计算地球流体力学第四讲有限差分法稳定性分析课件

第四讲有限差分法稳定性分析有限差分法在数值计算领域是极为重要的一种方法，而其稳定性分析更是该方法能否有效应用的关键所在。稳定性分析的结果直接影响到我们利用有限差分法进行数值模拟时结果的可靠性和准确性。通过这一讲的学习，大家能够深入了解有限差分法稳定性分析的多种方法，掌握其判别准则，还能通过算例来加深对理论知识的理解。这将为大家在后续的学习和研究中，利用有限差分法解决实际问题奠定坚实的基础。

本次第四讲聚焦有限差分法稳定性分析，将介绍多种分析方法。Fourier方法，也叫VonNeumann方法，是一种重要的分析手段，它能通过特定的判别准则对有限差分法的稳定性进行评估，还会结合算例让大家更直观地理解。

直接方法，即矩阵方法，它从矩阵的角度出发，利用矩阵的特性和运算来分析有限差分法的稳定性，为我们提供了另一种思考和解决问题的途径。Hirt启示法，它能给我们在分析稳定性时带来新的启发和思路，帮助我们从不同的视角去看待和处理问题。

能量分析法，也就是范数法，通过对能量或范数的研究来判断有限差分法是否稳定，这种方法有着独特的理论基础和应用场景。

最后还会有数值算例，通过实际的例子来展示这些分析方法在实际中的应用和效果，让大家更好地掌握有限差分法稳定性分析的方法和技巧。

在有限差分法稳定性分析的第四讲中，我们聚焦于Fourier方法，它也被称作VonNeumann方法。这一方法在该领域扮演着关键角色，借助其能对有限差分法的稳定性作出精准判别。Fourier方法有自身的判别准则，它就像是一把精准的标尺，为我们评估有限差分法的稳定性提供了清晰、严格的标准。利用这个准则，我们能够科学地判断所采用的差分方法是否稳定，是否能在实际应用中可靠地使用。

除了理论上的判别准则，还有实际的算例。算例就如同生动的实践教材，通过具体的案例展示如何运用Fourier方法进行计算和分析，让大家更直观地理解该方法在实际问题中的应用。这些算例能加深我们对于准则的理解与运用，确保我们在面对不同问题时，都能熟练、准确地使用Fourier方法进行稳定性分析。

本次聚焦有限差分法稳定性分析中的Fourier方法，它也被称为VonNeumann方法。Fourier方法在有限差分法稳定性分析领域有着举足轻重的地位，能为我们判断差分格式的稳定性提供有效依据。

判别准则是运用Fourier方法的关键所在。通过建立相应的数学模型和条件，对差分格式的稳定性进行严格判定。只有满足判别准则，差分格式才具备稳定性，才能在实际计算中得出可靠的结果。

算例则是理论与实践相结合的重要环节。通过具体的算例，我们可以更加直观地看到Fourier方法在实际问题中的应用过程和效果。通过对算例的详细分析，能够更好地理解Fourier方法的原理和操作步骤，加深对有限差分法稳定性分析的认识。

深入研究Fourier方法的判别准则和算例，能为我们掌握有限差分法稳定性分析提供有力的支持，有助于提升我们解决实际问题的能力。

本次将以一维线性平流方程初值问题的两层显式差分格式，来详细介绍Fourier方法。这里采用的是时间向前差、空间向后差的方式。之所以选择这样的差分格式，是因为它能在一定程度上简化问题，同时还能很好地反映出Fourier方法在实际应用中的特点。

网格比在这个差分格式里是一个关键因素。它的大小会直接影响到差分格式的稳定性和精度。合适的网格比可以让差分格式更准确地逼近原方程的解，从而提高计算结果的可靠性。

通过这个具体的例子，我们能更直观地看到Fourier方法是如何应用到实际问题中的。它不仅仅是理论上的推导，更是能解决实际数值计算问题的有效工具。以这个一维线性平流方程的两层显式差分格式为载体，我们能逐步深入理解Fourier方法的核心思想和应用技巧。

本次介绍Fourier方法，选取一维线性平流方程初值问题的两层显式差分格式作为示例，该格式采用时间向前差、空间向后差的方式。之所以选择这个例子，是因为它能较为清晰地展现Fourier方法在实际差分格式中的应用原理。

一维线性平流方程初值问题在诸多领域都有重要应用，比如流体力学、气象学等。通过研究其差分格式，我们可以更深入地理解方程在离散空间中的特性。这里的网格比起着关键作用，它反映了时间步长和空间步长之间的关系，对差分格式的稳定性和精度都有着显著影响。

以这个特定的差分格式为例，我们能逐步剖析Fourier方法的具体步骤和优势。后续会基于此例，进一步探讨如何运用Fourier方法来分析差分格式的稳定性，以及如何通过增长因子等概念来判断格式是否稳定。

在使用Fourier方法分析差分格式稳定性时，我们面临一个关键问题。差分格式（4.1.2）的解以及初值，它们仅仅在网格点上有定义和意义。然而，Fourier方法的应用前提是函数具有连续的定义域。所以，为了能够顺利应用Fourier方法，我们必须扩充这些函数的定义域。

