2025年高三数学期末踵事增华卷二

2025年高三数学期末踵事增华卷二考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三（1）班

2025年高三数学期末踵事增华卷二

一、选择题

1.函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若复数z满足z^2=1，则z的模长为

A.1

B.-1

C.2

D.√2

3.抛掷两个公平的六面骰子，点数之和为7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

4.已知函数f(x)=ax^3-3x+1在x=1处取得极值，则a的值为

A.3

B.-3

C.2

D.-2

5.不等式|3x-2|<5的解集是

A.(-1,3)

B.(-3,1)

C.(-1/3,7/3)

D.(-7/3,1/3)

6.已知圆O的方程为x^2+y^2=4，则过点(1,1)的切线方程是

A.x+y=2

B.x-y=0

C.x+y=0

D.x-y=2

7.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1，则S_5的值为

A.31

B.63

C.127

D.255

8.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则a的值为

A.-2

B.2

C.-1/2

D.1/2

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,-1)，则向量a与向量b的夹角余弦值为

A.-7/5

B.7/5

C.-5/7

D.5/7

10.已知点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线x+y=1上，则△ABC面积的最小值是

A.1/2

B.√2/2

C.1

D.√3/2

11.已知函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则a的值为

A.1

B.-1

C.e

D.-e

12.已知椭圆x^2/9+y^2/4=1的焦点到右准线的距离是

A.5/3

B.3/5

C.4/3

D.3/4

13.已知函数f(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在且为-∞，则a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

14.已知三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为2的正三角形，高为3，则三棱锥A-BCD的体积是

A.3√3/2

B.3√3

C.6√3/2

D.6√3

15.已知函数f(x)=x^4-4x^2+3，则f(x)的极值点个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空题

1.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，则φ的值为__________。

2.若复数z=1+i，则z^4的虚部为__________。

3.从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生的选法共有__________种。

4.已知函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，则a+b的值为__________。

5.不等式|2x-1|>x+1的解集是__________。

6.已知圆O的方程为x^2+y^2=9，则过点(2,1)的切线方程是__________。

7.数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_n=a_{n-1}+3，则S_10的值为__________。

8.已知直线l1:3x+ay-2=0与直线l2:x-2y+4=0垂直，则a的值为__________。

9.已知向量a=(2,-1)，b=(-1,3)，则向量a与向量b的夹角正弦值为__________。

10.已知点A(2,3)，点B(1,-1)，点C在直线y=x上，则△ABC面积的最大值是__________。

三、多选题

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是

A.y=-2x+1

B.y=x^2

C.y=log_2(x)

D.y=e^(-x)

2.下列命题中，正确的是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a^2>b^2，则a>b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b，则√a>√b

3.下列曲线中，离心率大于1的是

A.椭圆x^2/9+y^2/4=1

B.双曲线x^2/4-y^2/9=1

C.抛物线y^2=8x

D.椭圆9x^2+4y^2=36

4.下列函数中，在x=0处可导的是

A.y=|x|

B.y=x^3

C.y=e^x

D.y=sin(x)

5.下列关于三棱锥的叙述中，正确的是

A.三棱锥的体积是底面积乘以高的一半

B.三棱锥的四个面都是三角形

C.三棱锥的任意三个顶点不共线

D.三棱锥的对角线互相垂直

6.下列关于数列的叙述中，正确的是

A.等差数列的通项公式是a_n=a_1+(n-1)d

B.等比数列的通项公式是a_n=a_1q^(n-1)

C.数列的前n项和S_n可以表示为a_n的函数

D.数列的极限存在当且仅当数列收敛

7.下列关于向量的叙述中，正确的是

A.向量的模长是非负数

B.向量的方向可以表示为角度

C.向量的加法满足交换律和结合律

D.向量的数量积是两个向量的模长和它们夹角余弦的乘积

8.下列关于解析几何的叙述中，正确的是

A.圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

B.椭圆的焦点到中心的距离是c=√(a^2-b^2)

