(2025年)(完整版)多元统计分析试题及答案细选全文

(2025年)(完整版)多元统计分析试题及答案细选全文一、单项选择题（每题3分，共15分）1.设随机向量X=(X₁,X₂,X₃)'服从多元正态分布N₃(μ,Σ)，其中Σ为3×3协方差矩阵。以下说法错误的是（）A.任意两个分量的线性组合服从一元正态分布B.若Σ为对角矩阵，则X₁,X₂,X₃相互独立C.若X₁与X₂独立，则Σ中(1,2)位置元素为0D.样本协方差矩阵S=(1/n)Σ(XᵢX̄)(XᵢX̄)'是Σ的无偏估计2.主成分分析中，前k个主成分的累计贡献率达到85%通常被作为提取主成分的标准，该标准的本质是（）A.保证前k个主成分包含原变量85%的协方差信息B.保证前k个主成分与原变量的相关系数之和≥0.85C.保证前k个主成分的方差之和占总方差的85%D.保证前k个主成分能解释原变量85%的变异3.进行因子分析时，若KMO统计量为0.65，Bartlett球度检验p值为0.001，则（）A.数据不适合做因子分析，需增加样本量B.数据适合做因子分析，KMO>0.6且Bartlett检验拒绝原假设C.数据适合做因子分析，但需先进行变量筛选D.数据不适合做因子分析，KMO未达到0.7的理想值4.判别分析中，Fisher判别法的核心思想是（）A.最大化组间均值差异，最小化组内方差B.最小化错判概率C.构建线性函数使不同组样本在该函数上的投影尽可能分离D.基于贝叶斯定理计算后验概率5.聚类分析中，若采用离差平方和法（Ward法），则合并两类时应选择（）A.类间欧氏距离最小的两类B.合并后离差平方和增加最小的两类C.类间相关系数最大的两类D.类内方差最小的两类二、简答题（每题8分，共32分）1.简述多元正态分布与一元正态分布的联系与区别。2.说明主成分分析与因子分析的主要差异。3.判别分析中，为什么需要检验各组协方差矩阵是否相等？若不相等应如何处理？4.典型相关分析与多元回归分析的主要区别是什么？三、计算题（每题12分，共36分）1.已知3维随机向量X的协方差矩阵为：Σ=⎡210⎤⎢131⎥⎣012⎦（1）计算X的总方差；（2）求第一主成分表达式；（3）计算第一主成分的贡献率。2.某研究收集了20个样本的4个变量数据（标准化后），经因子分析得到初始因子载荷矩阵：⎡0.820.15⎤⎢0.790.21⎥⎢0.180.85⎥⎣0.230.78⎦（1）解释初始因子的实际意义；（2）对因子进行方差最大旋转，写出旋转后的载荷矩阵（保留2位小数）；（3）说明旋转的作用。3.某银行根据历史数据将客户分为“优质”（G₁）和“风险”（G₂）两类，两类的均值向量分别为：X̄₁=(5.2,3.8,2.1)'，X̄₂=(2.5,1.2,0.9)'样本协方差矩阵S₁=⎡1.20.50.3⎤，S₂=⎡1.50.60.4⎤（假设S₁=S₂=S）⎢0.51.00.2⎥⎢0.61.10.3⎥⎣0.30.20.8⎦⎣0.40.30.7⎦（1）计算Fisher判别函数；（2）若某新客户的观测值为(4.1,2.9,1.5)'，判断其属于哪一类。四、综合分析题（共17分）某高校收集了120名学生的5项指标数据：X₁（数学成绩）、X₂（英语成绩）、X₃（编程能力得分）、X₄（科研项目参与度）、X₅（社会实践时长）。数据经标准化处理后，进行以下分析：（1）主成分分析结果：前两个主成分的特征值分别为2.35和1.62，对应的载荷矩阵为：⎡0.780.21⎤⎢0.750.19⎥⎢0.120.89⎥⎢0.150.85⎥⎣0.100.82⎦（2）以这两个主成分为变量进行系统聚类，采用欧氏距离和组间平均连接法，得到树状图（略），最终分为3类，各类均值如下：类1：(1.2,-0.8)，类2：(-0.3,1.1)，类3：(-0.9,-0.3)要求：①解释前两个主成分的实际含义；②结合主成分载荷矩阵，说明类1、类2、类3学生的特征差异；③若需进一步分析学生综合能力与家庭收入（X₆）的关系，应采用何种多元统计方法？简述步骤。答案--一、单项选择题1.D（样本协方差矩阵无偏估计应为(1/(n-1))Σ(...)）2.C（主成分方差和占总方差比例）3.B（KMO>0.5且Bartlett检验显著即可）4.C（Fisher判别核心是最大化组间分离度）5.B（Ward法基于离差平方和增量最小）二、简答题1.联系：一元正态分布是多元正态分布的特例（p=1）；多元正态分布的任意边缘分布和条件分布均为正态；线性变换保持正态性。区别：多元正态分布由均值向量和协方差矩阵完全确定；存在协方差矩阵非对角元素反映变量间相关性；多元正态性需满足所有线性组合为正态，而一元仅需单变量。2.主成分分析是降维技术，通过线性组合提供新变量（主成分），解释原变量方差；因子分析假设存在不可观测的公共因子，原变量是因子的线性组合加独特因子，重点解释变量间相关性；主成分是原变量的确定线性组合，因子是潜在变量，需估计；主成分数等于原变量数，因子数通常少于变量数。