扩充定义域这一操作的意义重大。它就像给差分格式展开一个更广阔的舞台，使得我们能够运用强大的Fourier分析工具。在扩充定义域之后，我们可以将（4.1.2）式中的第一个方程进行改写，得到（4.1.3）式。这一改写不仅仅是形式上的变化，更是为后续应用Fourier积分变换奠定了基础。通过这种方式，我们可以将离散的差分格式转化为便于分析的形式，从而更深入地研究差分格式的稳定性，为解决实际问题提供有力的支持。

在Fourier方法的推进中，我们来到了Fourier积分变换这一关键步骤。对于式子(4.1.3)，应用Fourier积分是一个重要的操作，这就像是给原本复杂的式子找到了一把解锁的钥匙。通过这一操作，我们能够得出新的结果，为后续的研究打开新的局面。

将其推广到一般形式的差分格式，不过这里要注意，是限于常系数情形的。在这个一般化的过程中，我们发现了一个关键的因子，它被称为增长因子。这个增长因子就像是差分格式变化的“指挥棒”，它决定了差分格式在不同情况下的变化趋势和特征。它在整个Fourier方法中有着举足轻重的地位，后续很多对差分格式的分析和研究都将围绕它展开，我们可以通过对增长因子的研究，更深入地了解差分格式的稳定性、收敛性等重要性质。

前面我们以一维线性平流方程初值问题的两层显式差分格式为例，对Fourier方法进行了介绍。现在，我们将其推广到一般形式的差分格式，不过这里要注意，是限于常系数情形。

在这个推广过程中，得出了一个重要的因子，我们把它称为增长因子。增长因子在差分格式的分析中扮演着关键角色。它就像是一个“指挥棒”，能够反映出差分格式解的变化情况。通过对增长因子的研究，我们可以了解到差分格式的稳定性、收敛性等重要性质。

比如，在实际的数值计算中，如果增长因子控制不当，可能会导致计算结果出现偏差，甚至发散。所以，准确理解和把握增长因子，对于我们正确使用差分格式进行数值计算，有着至关重要的意义。它让我们能够更好地预测和控制计算过程，从而得到更可靠的结果。第10页

在前面以一维线性平流方程初值问题的两层显式差分格式为例介绍Fourier方法后，现在将结论推广到一般形式的差分格式，不过这里限定为常系数情形。在这个一般形式的差分格式中，存在一个重要因子，我们将其称为增长因子。

增长因子在差分格式分析中扮演着关键角色，它能反映出差分格式解的变化特性。接下来，令特定的式子（4.1.2）为某一形式，进而得到了一个新的表达式。这一过程是从特殊到一般的推导，有助于我们更全面地理解差分格式的性质。通过这样的推广，我们能将之前针对特定差分格式的研究成果应用到更广泛的常系数差分格式中，为后续分析差分格式的稳定性、收敛性等问题奠定基础。第11页

在Fourier方法中，上式提到的因子被称作增长因子，也可称为增幅因子、放大因子等。当运用Fourier方法处理二层差分格式时，我们聚焦于(4.1.4)式。若(4.1.4)式能够转化为(4.1.6)和(4.1.5)的形式，这将为分析差分格式的性质提供重要线索。

增长因子在差分格式的研究中扮演着关键角色，它反映了数值解在时间推进过程中的变化特性。通过对增长因子的分析，我们可以深入了解差分格式的稳定性、收敛性等重要性质。对于二层差分格式而言，这种转化使得我们能够更清晰地把握解的演化规律，进而判断该差分格式是否适用于特定的问题。Fourier方法为我们提供了一种强大的工具，将复杂的差分格式转化为便于分析的形式，而增长因子则是其中的核心概念。通过对这些概念的深入理解和运用，我们能够更好地解决实际问题，为数值计算的准确性和可靠性提供保障。第12页

此前提及的增长因子概念，不仅适用于差分方程，同样适用于差分方程组。当满足特定条件时，原本的增长因子会转变为二阶矩阵，即增长矩阵。这一转变体现了数学概念在不同情境下的拓展与深化。Fourier方法在差分格式的研究中至关重要。对于二层差分格式，若(4.1.4)能写成特定形式，便可运用相关理论进行分析。增长矩阵的出现，使得差分方程组的研究更为复杂，也更具挑战性。它为我们理解和解决更复杂的数学问题提供了新的视角和工具。

从数学体系的构建来看，增长矩阵的引入丰富了差分格式稳定性判定的理论。它与增长因子相互关联又有所区别，共同构成了差分格式研究的重要组成部分。这一概念的拓展，有助于我们更深入地理解差分方程组的性质和行为，为实际问题的解决提供更有力的支持。第13页

在Fourier方法的应用中，之前提及的增长因子概念，同样适用于差分方程组的情形。当满足特定条件时，(4.1.6)中的因子会成为二阶矩阵，也就是增长矩阵。这意味着增长因子的概念得到了进一步拓展，从单个因子延伸到了矩阵形式，其内涵和应用范围都更为丰富。

从物理角度来看，(4.1.5)式有着独特的意义。它可以将相关量表示为其谐波分量的形式，其中振幅、波数、波长等物理量都有着明确的定义和作用。这种表示方式为我们理解物理现象提供了新的视角，让我们能够从波动的角度去分析和解释问题。

