2025北京清华附中初一（下）期末数学试题及答案

初中2025北京清华附中初一（下）期末数学2025.07一、选择题（本题共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是（）A.1 B.2 C.8 D.122.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3.如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（）A. B.C. D.4.在解关于，的二元一次方程组时，如果①②可直接消去未知数，那么和满足的条件是（）A. B. C. D.5.每一个外角都是的正多边形是（）A.正四边形 B.正五边形 C.正六边形 D.正七边形6.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗，问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒，问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（）A. B. C. D.7.如图，D为内一点，平分，，，若，则的度数为（）A. B. C. D.8.若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（）A. B. C. D.9.若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.410.如图，在和中，若，，，、交于点M，连接，则下列结论：①；②；③平分；④平分，其中正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个二、填空题（本题共18分，每题3分）11.已知是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么a的值是______．12.如图，在中，平分，于E．若，，则______．13.若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为___________．14.在平面直角坐标系中，点在第四象限，则a的取值范围是______．15.如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是_____．16.定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，有两条边的长分别为4和6，则第三条边的长为______．三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题8分，第19、20题每题5分，第21题4分，第22、23题每题6分，第24、25题每题7分）17.如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点F，，求和的度数．18.解方程组（1）；（2）．19.小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使（1）请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）：①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线；③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D；④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接．（2）在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）．①，②，③，④．20.解不等式组：21.如图，在中，，D，E是上两点，且，过点D作，过E作交于点F．求证：．22.在2025年5月24日举第的第十三届学生节上，校学生会购买“校服熊”和“校服兔”作为特许商品进行售卖，全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，相关进价和售价情况如下表所示：校服熊校服兔进价（元/个）5052售价（元/个）5559（1）校学生会在学生节前购进“校服熊”和“校服兔”共200个，由于“校服熊”和“校服兔”很受欢迎，上午便销售一空，共获利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分别购进多少个（请列方程组求解）．（2）校学生会决定中午紧急采购“校服熊”和“校服兔”若干个用于下午的销售（“校服熊”和“校服兔”均有采购），购货资金恰好为8112元，参考上午的销售情况，其中采购“校服熊”的数量不少于100个，在销售完这批“校服熊”和“校服兔”后，将全天所得全部利润捐赠给小榕树学生公益基金，捐款金额不少于2036元，则校学生会中午紧急采购“校服熊”______个，“校服兔”______个（请直接写答案）．23.如果两个不等式（组）的整数解存在且相同，则称它们是“整数同解”的．例如：不等式的解集为，其所有整数解为大于等于2的全体整数，不等式组的解集为，其所有整数解也为大于等于2的全体整数，因此不等式与不等式组是“整数同解”的．（1）下列不等式（组）中与是“整数同解”的是______（填写正确结论的序号）；①，②，③（2）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，请求出a的取值范围；（3）已知关于x的不等式组与是“整数同解”的，直接写出a的取值范围24.对给定的，考虑如下5个数：，，0，n，m，如果这5个数中有k个数是某不等式（组）的解，则称此不等式（组）为关于的“k阶不等式（组）”．例如，给定，，考虑不等式，解得：，因为，，0，2，3这五个数中有，0，2，3是该不等式的解，所以为关于的“4阶不等式”．（1）对，，在下列不等式（组）中，关于的“3阶不等式（组）”有_______（填写所有正确结论的序号）；①，②，③（2）已知m，n满足方程组，则有_____，_____（结果用含t的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若关于x的不等式是关于的“4阶不等式”，求t的取值范围．25.如图，在中，，外角的平分线与外角的平分线相交于点P，延长交的延长线于点D，延长交延长线于点E．（1）求的度数；（2）求证：．

参考答案一、选择题（本题共30分，每题3分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】C【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列式求解即可．【详解】解：三角形的两边长分别为7和4，设第三条边长为，，，只有C选项满足条件，故选：C．2.【答案】C【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键：①不等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个选项进行判断，即可解答．【详解】解：A、若，根据不等式的性质①得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；B、若，根据不等式的性质②得，，原变形不成立，故本选项不符合题意；C、若，根据不等式的性质③得，，原变形成立，故本选项符合题意；D、若，令，，得，原变形不成立，故本选项不符合题意；故选：C．3.【答案】A【分析】此题考查了全等三角形的判定定理，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理求解即可．【详解】解：已知，且，如果添加，不能根据判断，选项A符合题意；当添加，根据能判断，选项B不符合题意；当添加，根据能判断，选项C不符合题意；当添加，根据能判断，选项D不符合题意；故选：A．4.【答案】D【分析】根据求和后直接消去，令的系数为即可．【详解】解：得，可直接消去未知数，故，故选D．【点睛】本题考查了加减消元法解方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．5.【答案】B【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．根据多边形的外角和是和这个多边形的每一个外角都等于，即可求得多边形的边数．【详解】解：∵多边形的外角和是，这个多边形的每一个外角都等于，∴这个多边形的边数是，∴每一个外角都是的正多边形是正五边形，故选：B．6.