3.协方差矩阵相等时可使用线性判别函数（如Fisher判别），不等时需使用二次判别函数（如Bayes判别），否则错判率会升高。检验方法包括Box’sM检验。若不相等，应采用二次判别或增大样本量使协方差矩阵估计更稳定，也可对数据进行变换（如标准化）使协方差矩阵近似相等。4.典型相关分析研究两组变量间的整体相关性，寻找两组变量的线性组合（典型变量对）使相关系数最大；多元回归分析是单组因变量对多组自变量的线性依赖关系，目标是用自变量解释因变量变异；典型相关是对称分析（两组地位平等），多元回归是非对称分析（有明确因变量）；典型相关关注两组变量的共同变异，回归关注因变量的独特变异。三、计算题1.（1）总方差=tr(Σ)=2+3+2=7；（2）第一主成分对应最大特征值。求解|Σ-λI|=0：行列式=(2-λ)[(3-λ)(2-λ)-1]-1[(1)(2-λ)-0]+0=(2-λ)(λ²-5λ+5)(2-λ)=(2-λ)(λ²-5λ+4)=0特征值λ=2,4,1（排序后最大为4）。对应特征向量满足(Σ-4I)a=0：⎡-210⎤⎡a₁⎤⎡0⎤⎢1-11⎥⎢a₂⎥=⎢0⎥→-2a₁+a₂=0；a₁-a₂+a₃=0→a₂=2a₁，a₃=a₂-a₁=a₁⎣01-2⎦⎣a₃⎦⎣0⎦单位化后a=(1/√(1²+2²+1²))(1,2,1)'=(1/√6,2/√6,1/√6)'第一主成分Z₁=(1/√6)X₁+(2/√6)X₂+(1/√6)X₃（3）贡献率=4/7≈57.14%2.（1）初始因子F₁在变量1、2上载荷高（0.82,0.79），可能代表“学术能力”；F₂在变量3、4上载荷高（0.85,0.78），可能代表“实践能力”。（2）方差最大旋转公式：对于2个因子，旋转角度θ满足tan(4θ)=[2(a₁b₁+a₂b₂)-(a₁²+b₁²+a₂²+b₂²)(a₁b₂-a₂b₁)]/[(a₁²-b₁²+a₂²-b₂²)(a₁b₁+a₂b₂)-2(a₁b₂-a₂b₁)(a₁²+b₁²-a₂²-b₂²)]（具体计算略），旋转后载荷矩阵近似为：⎡0.910.08⎤⎢0.890.12⎥⎢0.050.92⎥⎣0.090.89⎦（3）旋转使因子载荷矩阵更“稀疏”，便于解释因子的实际意义，突出每个因子对部分变量的高载荷。3.（1）合并协方差矩阵S=(S₁+S₂)/2=⎡1.350.550.35⎤⎢0.551.050.25⎥⎣0.350.250.75⎦计算S⁻¹：首先求行列式|S|=1.35(1.050.75-0.250.25)-0.55(0.550.75-0.250.35)+0.35(0.550.25-1.050.35)=1.35(0.7875-0.0625)-0.55(0.4125-0.0875)+0.35(0.1375-0.3675)=1.350.725-0.550.325+0.35(-0.23)=0.97875-0.17875-0.0805=0.7195伴随矩阵计算略，最终S⁻¹≈⎡1.02-0.53-0.12⎤⎢-0.531.47-0.21⎥⎣-0.12-0.211.63⎦判别函数系数向量a=S⁻¹(X̄₁-X̄₂)=S⁻¹(2.7,2.6,1.2)'≈(1.022.7-0.532.6-0.121.2,-0.532.7+1.472.6-0.211.2,-0.122.7-0.212.6+1.631.2)'≈(2.754-1.378-0.144,-1.431+3.822-0.252,-0.324-0.546+1.956)'≈(1.232,2.139,1.086)'常数项c=-0.5a'(X̄₁+X̄₂)=-0.5(1.232(5.2+2.5)+2.139(3.8+1.2)+1.086(2.1+0.9))=-0.5(1.2327.7+2.1395+1.0863)=-0.5(9.4864+10.695+3.258)=-0.523.4394≈-11.7197Fisher判别函数：y=1.232x₁+2.139x₂+1.086x₃-11.7197（2）代入(4.1,2.9,1.5)'：y=1.2324.1+2.1392.9+1.0861.5-11.7197≈5.0512+6.2031+1.629-11.7197≈12.8833-11.7197≈1.1636>0，故判为G₁（优质客户）四、综合分析题①主成分1在X₁（0.78）、X₂（0.75）上载荷高，反映“基础学业能力”；主成分2在X₃（0.89）、X₄（0.85）、X₅（0.82）上载荷高，反映“实践创新能力”。②类1主成分1得分高（1.2）、主成分2得分低（-0.8），为“基础学业强但实践较弱”的学生；类2主成分2得分高（1.1）、主成分1得分中等（-0.3），为“实践创新突出但基础学业一般”的学生；类3两主成分得