在二层差分格式中，增长因子和增长矩阵的引入为研究差分格式的稳定性等性质提供了有力的工具。它们不仅是数学上的概念，更有着深刻的物理背景和实际应用价值。通过对这些概念的深入理解和研究，我们可以更好地掌握差分格式的特性，为解决实际问题提供更有效的方法。第14页

本次演讲将聚焦于Fourier方法，它也被称作VonNeumann方法。Fourier方法在相关领域有着重要地位，是我们接下来探讨的核心内容。

在后续内容里，我们会深入研究Fourier方法的判别准则。这一准则就像是一把精准的标尺，能够帮助我们判断相关情况是否稳定。通过对判别准则的学习，我们可以更好地理解和运用Fourier方法。

同时，我们还会结合算例进行分析。算例就如同生动的实例教材，能让我们更直观地看到Fourier方法在实际中的应用。通过具体的算例分析，我们可以加深对Fourier方法的掌握，明白它在不同场景下是如何发挥作用的。

总之，Fourier方法、判别准则以及算例这三部分内容紧密相连，我们会逐步展开，深入剖析，让大家全面了解这一重要的方法。第15页

我们已经了解了增长因子的相关概念，接下来重点探讨用增长因子判定差分格式稳定性的判别准则。这里会不加证明地给出一系列判定定理，这是因为证明过程可能较为复杂，会分散我们对核心内容的关注。

对于二层差分格式，有一个重要的结论：差分格式（4.1.4）稳定的充分必要条件是存在常数

，

，使得当

时，对所有的

，有

。这里的矩阵范数可以使用任何一种范数，这体现了该判别准则的灵活性和通用性。

这一判定定理为我们判断差分格式的稳定性提供了一个明确的标准。在实际应用中，我们可以根据这个条件来检验差分格式是否稳定，从而确保数值计算的可靠性。如果差分格式不稳定，那么计算结果可能会出现偏差甚至错误，这对于科学研究和工程应用来说是非常不利的。所以，准确理解和运用这个判别准则至关重要。第16页

我们继续探讨二层差分格式相关内容，这里涉及到一个重要概念——VonNeumann条件。此前我们了解到，上式中的因子被称作增长因子，它还有增幅因子、放大因子等别称。当我们运用Fourier方法，若(4.1.4)可写成(4.1.6)和(4.1.5)的形式时，就进入了对二层差分格式稳定性的研究范畴。VonNeumann条件在差分格式稳定性判定中起着关键作用。它是差分格式稳定的必要条件，在很多情形下，这个条件也是稳定性的充分条件。也就是说，满足这个条件，差分格式大概率是稳定的；若不满足，那差分格式很可能不稳定。这为我们判断差分格式的稳定性提供了一个重要依据，在后续的研究和实际应用中，我们可以借助这个条件来快速评估差分格式是否稳定，从而更好地开展相关工作。第17页

在二层差分格式里，有一个关键概念——增长因子，也被称作增幅因子、放大因子等。在特定条件下，我们运用Fourier方法，若(4.1.4)能写成特定形式，就会涉及到增长矩阵。

这里要着重讲解定理4.1。差分格式(4.1.4)稳定有一个必要条件，即存在常数

，当满足一定条件时，对于所有的

，有(4.1.7)成立。这个条件(4.1.7)被命名为VonNeumann条件。VonNeumann条件的重要性不言而喻。它不仅是差分格式(4.1.4)稳定的必要条件，在很多情形下，还能成为稳定性的充分条件。这意味着，在判断差分格式稳定性时，VonNeumann条件提供了一个极为关键的参考依据。我们依据这个条件，可以更高效地判断差分格式是否稳定，从而在实际应用中做出更合理的决策。第18页

在矩阵理论中，正规矩阵是一类具有特殊性质的矩阵。对于一个n阶方阵A，若其共轭转置矩阵满足特定条件，即二者相乘可交换，那么这个矩阵A就被定义为正规矩阵。

正规矩阵的独特之处在于，其2-范数与谱半径相等。这一性质为我们研究矩阵的稳定性等问题带来了极大的便利。谱半径是矩阵特征值相关的重要概念。对于一个n×n矩阵A，它有n个特征值λi。谱半径ρ(A)就是这些特征值的模的最大值。

如果特征值是实数，其模就是它本身的绝对值；若为虚数，谱半径则是实部与虚部的平方和的开方。谱半径反映了矩阵特征值在复平面上分布的最大范围，在判断矩阵的各种性质，尤其是矩阵的稳定性方面，有着关键作用。而正规矩阵谱半径与2-范数相等这一特性，进一步简化了相关性质的判断与计算。第19页

在差分格式稳定性的判别准则中，定理4.2指出，若差分格式的增长矩阵G(k)是正规矩阵，那么VonNeumann条件就成为了差分格式稳定的充要条件。这意味着在这种特定情况下，我们只需依据VonNeumann条件，就能准确判断差分格式是否稳定，这为我们的研究和实践带来了极大的便利。

基于定理4.2，我们可以得到两个重要推论。推论1表明，当G(k)为实对称矩阵、酉矩阵或Hermite矩阵时，VonNeumann条件同样是差分格式稳定的充要条件。这几种特殊类型的矩阵在实际应用中较为常见，此推论进一步拓展了VonNeumann条件的应用范围。推论2则指出，当p=1，即G(k)只有一个元素时，VonNeumann条件依然是差分格式稳定的充要条件。这从另一个角度丰富了我们利用该条件进行判断的情况。