C.双曲线的渐近线方程是y=±(b/a)x

D.抛物线的焦点到准线的距离是p/2

9.下列关于概率的叙述中，正确的是

A.概率的取值范围是[0,1]

B.概率是事件发生的可能性大小

C.概率可以用来预测事件发生的频率

D.概率的加法公式是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)

10.下列关于极限的叙述中，正确的是

A.极限是函数值的变化趋势

B.极限存在当且仅当函数值无限接近某个常数

C.极限可以用来研究函数的连续性

D.极限的运算是数学分析的基本工具

四、判断题

1.函数f(x)=cos(x)在区间[0,2π]上是单调递减的。

2.若复数z满足z^2=-1，则z是纯虚数。

3.从n个不同元素中选出k个元素的组合数记作C(n,k)，则C(n,k)=C(n,n-k)。

4.若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)必为0。

5.不等式|2x-3|<5的解集是(-1,4)。

6.已知圆O的方程为x^2+y^2=r^2，则过圆心O的任意直线都是圆的切线。

7.等差数列的前n项和S_n是关于n的二次函数。

8.若向量a与向量b共线，则存在实数k使得a=kb。

9.已知直线l1:ax+by+c=0与直线l2:mx+ny+p=0垂直，则a*m+b*n=0。

10.若函数f(x)在x→∞时极限存在且为L，则f(x)在x→-∞时极限也存在且为L。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)的极值点，并判断极值的类型（极大值或极小值）。

2.已知椭圆x^2/16+y^2/9=1，求椭圆的焦点坐标和准线方程。

3.已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=1，a_n=S_n+1，求证数列{a_n}是等比数列，并求出通项公式a_n。

试卷答案

一、选择题

1.C

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是sin(x)和cos(2x)的最小正周期的最小公倍数。sin(x)的最小正周期是2π，cos(2x)的最小正周期是π。因此，f(x)的最小正周期是π。

2.A

解析：复数z满足z^2=1，则z可能是1或-1。无论是1还是-1，其模长都是1。

3.A

解析：抛掷两个公平的六面骰子，点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。总共有6×6=36种可能的组合。因此，点数之和为7的概率是6/36=1/6。

4.A

解析：函数f(x)=ax^3-3x+1在x=1处取得极值，则f'(1)=0。f'(x)=3ax^2-3。因此，3a(1)^2-3=0，解得a=1。

5.C

解析：不等式|3x-2|<5可以转化为-5<3x-2<5。解得-3<3x<7，即-1/3<x<7/3。

6.A

解析：圆O的方程为x^2+y^2=4，圆心在原点(0,0)，半径为2。过点(1,1)的切线方程可以用点斜式，即y-1=k(x-1)。由于是切线，所以判别式Δ=0。代入圆的方程得到(1+k)^2=4，解得k=1或k=-3。因此，切线方程为y-1=(x-1)或y-1=-3(x-1)，即x+y=2或3x+y=4。但只有x+y=2满足过点(1,1)。

7.C

解析：数列{a_n}是等差数列，a_1=1，a_n=2a_{n-1}+1。可以递推得到a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31。因此，S_5=1+3+7+15+31=57。

8.B

解析：直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行，则它们的斜率相等。l1的斜率是-a/2，l2的斜率是-1/(a+1)。因此，-a/2=-1/(a+1)，解得a=2。

9.D

解析：向量a=(1,2)，b=(3,-1)。向量a与向量b的夹角余弦值为(a·b)/(|a||b|)。a·b=1×3+2×(-1)=1，|a|=√(1^2+2^2)=√5，|b|=√(3^2+(-1)^2)=√10。因此，cosθ=1/(√5×√10)=1/(√50)=1/(5√2)=√2/10=5/7。

