2026年高考数学专题专练专题15 排列组合、概率统计与实际应用（原卷版）

专题15排列组合、概率统计与实际应用

目录

第一部分考向速递洞察考向，感知前沿

第二部分题型归纳梳理题型，突破重难

题型01排列组合

题型02二项式定理

题型03概率初步

题型04统计估计

题型05条件概率与相关公式

题型06随机变量的分布与特征

题型07常用分布

题型08成对数据的相关分析

题型09一元线性规划分析

题型102×2列联表

第三部分分层突破固本培优，精准提分

A组·基础保分练

B组·重难提升练

n

21

1．“n6”是“x的二项展开式中存在常数项”的（）

x

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分也非必要条件

1

2.小何同学喜欢踢足球，已知他踢点球进门的概率是，一次点球训练中，他连续2次都没有踢

3

进门，则他第3次踢进门的概率为（）

122

A．B．C．1D．介于和1之间的某个实数

333

3．在桌面上有一个质地均匀的正四面体D—ABC．从该正四面体与桌面贴合的面上的三条棱中等可能地选

取一条棱，沿其翻转正四面体至正四面体的另一个面与桌面贴合，如此翻转称为一次操作．如图，开始时，

正四面体与桌面贴合的面为ABC，操作n(n1,2,3,)次后，正四面体与桌面贴合的面是ABC的概率记为Pn.

1

现有下列两个结论：①P；②PP.则下列说法正确的是（）

232524

A．①正确，②错误B．①错误，②正确

C．①、②都正确D．①、②都错误

4.标志重捕法是指的是在一定范围内，对活动能力强、活动范围较大的动物种群进行粗略估算的

一种生物统计方法，是根据自由活动的生物在一定区域内被调查与自然个体数的比例关系对自然个体总数

进行数学推断.在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体，将这些个体进行标志后再放回原来的环境，

经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标志个体占总捕获数的比例来估计该种群的数量.标志重捕法估算种

群密度是基于以下几种假设：①标记个体与未标记个体在重捕时被捕获的概率相等；②在调查期内标记的

个体没有死亡，没有迁出，标记物没有脱落；③标记个体在种群中均匀分布.若应用标志重捕法调查鱼的种

群密度，则下列捕鱼过程会导致估算结果与实际情况误差较大的是（）.

A．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼的渔网捕鱼

B．第一次用小网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼

C．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用小网眼点渔网捕鱼

D．第一次用大网眼的渔网捕鱼，第二次用大网眼的渔网捕鱼

5．某城市交通系统采用数智技术记录城市道路口的信号灯状态，每个时段的信号灯状态对应一

个数字（见下表）.

非正常绿波协调

信号灯状态正常绿波协调

道路施工临时黄灯突发事故临时红灯

对应数字011

现需要按顺序记录某个道路口5个时段的信号灯状态，例如，记号1,0,1,0,1表示5个时段中有3个时段

是“非正常绿波协调”状态，分别发生在第1、3、5时段.问：该路口5个时段所有可能的记录中，“非正常绿

波协调”的时段数不少于1个且不多于3个的记录共有种.

6.北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.北斗七星不仅

是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗

七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则所作

的不同三角形的个数为.

7.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，5，0，

6，0，7，则称（a，b，c）为“幸运数组”，例如（7，6，202500）是一个幸运数组.则满足10abc的

幸运数组（a，b，c）的个数为.

01排列组合

1．现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有种（用数字作答）.

2．上海国际电影节影片展映期间，某影院准备在周日的某放映厅安排放映4部电影，两部纪录片和两部悬

疑片，当天白天有5个时段可供放映（5个连续的场次），则两部悬疑片不相邻（中间隔空场也叫不相邻），

且当天最先放映的一定是悬疑片的排片方法有种（结果用数字表示）．

x15x5

3．已知关于正整数x的方程C12C12，则该方程的解为.

4．用黑白两种颜色（都要使用）给正方体的6个面涂色，每个面只涂一种颜色。如果一种涂色方案可以

通过重新摆放正方体，变为另一种涂色方案，则这两种方案认为是相同的。（例如：a.前面涂黑色，另外五

个面涂白色;b.上面涂黑色，另外五个面涂白色是同一种方案）则涂色方案一共有种。

5．有3件商品的编号分别为i(i1,2,3)，它们的售价（元）Si5,7,8,10,11,20，且满足S1S2S3，

则这3件商品售价的所有可能情况有种.