【答案】A【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系．根据题意，设醇酒为斗，行酒为斗，需建立两个方程：总斗数为2斗，总花费为30钱．【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗，根据题意得，故选：A．7.【答案】C【分析】本题考查了垂线的定义，三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和等于是解题关键．由垂线的定义可得，再由三角形内角和定理得到，由角平分线的定义得到，再由三角形内角和定理求解即可．【详解】解：，，，，平分，，，，，，故选：C8.【答案】D【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式的解集是x＞3求出a的取值范围即可．【详解】∵解不等式①得：，解不等式②得：，∵关于的不等式组的解集为，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．9.【答案】B【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可．【详解】解：，由得：，方程组的解满足，，解得：，整数m的最小值为2，故选：B．10.【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的判定定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．证明，可判断①结论；根据全等三角形的性质和三角形内角和定理，可判断②结论；过点作，，根据全等三角形的性质和角平分线的判定定理，可判断③结论；假设平分，可证，则，可判断④结论．【详解】解：，，即，又，，，，①结论正确；，，，，，②结论正确；如图，过点作，，，，平分，③结论正确；假设平分，，平分，，，即，又，，，而题干中没有说明，即无法判断平分，④结论错误；故选：B．二、填空题（本题共18分，每题3分）11.【答案】5【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解题的关键．把代入，即可求解．【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程的一个解，∴，解得：．故答案为：512.【答案】4【分析】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算．【详解】解：如图，过点作于点，∵平分，∴，，∴，故答案为：4．13.【答案】【分析】二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．【详解】解：由方程是关于x，y的二元一次方程，得|n|＝1且n﹣1≠0；解得n＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．14.【答案】【分析】本题考查解一元一次不等式组、点所处的象限的特点，解答本题的关键是明确第四象限点的坐标的符号是，列出相应的不等式组．根据点在第四象限和第四象限点的坐标的特点，可以得到关于的不等式组，从而可以得到的取值范围．【详解】解：∵点在第四象限，∴，解得：，故答案为：．15.【答案】12【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义理解，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案．【详解】解：∵，，∴，∵在中，是中线，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：12．16.【答案】3或8【分析】本题考查三角形三边关系．分四种情况，由三角形三边关系定理来判断，即可得到答案．【详解】解：设三角形第三边的长是x，由三角形三边关系定理得到，∴，若，则；若，则；若，则；若，则；∵，∴三角形第三边的长是3或8．故答案为：3或8．三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18题8分，第19、20题每题5分，第21题4分，第22、23题每题6分，第24、25题每题7分）17.【答案】【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，由高线可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再利用角平分线的定义可得，再次利用三角形的内角和即可求的度数．【详解】解：∵是高，∴.∵，∴，，∴.∵是的平分线，∴，∴．18.【答案】（1）（2）【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．（1）将第二个方程减去第一个方程可消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得；（2）将第一个方程的两边同乘以2，与第二个方程相加消去，解方程可得的值，再将的值代入第一个方程，解方程可得的值，由此即可得．【小问1详解】解：，由②①得：，解得，将代入①得：，解得，所以方程组的解为．【小问2详解】解：，由①②得：，解得，将代入①得：，解得，所以方程组的解为．19.【答案】（1）见解析（2）②【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．（1）根据题意作图步骤进行作图即可；（2）根据作图痕迹，利用即可证明即可．【小问1详解】解：如图，即为所求作的三角形；【小问2详解】解：根据作图可知：，，，∴，即判定的依据是②，故答案为：②．20.【答案】【分析】本题考查了解不等式组．分别解两不等式，即可求出不等式组的解集．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为．21.【答案】见详解【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，证明，即可解答．【详解】证明：∵，∴，∵，，∴，在和中∴，∴．22.【答案】（1）“校服熊”购进120个，“校服兔”购进80个（2）104,56【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．（1）设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，利用总利润每个“校服熊”的销售利润购进数量每个“校服兔”的销售利润×购进数量，结合购进“校服熊”和“校服兔”的数量及销售后获得的总利润，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个，根据中午采购“校服熊”的数量不少于100个且全天获得的总利润不少于2036元，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合均为正整数，即可得出结论．【小问1详解】解：设“校服熊”购进个，“校服兔”购进个，根据题意得：，解得：．答：“校服熊”购进120个，“校服兔”购进80个；【小问2详解】解：设校学生会中午紧急采购“校服熊”个，则采购“校服兔”个，根据题意得：，解得：，又∵均为正整数，，个，∴校学生会中午紧急采购“校服熊”104个，“校服兔”56个．故答案为：104,56．23.【答案】（1）③（2）（3）【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），理解新定义是解题的关键．（1）根据新定义解答，即可求解；（2）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解；（3）分别求出两个不等式组的解集，再结合新定义得到关于a的不等式组，即可求解．【小问1详解】解：，解得：，∴不等式的所有整数解为大于等于2的全体整数，①，解得：，其所有整数解为大于等于5的全体整数，不符合题意；②，解得：，其所有整数解为大于等于3的全体整数，不符合题意；③，解得：，其所有整数解为大于等于2的全体整数，符合题意；故答案为：③【小问2详解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式组的解集为，∴其所有整数解为，，解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式组的解集为，∵不等式组与是“整数同解”的，∴不等式组的所有整数解为，∴，解得：；【小问3详解】解：，解得：，，解得：，∵不等式组与是“整数同解”的，设“整数同解”解集中的最大整数为，且为非负整数，则有，解得：