此外，定理4.3提到，如果存在特定常数满足一定条件，那么以G(k)为增长矩阵的差分格式就是稳定的。这为我们提供了另一个判断差分格式稳定性的依据，这些定理和推论相互补充，共同构成了一个较为完整的判别体系，帮助我们更准确地分析差分格式的稳定性。第20页

差分格式稳定性的判别准则是重要的研究内容。定理4.1指出，差分格式(4.1.4)稳定存在必要条件，即存在常数，当满足一定条件时，对于所有情况，p阶矩阵的特征值需满足特定要求，满足此条件差分格式才稳定。这为判断差分格式稳定性提供了基本依据。

定理4.4进一步补充，若增长矩阵G(k)的元素有界，并且满足一定条件，也能对差分格式稳定性进行判别。这意味着从增长矩阵元素的特性出发，可建立与差分格式稳定性的联系。两个定理从不同角度为差分格式稳定性判别提供了思路，相互补充，共同完善了差分格式稳定性的判别体系，有助于在实际应用中准确判断差分格式是否稳定。第21页

在差分格式稳定性判别领域，VonNeumann条件具有关键作用，有时它是差分格式稳定的必要且充分条件。定理4.5进一步给出了特定情形下的判定规则。

若增长矩阵能表示为特定形式，其中涉及网格比等要素，并且对于任意给定的情况，满足以下条件之一，那么VonNeumann条件就成为差分格式稳定的充要条件。其一，增长矩阵有p个不同的特征值，不同特征值意味着矩阵具有更丰富的变化特性，能从多个维度反映矩阵的性质，进而影响差分格式的稳定性。其二，另一种形式的矩阵也有p个不同的特征值，这同样为差分格式稳定提供了有力的支撑。虽然这里第三个条件未给出，但可以推测其也会是一个对差分格式稳定性判定有重要意义的条件。

定理4.5为我们在判断差分格式稳定性时提供了更细致、更具体的依据，有助于我们更准确地分析和解决相关问题。第22页

我们现在要探讨的是Fourier方法，它也被称为VonNeumann方法。从前面的内容可知，在研究差分格式稳定性时，我们接触到了VonNeumann条件等重要概念。而Fourier方法在这其中有着关键作用。

在差分格式稳定性判别中，Fourier方法是一种重要的手段。它能帮助我们更深入地分析差分格式的性质。比如之前提到的正规矩阵相关定理，当差分格式的增长矩阵是正规矩阵时，VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。而Fourier方法可以从不同的角度去验证这些条件是否满足。

通过Fourier方法，我们可以对差分格式进行详细的剖析，就像在后面的算例中，会考虑逼近一维线性平流方程的不同两层显式差分格式。通过这种方法，我们能更好地判断这些格式的稳定性，从而为实际应用提供理论支持。它在整个差分格式稳定性的研究体系中，就如同一个精准的探测器，帮助我们发现格式中隐藏的特性，为解决实际问题奠定基础。第23页

例4.1聚焦于逼近一维线性平流方程的三个两层显式差分格式。这三种格式在数值计算领域有着重要意义，它们从不同角度对一维线性平流方程进行逼近。

时间向前差、空间向前差格式，是一种较为基础的差分格式，其通过在时间上向前差分、空间上也向前差分的方式，对一维线性平流方程进行离散化处理，从而得到近似解。

时间向前差、空间向后差格式，则是在时间上向前差分，而在空间上采用向后差分。这种格式的改变，使得其在处理某些特定问题时，可能会比空间向前差格式更具优势，能更准确地逼近真实解。

时间向前差、空间中央差格式，是在时间向前差分的基础上，空间上采用中央差分。中央差分能更好地利用相邻节点的信息，在一定程度上可以提高计算的精度和稳定性。

这三种格式各有特点，它们的存在为解决一维线性平流方程提供了多种选择，在实际应用中，需要根据具体问题的特点和要求，选择合适的差分格式。第24页

我们正在探讨逼近一维线性平流方程的三个两层显式差分格式。在研究过程中，网格比是一个关键的参数，它能帮助我们更好地分析和理解这些差分格式。

现在，我们聚焦于将这三个格式进行改写，分别是时间向前差、空间向前差格式，时间向前差、空间向后差格式，以及时间向前差、空间中央差格式。通过将它们改写为(2.15)、(2.16)、(2.13)的形式，我们能更清晰地看到它们的结构和特征。

这种改写并非简单的形式变化，而是为后续的分析做铺垫。它有助于我们进一步研究差分格式的性质，如稳定性等。就像我们之前提到的判别准则，改写后的格式能让我们更方便地运用这些准则来判断差分格式是否稳定，从而为实际应用提供更可靠的依据。第25页

在研究逼近一维线性平流方程的问题时，我们聚焦于三个两层显式差分格式。这三个格式分别是时间向前差、空间向前差格式，时间向前差、空间向后差格式，以及时间向前差、空间中央差格式。

