

table)x²检验，它是研究两个或两个以上因子彼此之

间是独立还是相互影响的一类统计方法。行列C₁

C₂总和r

1011

012

R₁=01₁+012021

O₂2

R₂=0₂

1+O²2总和

C₁=011+O₂

1C₁=0₁₂+O₂2

T口

设A,B

是一个随机试验中的两个事件，其中A可能出现r₁、r₂个结果，

B可能出现c₁、c₂

个结果，两因子相互作用形

成4格数，分别以011、012、021、02₂表示，下表是2×2

列联表的一般形式(一)2×2列联表的独立性检验r₂(

1

)

假

设(2)水平无效假设H₀:事件A和事件B无关；HA:

事件A和事件B有关联关系。确定显著水平a(3)检验依据H₀,

推算出理论数，计算x²值(4)推断确定自由度，df=(r-1)(c-1),查临界值表，进行推断。给药方式有效无效总数有效率口服584098(R₁)59.2%注射643195(R₂)67.4%总数122(C₁)71(C₂)193(T)1.H₀:给药方式与给药效果相互独立。

HA:

给药方式与给药效果有关联。2.给出显著水平a=0.05给药方式与给药效果的2×2列联表3.根据H₀,运用概率乘法法则：事件A与事件B同时出现的概率为：P(AB)=P(A)P(B)口服与有效同时出现的理论频率=口服频率×有效频率，即P(AB)=P(A)P(B)=98/193×122/193理论频数Ei=

理论频率×总数给药方式有效无效总数有效率口服注射5864403198(R₁)95(R₂)59.2%67.4%总数122(C₁)71(C₂)193(T)理论频数Ei=理论频率×总数=98/193×122/193×193=(98×122)/193=61.95即E=R×C:/T=

行总数×列总数/总数给药方式有效无效总数有效率口服584098(R₁)59.2%注射643195(R₂)67.4%总数122(C₁)71(C₂)193(T)E₁

1=R₁

×C₁/T=61.95E₁2=R₁

×C₂/T=36.05E₂

1=R₂

×C₁/T=60.05

E₂2=R₂×C₂/T=34.95给药方式与给药效果的2×2列联表给药方式有效无效总数口服58(61.95)40(36.05)98(R₁)注射64(60.05)31(34.95)95(R₂)总数122(C₁)71(C₂)193(T)给药方式有效无效总数口服58(61.95)40(36.05)98(R₁)注射64(60.05)31(34.95)95(R₂)总数122(C₁)71(C₂)193(T)36.5

34.95计

算x²

值

：

由于df=(r-1)(c-1)=(2-1)(2-1)=1,故所计算的x²

值需进行连续性矫正：4.查

x²

表，当df=1时

，

x²o.05

=3.841,而x²

。=0.863<x²0.05,P>0.05,

应接受H₀,

拒绝HA,

说明给药方式与给药效果相互独立.2×2列联表的x²检验可利用以下简式而不必计算

理论次数：(oO₂₂-0₂O₂₁-T/2)T

x²=R₁R₂C₁C₂T/2

一为矫正数给药方式有效无效总数口服58(61.95)40(36.05)98(R₁)注射64(60.05)31(34.95)95(R₂)总数122(C₁)71(C₂)193(T)(o₁₁O₂2-O₁₂O₂₁-T/2)²TR₁R₂C₁C₂(58×31-40×64-193/2)²×19398×95×122×71=1.057行列12C合计101101201cR₁202102202cR,合计C₁C₂C.T

(二)2×c

列联表的独立性检验2×c列联表的一般形式由于df=(2-1)(c-1)≥2,

故计算值时不需作

连续性矫正甲乙丙合计死亡数374923109未死亡检测甲、乙、丙三种农药对烟蚜的毒杀效果，结果如下，使分析这三种农药对烟蚜的毒杀效果是否一致?三种农药毒杀烟蚜的死亡情况甲乙丙合计死亡数37(49.00)49(39.04)23(20.96)109未死亡数150(138.00)100(109.96)57(59.04)307合²=(37-49.00

²(49-39.04)²(23-20.96)²(150-138.00²39.04

20.96

138.00(100-10996)²(57-59.04)²=7694109.96

59.041.H₀:对烟蚜毒杀效果与农药无关；

HA:二者有关2.

取显著水平a=0.053

.

统

计

数

的

计

算十(

4

)

查x²

值表，进行推断查

x²

表，当df=(2-1)(3-1)=2

时

，

x²0.05=5

.99,现实得x²=7.694>x²0.05,

则拒绝

H₀,

接受HA,

说明三种农药对烟蚜的毒杀效果

不一致。简便计算公式甲乙丙合计死亡数37(49.00)49(39.04)23(20.96)109未死亡数150(138.00)100(109.96)57(59.04)307合7.692行

列12C合计1O¹1O₁2O₁R₁2O₂1O₂2O₂R₂rO₁Or₂OrR.合计C₁C₂C.Tr×c列联表是指r≥3、c≥3的计数资料，上表是r×c

列联表的一般形式。df=(r-1)(c-1)>1,故不

需进行连续性矫正。

(

三

)

r×c

列联表的独立性检验i=1,2,….,rj=1,2,…,Cr×c列联表的计算公式：年

龄

(

岁

)治愈显效好

转无

效合

计11～3031～5050以上合计67321010992311431020235354514917949219例某医院用碘及治疗地方性甲状腺肿，不

同年龄的治疗效果列于下表，试检验不同年

龄的治疗效果有无差异?不同年龄用碘剂治疗甲状腺肿效果比较1.H₀:

治疗效果与年龄无关；HA:治疗效果与年龄有关，即不同年龄治疗效果不同。2.给出显著水平a=0.013.计算统计数x²:年

龄

(

岁

)治愈显效好转无效合计11～306791059131～5032232047950以上合计101123549109

43

5314

219年

龄

(

岁

)治愈显效好转无效合计11～3031～5050以上合计67321010992311431020235354514917949219=46