2025年大学数学与应用数学（数学建模基础）试题及答案

2025年大学数学与应用数学（数学建模基础）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）本题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.数学建模中，建立模型的第一步通常是A.收集数据B.提出问题C.选择模型类型D.进行模型求解答案：B2.对于一个实际问题，以下哪种情况最适合用线性规划模型来解决A.预测人口增长趋势B.优化生产资源分配C.分析市场需求变化D.研究化学反应过程答案：B3.在数学建模中，数据预处理不包括以下哪个步骤A.数据清洗B.数据可视化C.数据标准化D.数据降维答案：B4.若要建立一个预测股票价格的模型，以下哪种数据可能最为关键A.公司财务报表数据B.历史天气数据C.社交媒体热度数据D.城市交通流量数据答案：A5.数学建模过程中，模型的验证主要是为了A.检查模型是否美观B.确保模型符合实际情况C.测试模型运行速度D.查看模型是否复杂答案：B6.当模型的预测结果与实际数据偏差较大时，首先应该考虑的是A.更换模型求解算法B.增加数据量C.检查模型假设是否合理D.调整模型参数答案：C7.在建立数学模型时，关于参数估计，以下说法正确的是A.参数估计只能用一种方法B.参数估计不影响模型精度C.不同的参数估计方法可能得到不同结果D.不需要进行参数估计答案：C8.对于一个复杂的实际问题，建立多个数学模型并进行比较分析，其目的不包括A.找到最优模型B.深入理解问题C.增加工作量D.提高模型可靠性答案：C9.数学建模中，模型的灵敏度分析是为了研究A.模型的计算效率B.模型对不同参数的敏感程度C.模型的稳定性D.模型的可视化效果答案：B10.若要建立一个评估学生成绩的模型，以下哪些因素通常不需要考虑A.学生平时作业完成情况B.学生的身高体重C.学生的考试成绩D.学生课堂表现答案：B第II卷（非选择题共70分）11.（10分）简述数学建模的一般流程。答题要求：请详细阐述从问题提出到模型应用的各个主要步骤。12.（15分）在一个生产规划问题中，已知生产A产品每件利润为5元，生产B产品每件利润为8元。生产A产品需要消耗原材料2单位，生产B产品需要消耗原材料3单位，而现有原材料总量为12单位。同时，生产A产品需要3小时工时，生产B产品需要2小时工时，总工时为18小时。请建立线性规划模型来确定如何安排生产，使得利润最大。答题要求：写出目标函数和约束条件。13.（15分）现有一组关于某城市每月用电量的数据，经过分析发现数据存在一些异常值。请说明如何进行数据清洗，并阐述数据清洗的重要性。答题要求：详细说明数据清洗的方法及对模型准确性的影响。14.（15分）材料：某电商平台为了提高销售额，计划推出一项促销活动。经过市场调研，发现顾客购买商品的金额与购买频率之间存在一定关系。已知部分数据如下：购买金额在100-200元的顾客，平均每月购买1次；购买金额在200-300元的顾客，平均每月购买1.5次；购买金额在300-400元的顾客，平均每月购买2次。问题：请根据这些数据建立一个简单的数学模型，预测不同购买金额区间顾客的购买频率，并分析该模型对电商平台制定促销策略的意义。答题要求：建立合理的模型并阐述其意义。15.（15分）材料：某工厂生产两种产品X和Y，生产X产品需要使用机器A工作2小时，机器B工作3小时；生产Y产品需要使用机器A工作4小时，机器B工作1小时。机器A每天最多工作16小时，机器B每天最多工作12小时。已知生产X产品每件利润为300元，生产Y产品每件利润为200元。问题：请建立线性规划模型确定每天生产X和Y产品各多少件，可使利润最大，并求出最大利润。答题要求：写出完整的模型建立过程及求解结果。答案：11.数学建模一般流程：首先提出问题，明确实际问题的背景和目标；然后收集数据，获取与问题相关的各种信息；接着进行模型假设，简化问题并确定关键因素；再选择合适的模型类型，如线性规划、回归分析等；之后建立模型，用数学语言描述问题；对模型进行求解，得到结果；通过验证，检查模型是否符合实际；最后对模型进行分析和改进，如灵敏度分析等，还可将模型应用于实际问题，指导决策。12.设生产A产品x件，生产B产品y件。目标函数：Z=5x+8y（利润最大）。约束条件：2x+3y≤12（原材料约束），3x+2y≤18（工时约束），x≥0，y≥0（非负约束）。13.数据清洗方法：可采用统计分析方法，如计算均值、中位数等，对于偏离均值过大的数据视为异常值，可考虑用均值、中位数等进行替换；也可根据数据分布情况，设定合理的边界值，超出边界的数据进行修正或删除。数据清洗重要性：去除异常值可避免其对模型的干扰，使模型更准确地反映数据的真实规律，提高模型的可靠性和预测精度。14.设购买金额为x元，购买频率为y次。可建立线性回归模型：y=ax+b。利用已知数据，通过最小二乘法求出a和b的值。如设x1=150（代表100-200元中间值），y1=1；x2=250，y2=1.5；x3=350，y3=2。计算可得a=0.005，b=0.25。模型意义：可预测不同购买金额区间顾客购买频率，电商平台据此针对不同金额区间顾客制定促销策略，如对购买金额低但频率高的顾客提供小额优惠券，对购买金额高但频率低的顾客提供大额折扣等，提高销售额。15.设生产X产品x件，生产Y产品y件。目标函数：Z=300x+200y（利润最大）。约束条件：2x+4y≤16（机器A工作时间约束），3x+y≤12（机器B工作时间约束），x≥0，y≥0（非负约束）。由2x+4y=16得x=8-2y，代入3x+y≤12得3(8-2y)+y≤12，24-6y+y