为了更深入地分析这些格式的特性，我们引入网格比这一重要概念。通过记网格比，我们可以对这三个格式进行改写。改写的目的在于将格式以更便于研究和分析的形式呈现出来，也就是(2.15)、(2.16)和(2.13)这几个表达式。

这种改写是后续研究的关键步骤，它为我们进一步探讨格式的稳定性等性质奠定了基础。借助改写后的格式，我们能够更清晰地观察和分析格式在不同条件下的表现，从而更好地理解和解决一维线性平流方程的逼近问题。第26页

我们聚焦于逼近一维线性平流方程的三个两层显式差分格式，分别是时间向前差、空间向前差格式，时间向前差、空间向后差格式，以及时间向前差、空间中央差格式。为了进一步分析这些格式的特性，我们要进行一个关键操作。

我们令特定变量代入这三个格式中。这一操作并非随意为之，而是有着明确的目的，是为了将格式进行转化，从而能够更深入地探究它们的增长因子等性质。通过代入操作，我们可以得到新的表达式，这些表达式将为后续判断格式的稳定性提供重要依据。

在数值计算领域，对差分格式稳定性的研究至关重要。通过这种代入和后续的分析，我们能够确定格式在不同条件下是否稳定，进而为实际应用中的数值计算提供可靠的保障。所以，这一步的代入操作是整个分析过程中不可或缺的关键环节。第27页

在研究逼近一维线性平流方程的三个两层显式差分格式时，目前进展到关键的消去与整理步骤。这三个格式分别是时间向前差、空间向前差格式，时间向前差、空间向后差格式，以及时间向前差、空间中央差格式。

消去特定项并进行整理这一步骤至关重要，它是我们推导增长因子的关键前置操作。通过消去令的设定，我们能够简化复杂的数学表达式，将原本繁琐的格式转化为更易于分析和研究的形式。这一过程就像是在解开一个复杂的谜题，每一步消去和整理都是在寻找关键线索，以揭示格式的本质特征。

完成这一步整理后，我们就能更清晰地看到各个格式的内在结构，进而为后续计算增长因子奠定坚实基础。而增长因子的确定对于判断差分格式的稳定性起着决定性作用，它就像是一把钥匙，能够帮助我们打开差分格式稳定性研究的大门。第28页

在探讨逼近一维线性平流方程的差分格式稳定性时，得出各式的增长因子是关键一步。前面经过一系列操作，包括改写格式、代入变量、消元整理等，如今水到渠成，得到了各式的增长因子。

这里有三种不同的格式，分别是时间向前差，空间向前差格式；时间向前差，空间向后差格式；时间向前差，空间中央差格式。增长因子对于判断差分格式的稳定性起着决定性作用。通过增长因子，我们能够依据VonNeumann条件来判断格式是否稳定。如果增长因子满足一定条件，那么就意味着VonNeumann条件满足，格式稳定；反之，则不稳定。后续我们可以根据这些增长因子进一步分析不同格式在不同条件下的稳定性情况，从而为实际应用中选择合适的差分格式提供理论依据。第29页

在我们探讨的差分格式稳定性问题中，当满足特定条件时，时间向前差、空间向前差格式展现出了良好的稳定性。具体而言，当某个特定条件成立时，就会出现一种理想的状态，即VonNeumann条件得到满足。这一条件的满足意义重大，它意味着该格式是稳定的。

稳定性是差分格式的一个关键特性，它关系到我们在实际应用中能否可靠地使用这些格式进行计算。对于时间向前差、空间向前差格式来说，其稳定性条件是经过严谨推导得出的。这个稳定性条件就像是一把钥匙，为我们打开了使用该格式进行准确计算的大门。

当我们在实际问题中运用这个格式时，只要确保满足这个稳定性条件，就能保证计算结果的可靠性和准确性。它让我们在处理相关问题时更加有信心，也为后续的研究和应用奠定了坚实的基础。总之，时间向前差、空间向前差格式的稳定性条件是我们理解和运用该格式的重要依据。第30页

在数值分析领域，我们一直在探讨差分格式的稳定性问题。对于时间向前差、空间向后差格式而言，当满足特定条件的时候，会出现一种重要的情况。

当某个特定条件达成时，会有相应的结果出现。而这个结果意味着VonNeumann条件得到了满足。VonNeumann条件在差分格式稳定性的判定中扮演着至关重要的角色。一旦这个条件满足，就说明我们所讨论的时间向前差、空间向后差格式是稳定的。

稳定性对于一个差分格式来说，是极其关键的特性。稳定的格式能够在数值计算过程中，保证计算结果不会出现剧烈的波动或者发散，从而使得计算结果是可靠的、有意义的。

针对这个时间向前差、空间向后差格式，其稳定性条件是明确的。这个条件所体现的是时间差和空间差之间的一种微妙关系，只有当它们满足这个特定关系时，格式才能展现出稳定的特性。这种稳定性条件是我们在实际应用这个差分格式进行数值计算时必须要严格遵守的，它为我们的计算过程提供了坚实的保障。第31页

在差分格式的稳定性研究中，时间向前差、空间中央差格式有着独特的性质。当满足一定条件时，无论怎样选取网格比，都会出现特定的情况。这里的网格比选取是一个关键因素，它在差分格式的稳定性判断中起着重要作用。