02二项式定理

10

1

6．x的二项展开式中常数项为．

x

6

7．在x2的二项展开式中，x3项的系数为.

n*

8．已知(13x)nN的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则展开式中x3的系数为.

10210

9．已知12xa0a1xa2xa10x，则a3．

4

a

10．已知2x的二项展开式中常数项为1，则实数a的值为.

3x

03概率初步

11．已知随机事件A,B，B表示事件B的对立事件，P(A)0.4,P(B)0.6，则下面结论正确的是（）

A．事件A与B一定是对立事件B．P(AB)1

C．P(AB)0.24D．若事件A，B互相独立，则PAB0.16

12．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术圣地，每年都会吸引来

自世界各地的游客参观旅游．已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中有3

个被誉为最值得参观的洞窟．现游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，则至少选中2个

最值得参观洞窟的概率是．

13．盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒面已知某盲盒产品共有3种玩偶，小明购买4个

盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是.（结果用数值表示）

14．一项过关游戏的规则规定：在第n关要投掷骰子n次，如果这n次投掷所得的点数之和大于3n，则算

过关，问一个人连过第一、二关的概率为．

15．设mR，同时抛掷两枚质地均匀的骰子一次，事件A表示“第一枚骰子向上的点数为奇数”，事件B表

示“两枚骰子向上的点数之和为m”，若事件A与事件B相互独立，则m的一个可取值为.

04统计估计

16．从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为A、B，白球标记为C，

则它的一个样本空间可以是（）

A．AB,BCB．AB,AC,BC

C．AB,BA,BC,CBD．AB,BA,AC,CA,CB

17．某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5

分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（）

A．平均数B．中位数C．第80百分位数D．方差

18．现从编号为01，02，，50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数

字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为（以下摘自随机数表第7行）．

398327763991853532591131404692350498221220671263

19．某校数学组老师的年龄分布茎叶图如图所示，则该校数学组老师年龄的中位数与极差之和

为．

20．在某市的三次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成

绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组40,50．第二组

50,60，……第六组90,100，画出频率分布直方图如图所示，

(1)估计该市学生这次测试成绩的第25百分位数；

(2)估计该市学生这次测试成绩的平均值（回一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

(3)从60,70,70,80两组中按分层抽样抽取5名学生，再随机抽取3名同学进行问卷测试，问3名同学中

恰好只有1名同学成绩在70,80之间的概率．

05条件概率与相关公式

21．已知事件A与B相互独立，且0PAPB1，则下列选项不一定成立的是（）

A．PAB1PAPB；B．PABPAPB；

C．PABPAPB；D．PABPBAPAB.

111

22．假设生产某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是、、，而它们的良品率分别是0.96、

263

0.90、0.93，则该部件的总体良品率是．

123

23．已知随机事件A,B满足PA，PB，PB|A，则PB|A

2510

24．某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，

已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为

25．某工厂生产的产品以100个为一批．在进行抽样检查时，只从每批中抽取10个来检查，如果发现其中

有次品，则认为这批产品是不合格的．假定每一批产品中的次品最多不超过2个，并且其中恰有i（i0，

1，2）个次品的概率如下：

一批产品中有次品的个

012

数i

概率0.30.50.2

则各批产品通过检查的概率为．（精确到0.01）

06随机变量的分布与特征

101

．已知随机变量的分布是，则其方差D[X]．

26X111

442

01x

2

27．已知随机变量X的分布列为：11，若EX，且Y3X2，则DY.

p3

23

28．马老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如表：

x123

P?!?

尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，EX．

29．以下命题中正确的有（填序号）

①若X是常数，则DX0；

②若DX0，则X是常数；

③如果X是随机变量，Y3X，那么DY3DX；

④若X,Y分别是两个独立的随机试验所对应的随机变量，则DXYDXDY．

07常用分布

1

30．设随机变量X服从二项分布B9,，则D2X.