10.A

解析：点A(1,2)，点B(3,0)，点C在直线x+y=1上。设C(x,1-x)。△ABC的面积可以用向量法计算，即S=1/2|向量AB×向量AC|。向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AC=(x-1,1-x-2)=(x-1,-x-1)。向量AB×向量AC=2(-x-1)-(-2)(x-1)=-2x-2+2x-2=-4。因此，S=1/2|-4|=2。但需要最小值，所以需要找到C点使得面积最小。通过计算可以发现，当C点在直线AB上时，面积最小，此时C点为(2,-1)，面积为1/2。

11.A

解析：函数f(x)=e^x-ax在x=0处取得极值，则f'(0)=0。f'(x)=e^x-a。因此，e^0-a=0，解得a=1。

12.C

解析：椭圆x^2/9+y^2/4=1的半长轴a=3，半短轴b=2。焦点到中心的距离c=√(a^2-b^2)=√(9-4)=√5。右准线的方程是x=a^2/c=9/√5=9√5/5。焦点到右准线的距离是9√5/5-3=6√5/5=4/3。

13.B

解析：函数f(x)=log_a(x+1)在x→-1时极限存在且为-∞，则a>1。因为当0<a<1时，log_a(x+1)在x→-1时极限为+∞。

14.A

解析：三棱锥A-BCD的底面BCD是边长为2的正三角形，高为3。底面面积S_BCD=√3/4×2^2=√3。三棱锥A-BCD的体积V=1/3×S_BCD×h=1/3×√3×3=√3/2。

15.C

解析：函数f(x)=x^4-4x^2+3，f'(x)=4x^3-8x=4x(x^2-2)。令f'(x)=0，解得x=0，x=√2，x=-√2。f''(x)=12x^2-8。f''(0)=-8<0，f''(√2)=24>0，f''(-√2)=24>0。因此，f(x)在x=0处取得极大值，在x=√2和x=-√2处取得极小值。极值点个数是3。

二、填空题

1.-π/2

解析：函数f(x)=sin(ωx+φ)的图像经过点(π/4,0)，且周期为π，则ω=2。因此，sin(2×π/4+φ)=0，即sin(π/2+φ)=0。解得φ=-π/2。

2.0

解析：复数z=1+i，则z^4=(1+i)^4=(1+i)^2^2=(2i)^2=-4。虚部为0。

3.40

解析：从5名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生的选法共有C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种。但需要至少1名女生，所以是C(9,3)-C(5,3)=84-10=74种。

4.-4

解析：函数f(x)=x^3-ax^2+bx在x=1和x=-1处取得极值，则f'(1)=0，f'(-1)=0。f'(x)=3x^2-2ax+b。因此，3-2a+b=0，3+2a+b=0。解得a=0，b=-3。因此，a+b=-3。

5.(-∞,-1)

解析：不等式|2x-1|>x+1可以转化为两部分：2x-1>x+1或2x-1<-(x+1)。解得x>2或x<0。因此，解集是(-∞,-1)∪(2,+∞)。但题目要求的是交集，所以是(-∞,-1)。

6.x-y-1=0

解析：圆O的方程为x^2+y^2=9，圆心在原点(0,0)，半径为3。过点(2,1)的切线方程可以用点斜式，即y-1=k(x-2)。由于是切线，所以判别式Δ=0。代入圆的方程得到(2+2k)^2+(1+k)^2=9，解得k=-1。因此，切线方程为y-1=-(x-2)，即x+y-3=0。

7.150

解析：数列{a_n}是等差数列，a_1=2，a_n=a_{n-1}+3。可以递推得到a_2=5，a_3=8，...，a_10=2+3×(10-1)=29。S_10=(2+29)×10/2=155。

8.-6

解析：已知直线l1:3x+ay-2=0与直线l2:x-2y+4=0垂直，则3×1+a×(-2)=0，解得a=3/2。因此，a=-6。

9.√10/10

解析：向量a=(2,-1)，b=(-1,3)。向量a与向量b的夹角正弦值为|a×b|/(|a||b|)。a×b=2×3-(-1)×(-1)=6-1=5。|a|=√(2^2+(-1)^2)=√5，|b|=√((-1)^2+3^2)=√10。因此，sinθ=5/(√5×√10)=5/(√50)=5/(5√2)=1/√2=√2/2。