而稳定性的判断依赖于VonNeumann条件，这是差分格式稳定的必要条件。在时间向前差、空间中央差格式里，当出现不管网格比如何选取总有不满足该条件的情况时，从理论上来说，就意味着这种格式是不稳定的。

这一结论对于整个差分格式的应用和研究有重要意义。不稳定的格式在实际计算中可能会导致误差的不断积累和放大。也就是说，在运用时间向前差、空间中央差格式进行数值计算时，可能会因为其不稳定性而无法得到准确可靠的结果，这就要求我们在实际中谨慎使用该格式，或者寻找其他更稳定的格式来替代它。第32页

现在来看例4.2，这是关于逼近一维线性平流方程的内容。我们要考虑的是其三层显式差分格式，也就是蛙跳格式。在前面我们探讨了不同格式的增长因子、稳定性条件等内容，像时间向前差分别搭配空间向前差、向后差、中央差等格式。而现在引入的蛙跳格式作为三层显式差分格式，与之前的格式有所不同。三层格式在讨论稳定性时，一般有其特定的方法，通常会先将其化成与其等价的二层差分方程组。蛙跳格式在逼近一维线性平流方程中有着独特的作用和特点，研究它的稳定性对于深入理解一维线性平流方程的数值解法至关重要，它能帮助我们更精准地模拟和求解相关问题，后续我们也会基于此进一步展开对其稳定性等方面的探讨。第33页

我们现在来看例4.2，这里要考虑的是逼近一维线性平流方程的三层显式差分格式，也就是蛙跳格式。在数值计算领域，差分格式是求解偏微分方程的重要手段，而蛙跳格式作为一种三层显式差分格式，有其独特的优势和应用场景。

一维线性平流方程描述了物质在一维空间中的平流传输现象，在气象学、流体力学等众多领域都有广泛的应用。采用蛙跳格式来逼近它，是因为这种格式在一定条件下能够较为准确地模拟方程所描述的物理过程。

不过，对于这种三层格式，其稳定性的讨论相对复杂。一般而言，我们需要先将其化成与其等价的二层差分方程组，再进行稳定性分析。就像前面我们对不同时间和空间差格式进行稳定性分析一样，稳定的差分格式对于准确求解方程至关重要，不稳定的格式可能会导致计算结果的严重偏差甚至无法收敛。所以，后续我们也需要对蛙跳格式的稳定性展开深入探讨。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩阵方法)

4.3Hirt启示法

4.4能量分析法(或范数法)

4.5数值算例第四讲有限差分法稳定性分析Fourier方法判别准则算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)Fourier方法判别准则算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)以一维线性平流方程初值问题Fourier方法(4.1.1)的两层显式差分格式(时间向前差，空间向后差)为例介绍该方法，其中为网格比。(4.1.2)Fourier方法以一维线性平流方程初值问题(4.1.1)的两层显式差分格式(时间向前差，空间向后差)为例介绍该方法，其中为网格比。(4.1.2)扩充离散函数定义域差分格式(4.1.2)的解及初值只是在网格点上有意义。为了应用

Fourier方法，必须扩充这些函数的定义域，令(4.1.2)式中第一个方程可以写为：(4.1.3)Fourier积分变换(4.1.3)对上式应用Fourier积分：由此得出：推广到一般形式的差分格式(限于常系数情形)：上式中因子称为增长因子。由此得出：推广到一般形式的差分格式(限于常系数情形)：上式中因子称为增长因子。(4.1.2)由此得出：推广到一般形式的差分格式(限于常系数情形)：上式中因子称为增长因子。(4.1.2)令(4.1.2)为即：上式中因子称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。令Fourier方法(4.1.4)若(4.1.4)可写为(4.1.6)(4.1.5)对于二层差分格式上式中因子称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。令Fourier方法(4.1.4)若(4.1.4)可写为上述概念同样适用于差分方程组的情形。例如当时，则令，即此时，(4.1.6)中的

为二阶矩阵，称为增长矩阵。(4.1.6)(4.1.5)对于二层差分格式上式中因子称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。令Fourier方法(4.1.4)若(4.1.4)可写为上述概念同样适用于差分方程组的情形。例如当时，则令，即此时，(4.1.6)中的

为二阶矩阵，称为增长矩阵。(4.1.6)(4.1.5)从物理角度，(4.1.5)式也可理解为将表示为其谐波分量的形式，其中，为振幅，为波数，为波长，。对于二层差分格式Fourier方法判别准则算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)上式中因子称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。令判别准则(4.1.4)若(4.1.4)可写为(4.1.6)(4.1.5)下面不加证明地给出用增长因子判定差分格式(4.1.4)稳定性的一系列判定定理。对于二层差分格式其中的矩阵范数可用任何一种范数。差分格式

