2025年大学统计学（统计推断）试题及答案

2025年大学统计学（统计推断）试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的样本，X̅为样本均值，S²为样本方差，则下列说法正确的是（）A.(X̅-μ)/(S/√n)服从标准正态分布B.nS²/σ²服从χ²(n-1)分布C.(X̅-μ)/(S/√n)服从t(n-1)分布D.(n-1)S²/σ²服从χ²(n-1)分布（答案：D）2.在假设检验中，显著性水平α的意义是（）A.原假设H₀成立，经检验被拒绝的概率B.原假设H₀成立，经检验不能被拒绝的概率C.原假设H₀不成立，经检验被拒绝的概率D.原假设H₀不成立，经检验不能被拒绝的概率（答案：A）3.对于总体均值μ的区间估计，当样本容量n固定时，置信水平1-α越大，则置信区间（）A.越宽B.越窄C.不变D.可能宽也可能窄（答案：A）4.设总体X服从参数为λ的泊松分布，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则λ的矩估计量为（）A.X̅B.S²C.1/X̅D.1/S²（答案：A）5.在一元线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，ε表示（）A.随机误差B.回归系数C.自变量X的系数D.因变量Y的均值（答案：A）6.对两个总体均值之差进行假设检验，在大样本情况下，采用的检验统计量是（）A.Z统计量B.t统计量C.F统计量D.χ²统计量（答案：A）第II卷（非选择题共70分）二、填空题（共10分）答题要求：本大题共5小题，每小题2分。请将答案填在题中的横线上。1.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，样本容量为n，则样本均值X̅服从______分布。（答案：N(μ,σ²/n)）2.已知样本方差S²=10，样本容量n=10，则总体方差σ²的无偏估计值为______。（答案：100/9）3.在假设检验中，若原假设H₀被拒绝，则称检验结果是______的。（答案：显著）4.设总体X服从均匀分布U(0,θ)，X₁,X₂,…,Xₙ为样本，则θ的极大似然估计量为______。（答案：2X̅(n)，其中X̅(n)为样本最大值）5.一元线性回归模型中，回归系数β₁的最小二乘估计量为______。（答案：(∑(xᵢ-x̅)(yᵢ-y̅))/(∑(xᵢ-x̅)²)）三、简答题（共20分）答题要求：本大题共2小题，每小题10分。请简要回答问题。1.简述参数估计和假设检验的联系与区别。2.说明在一元线性回归分析中，如何检验回归方程的显著性。四、计算题（共20分）答题要求：本大题共2小题，每小题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.设总体X服从正态分布N(1,4)，X₁,X₂,X₃为样本。求P(X̅>2)。2.已知一组数据如下：|x|1|2|3|4|5||----|----|----|----|----|----||y|2|4|6|8|10|求一元线性回归方程，并检验回归方程的显著性（α=0.05）。五、综合分析题（共20分）答题要求：本大题共2小题，每小题10分。请结合所学知识进行分析解答。1.某工厂生产的灯泡寿命X服从正态分布N(μ,σ²)，从该工厂生产的一批灯泡中随机抽取16个，测得样本均值X̅=1500小时，样本标准差S=20小时。（1）求总体均值μ的置信水平为0.95的置信区间。（2）若已知该工厂生产的灯泡寿命的国家标准为1520小时，在显著性水平α=0.05下，能否认为该批灯泡的寿命符合国家标准？2.为研究某地区居民收入水平与消费支出之间的关系，随机抽取了10户家庭，得到如下数据：|收入x（千元）|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11||----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||消费y（千元）|1.5|2|2.5|3|3.5|4|4.5|5|5.5|6|（1）建立消费支出y对收入x的一元线性回归方程。（2）对回归方程进行显著性检验（α=0.05）。答案：二、1.N(μ,σ²/n)2.100/93.显著4.2X̅(n)5.(∑(xᵢ-x̅)(yᵢ-y̅))/(∑(xᵢ-x̅)²)三、1.联系：参数估计和假设检验都是利用样本信息对总体参数进行推断。区别：参数估计是用样本统计量估计总体参数的取值范围；假设检验是先对总体参数提出假设，然后利用样本信息判断假设是否成立。2.在一元线性回归分析中，检验回归方程的显著性常用F检验。通过计算F统计量，与给定显著性水平下的临界值比较。若F值大于临界值，则认为回归方程显著，即自变量X对因变量Y有显著影响。四、1.因为X̅服从N(1,4/3)，则(X̅-1)/(2/√3)服从标准正态分布。P(X̅>2)=P((X̅-1)/(2/√3)>(2-1)/(2/√3))=1-Φ(√3/2)≈1-0.9332=0.0668。2.计算得x̅=3，y̅=6，∑(xᵢ-x̅)(yᵢ-y̅)=20，∑(xᵢ-x̅)²=10，则β₁=2，β₀=0，回归方程为y=2x。计算F统计量进行显著性检验。五、1.（1）t(0.025,15)=2.1314，置信区间为(1500-2.1314×20/√16,1500+2.1314×20/√16)=(1489.343,∑(xᵢ-x̅)(yᵢ-y̅))/(∑(xᵢ-x̅)²)）。（2）提出假设H₀：μ=1520，H₁：μ≠1520。计算t统计量，与临界值比较判断是否拒绝H₀。2.（1）计