10.√2

解析：点A(2,3)，点B(1,-1)，点C在直线y=x上。设C(x,x)。△ABC的面积可以用向量法计算，即S=1/2|向量AB×向量AC|。向量AB=(1-2,-1-3)=(-1,-4)，向量AC=(x-2,x-3)。向量AB×向量AC=-1(x-3)-(-4)(x-2)=-x+3+4x-8=3x-5。因此，S=1/2|3x-5|。需要最大值，所以需要找到C点使得面积最大。通过计算可以发现，当C点在直线AB上时，面积最大，此时C点为(5/3,5/3)，面积为√2。

三、多选题

1.B,C

解析：y=x^2在区间(0,+∞)上单调递增。y=log_2(x)在区间(0,+∞)上单调递增。y=-2x+1在区间(0,+∞)上单调递减。y=e^(-x)在区间(0,+∞)上单调递减。

2.C,D

解析：若a>b，则1/a<1/b。若a>b，则√a>√b。

3.B

解析：双曲线x^2/4-y^2/9=1的离心率e=√(1+9/4)=√(13/4)>1。椭圆x^2/9+y^2/4=1的离心率e=√(1-4/9)=√(5/9)<1。抛物线y^2=8x的离心率e=2>1。椭圆9x^2+4y^2=36的离心率e=√(1-4/9)=√(5/9)<1。

4.B,C,D

解析：y=x^3在x=0处可导。y=e^x在x=0处可导。y=sin(x)在x=0处可导。y=|x|在x=0处不可导。

5.A,B,C

解析：三棱锥的体积是底面积乘以高的一半。三棱锥的四个面都是三角形。三棱锥的任意三个顶点不共线。

6.A,B,C,D

解析：等差数列的通项公式是a_n=a_1+(n-1)d。等比数列的通项公式是a_n=a_1q^(n-1)。数列的前n项和S_n可以表示为a_n的函数。数列的极限存在当且仅当数列收敛。

7.A,C,D

解析：向量的模长是非负数。向量的加法满足交换律和结合律。向量的数量积是两个向量的模长和它们夹角余弦的乘积。

8.A,B,C,D

解析：圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。椭圆x^2/16+y^2/9=1的焦点到中心的距离是c=√(16-9)=√7。双曲线x^2/4-y^2/9=1的渐近线方程是y=±(3/2)x。抛物线的焦点到准线的距离是p/2。

9.A,B,C,D

解析：概率的取值范围是[0,1]。概率是事件发生的可能性大小。概率可以用来预测事件发生的频率。概率的加法公式是P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。

10.A,B,C,D

解析：极限是函数值的变化趋势。极限存在当且仅当函数值无限接近某个常数。极限可以用来研究函数的连续性。极限的运算是数学分析的基本工具。

四、判断题

1.错误

解析：函数f(x)=cos(x)在区间[0,π/2]上是单调递减的，但在区间[π/2,3π/2]上是单调递增的。

2.正确

解析：复数z满足z^2=-1，则z可能是i或-i。i和-i都是纯虚数。

3.正确

解析：从n个不同元素中选出k个元素的组合数记作C(n,k)，则C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)=(n×(n-1)×...×(n-k+1))/k!=n×(n-1)×...×(n-k+1)×(k-1)!/k!=n!/(k!(n-k)!)=C(n,n-k)。

4.错误

解析：若函数f(x)在x=c处取得极值，则f'(c)可能为0，也可能不存在。例如，f(x)=|x|在x=0处取得极值，但f'(0)不存在。

5.错误

解析：不等式|2x-3|<5可以转化为-5<2x-3<5。解得-2<2x<8，即-1<x<4。

6.错误

解析