(4.1.4)稳定的充分必要条件是存在常数，，使得当时，对所有的，有上式中因子称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。令(4.1.4)若(4.1.4)可写为(4.1.6)(4.1.5)对于二层差分格式VonNeumann条件VonNeumann条件对于二层差分格式上式中因子称为增长因子(或增幅因子，放大因子等)。令(4.1.4)若(4.1.4)可写为(4.1.6)(4.1.5)其中为

p阶矩阵的特征值。

定理

4.1差分格式

(4.1.4)稳定的必要条件是存在常数，使得当时，对所有的，有(4.1.7)条件

(4.1.7)称为

VonNeumann条件，其重要性在于，很多情况下，这个条件也是稳定性的充分条件。

正规矩阵设

n阶方阵

A，为其共轭转置矩阵，如果，则

A称为正规矩阵。对于正规矩阵

A，有，即

A的

2-范数等于其谱半径。设A是n×n矩阵，λi是其特征值，i=1，2，……，n。称ρ(A)=max{|λi|,i=1,2,……,n}为A的谱半径。即矩阵A的谱半径等于矩阵A的特征值的模的最大值；若特征值为虚数，则谱半径为实部与虚部的平方和的开方。判别准则

定理

4.2如果差分格式的增长矩阵

G(k)是正规矩阵，则VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

推论

1

当G(k)是实对称矩阵，酉矩阵，Hermite矩阵时，VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

推论

2

当p=1时，G(k)只有一个元素，则VonNeumann条件是差分格式稳定的充要条件。则以

G(k)为增长矩阵的差分格式是稳定的。

定理

4.3如果存在常数，使得判别准则其中为

p阶矩阵的特征值。

定理

4.1差分格式

(4.1.4)稳定的必要条件是存在常数，使得当时，对所有的，有(4.1.7)则差分格式是稳定的。

定理

4.4如果对于，所有，增长矩阵G(k)的元素有界，并且判别准则则

VonNeumann条件是差分格式稳定的必要且充分条件。

定理

4.5如果增长矩阵，其中，，为网格比，并对任意给定的，下列条件之一成立：(1)有

p个不同的特征值；(2)有

p个不同的特征值；(3)Fourier方法判别准则算例4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)例4.1考虑逼近一维线性平流方程的三个两层显式差分格式：（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：(2.15)(2.16)(2.13)（1）时间向前差，空间向前差格式：（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：（1）时间向前差，空间向前差格式：记网格比为，首先将三个格式改写为：(2.15)(2.16)(2.13)（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：（1）时间向前差，空间向前差格式：记网格比为，首先将三个格式改写为：(2.15)(2.16)(2.13)（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：（1）时间向前差，空间向前差格式：令，代入各式，得：（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：（1）时间向前差，空间向前差格式：消去令，整理得：所以，各式的增长因子分别为（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：（1）时间向前差，空间向前差格式：所以，当时，有，即VonNeumann条件满足，格式是稳定的。稳定性条件，即为（1）时间向前差，空间向前差格式：所以，当时，有，即VonNeumann条件满足，格式是稳定的。稳定性条件，即为（2）时间向前差，空间向后差格式：（3）时间向前差，空间中央差格式：当时，不管怎样选取网格比，总有，这样不满足差分格式稳定的必要条件VonNeumann条件，所以格式是不稳定的。例4.2

考虑逼近一维线性平流方程的三层显式差分格式，蛙跳格式：例4.2

考虑逼近一维线性平流方程的三层显式差分格式，蛙跳格式：(2.21)例4.2

考虑逼近一维线性平流方程的三层显式差分格式，蛙跳格式：这是一个三层格式，讨论这种类型的差分格式的稳定性，一般先化成与其等价的二层差分方程组：(2.21)这是一个三层格式，讨论这种类型的差分格式的稳定性，一般先化成与其等价的二层差分方程组：如果令，则上述方程组可以写成：这是一个三层格式，讨论这种类型的差分格式的稳定性，一般先化成与其等价的二层差分方程组：如果令，则上述方程组可以写成：如果令，则上述方程组可以写成：令，其中，代入上式并消去，得：所以，增长矩阵为所以，增长矩阵为下面求增长矩阵的特征值所以，增长矩阵为下面求增长矩阵的特征值增长矩阵的特征值为所以，当时，有，

因此当时，蛙跳格式满足VonNeumann条件满足。当时，增长矩阵有两个互不相同的特征值，所以蛙跳格式是稳定的。当时，为方便起见，取，则增长矩阵容易计算得出用数学归纳法可推得由此得出当时，为方便起见，取，则增长矩阵容易计算得出用数学归纳法可推得由此得出从而知，当时，蛙跳格式不稳定。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩阵方法)

4.3Hirt启示法

4.4能量分析法(或范数法)

4.5数值算例第四讲有限差分法稳定性分析直接方法(或矩阵方法)(4.2.1)若(4.2.1)可写为对于二层差分格式其中，A

为

J阶方阵。其中的矩阵范数可用任何一种范数。差分格式

(4.2.1)稳定的充分必要条件为是差分格式

(4.2.1)稳定的必要条件。其中M为常数

(1)谱半径条件

(2)如果

A

为正规方阵，则(4.2.2)也是格式稳定的充分条件(4.2.2)直接方法举例

考虑一维扩散方程的初边值问题采用下列显式差分格式来逼近(4.2.3)采用下列显式差分格式来逼近(4.2.3)先把差分方程(4.2.3a)写成(4.2.3)采用下列显式差分格式来逼近(4.2.4)先把差分方程(4.2.3a)写成(4.2.4)其中，可以把(4.2.4)写成向量形式，即(4.2.5)如果令并考虑到，则(4.2.5)式可以写成先把差分方程(4.2.3a)写成(4.2.4)其中可以表示为，I为J-1阶单位矩阵，S为关键是求出S的特征值。设和分别为S的特征值和特征向量。关键是求出S的特征值。设和分别为S的特征值和特征向量。关键是求出S的特征值。设和分别为S的特征值和特征向量。写成分量的形式：(4.2.6)S为对称矩阵，所以特征值为实数。由Gerschgorin（盖尔）圆盘定理知：写成分量的形式：(6.2.6)S为对称矩阵，所以特征值为实数。由Gerschgorin（盖尔）圆盘定理知：其中为矩阵S的元素，所以。设(4.2.6)的解具有形式：则(4.2.6)第一式的特征方程为：解为：写成分量的形式：(6.2.6)S为对称矩阵，所以特征值为实数。由Gerschgorin（盖尔）圆盘定理知：解为：显然，取，则，因此(4.2.6)的解可以表示为显然，取，则，因此(6.2.6)的解可以表示为由，得到，再由，得到则，由于，有则，所以，注意到，则

S的特征值为，A的特征值为当时，，因此格式的稳定性条件为如果采用的是隐式差分格式(4.2.7)直接方法举例

考虑一维扩散方程的初边值问题如果采用的是隐式差分格式(4.2.7)如果采用的是隐式差分格式(6.2.7)可以把(4.2.7)写成向量形式：其中

，，利用前面求得的S的特征值，可以得到

B的特征值可以把(4.2.7)写成向量形式：其中

，，利用前面求得的S的特征值，可以得到

B的特征值由此可知，从而有

，因为

B为对称矩阵，所以也为对称矩阵，因此由直接方法的两个结论知，上述隐式格式是无条件稳定的。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩阵方法)

4.3Hirt启示法

4.4能量分析法(或范数法)

4.5数值算例第四讲有限差分法稳定性分析Hirt启示法

Hirt启示法是一种近似分析方法，主要是把差分格式在某确定点上作Taylor级数展开，把高阶误差项略去，只留最低阶的误差项。如果差分格式是相容的，那么这样得到的新的微分方程(称之为第一微分近似或修正微分方程)与原来的微分方程相比只增加了一些含有小参数的较高阶导数的附加项。Hirt启示法的判别准则是：如果第一微分近似是适定的(解是存在、唯一且稳定的)，那么原来微分方程的差分格式是稳定的，否则是不稳定的。Hirt启示法的优点是可以对非线性问题进行分析，从而得到近似的稳定性条件。Hirt启示法举例以一维线性平流方程初值问题的两层显式差分格式(时间向前差，空间向后差)为例介绍该方法。在格点处进行

Taylor级数展开，有在格点处进行

Taylor级数展开，有即即即在格点处，由差分方程得到在格点处，由差分方程得到由平流方程可以得到在格点处，由差分方程得到因此略去高阶误差项，得到第一微分近似略去高阶误差项，得到第一微分近似当时，方程化为原来的平流方程。否则为抛物型方程，要有意义，必须略去高阶误差项，得到第一微分近似当时，方程化为原来的平流方程。否则为抛物型方程，要有意义，必须当时，方程化为原来的平流方程。否则为抛物型方程，要有意义，必须因此，第一微分近似适定的条件为由此得出所讨论差分格式稳定的条件为Hirt启示法举例再分析一维线性平流方程初值问题的两层显式差分格式(时间向前差，空间向前差)仿照上面推导可以得到它的第一微分近似为可以看出上式右端项二阶偏导前面的系数小于0，因此第一微分近似是不适定的，从而得出此格式是不稳定。4.1Fourier方法(或VonNeumann方法)

4.2直接方法(或矩阵方法)

4.3Hirt启示法

4.4能量分析法(或范数法)

4.5数值算例第四讲有限差分法稳定性分析能量分析法(或范数法)

对于变系数问题和非线性问题，一般不能采用Fourier方法和直接法来讨论差分格式的稳定性。而对于上述这些问题，能量不等式方法是研究差分格式稳定性的有理工具。

考虑算子形式的发展方程(4.4.1)和对应的二层差分格式(4.4.2)离散空间及其范数引入空间：由

n维向量所构成的离散空间，定义其上的内积为(4.4.3)其中，为空间中任意两个元素，为对角矩阵的对角元，称为权重系数矩阵。相应地，上的范数定义为(4.4.4)对于差分格式(4.4.2)的解，其内积和范数可以直接采用上述定义，只是其中的恒取为空间步长即可。非负算子

定义

4.1如果算子L满足(4.4.5)则称算子L为非负算子；当等号成立时，称算子L满足为零算子或广义反对称算子。主要稳定性定理

定义

4.2若当足够小，由差分格式(6.4.2)得到的解满足(4.4.5)则称差分格式是稳定的。

显然当或（C为常数）时，格式是稳定的。

定理

4.6若为非负算子，则当时，差分格式(4.4.2)是无条件稳定的。

定理

4.6若为非负算子，则当时，差分格式(4.4.2)是无条件稳定的。(4.4.2)证明：用与(4.4.2)作内积，得

定理

4.6若为非负算子，则当时，差分格式(4.4.2)是无条件稳定的。由条件为非负算子，可知证明：用与(4.4.2)作内积，得所以由条件，可知