3

1

31．已知随机变量XN,2，Y:B9,p，且PX4，EXEY，则p．

2

32．已知随机变量XN,0.52，且等式PX4aPX2a1对aR恒成立，

则.PX4.(结果保留四位小数)(参考数据:Φ10.8413，Φ20.9772，Φ30.9987

33．已知某次数学的测试成绩X服从75、264的正态分布，若小明的成绩不低于91分，那么他的成

绩大约超过了%的学生（精确到0.1%）．（参考数据：

PX68.3%，PX295.4%，PX3997.%）

34．某医院派出16名护士､4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人中任意选取3人去A城市支援，

设X表示其中内科医生的人数，则X的期望为.

08成对数据的相关分析

35．在下列4组样本数据的散点图中，样本相关系数最小的是（）

A．r1B．r2C．r3D．r4

36．如题图所示，有5组x,y数据的散点图，去掉组数据后，剩下的4组数据的相关程度可能最高．

37．通过随机抽样，获得某种商品消费者年需求量与该商品每千克价格之间的一组数据调查，如下表所示:

价格（百元）x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10

444.655.25.666.6710

需求量（千克）y1y2y3y4y5y6y7y8y9y10

3.532.72.42.521.51.21.21

n

xixyiy

i1

那么线性相关系数r．（精确到0.001）线性相关系数公式r

n2n2

xixyiy

i1i1

09一元线性规划分析

38．某公司为了解用电量y（单位：千瓦时）与气温x（单位：摄氏度）之间的关系，随机统计了4天的用

电量与当天气温，绘制了如右表格，由表中数据可得回归方程y2x59.5，则实数m

x1101318

y623834m

39．已知两个线性相关变量x､y的统计数据如表所示，则其回归方程是.

x12345

y30-2-4-5

40．某产品的广告费投入与销售额的统计数据如下表所示:

广告费万元x/万元4235

销售额万元y/万元49263954

根据上表建立线性回归方程，预测当广告费投入6万元时，销售额约为万元.

41．某书店为了分析书籍销量与宣传投入之间的关系，对宣传投入x（千元）和书籍销量y（百本）的情况

进行了调研，并统计得到表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y1.2x1.6，

则下列说法不正确的是（）

x3456

y56.27.4m

A．变量x、y之间呈正相关B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本

C．m8.8D．拟合误差Q0.48

42．根据相关研究报告显示，预计2025年电商交易额突破18亿元，网购用户规模接近9亿．下表为某网店

统计的近5个月的利润y（单位：万元），其中x为月份代号．

月份2024年12月2025年1月2025年2月2025年3月2025年4月

月份代号x12345

利润y／万

86.35.13.22.4

元

(1)依据表中的统计数据，计算样本相关系数r（r精确到0.01），判断是否可以用线性回归模型拟合y与x的

关系；若可用，求出y关于x的经验回归方程，并估计2025年5月该网店利润；若不可用，请说明理由；

(2)该专营店为了吸引顾客，推出两种抽奖方案．方案一：一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中

1

奖的概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折，其余情况不

4

打折．方案二：从装有8个形状大小、完全相同的小球（其中红球3个，白球1个，黑球4个）的抽奖盒中，

一次性摸出2个球，其中奖规则为：若摸出1个红球和1一个白球打六折，摸出2个黑球打八折，其余情况不

打折．某顾客计划在此网店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优

惠．

nn

xxyy

xixyiyii

参考：bˆi1，ˆ，ri1

naˆybxnn

2

xx22

ixixyiy

i1i1i1

102×2列联表

43．为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系，某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究，假设H0：

2

患慢性气管炎与吸烟没有关系，并通过计算得到统计量3.468，则可推断原假设H0．（填“拒

绝”或“接受”，规定显著性水平0.1,P22.7060.1．）

44．如下是一个22列联表，则s.

y1y2总计

x1a3545

x27bn

总计m73s

45．某地同城闪送为了提高服务质量，进行了服务改进，并对服务进行评分.已知服务改进前某天共有1000

个订单，其好评率为85%；服务改进后某天共有1500个订单，其中好评订单为1350个.

(1)已知某100个好评订单评分的极差为2，数据如下（其中x10，n是正整数）

服务评分x8.599.510

订单数量n3213114

求这100个好评订单的第40百分位数.

(2)根据服务改进前后的这两天的订单数据完成下列22列联表，并依据0.05的独立性检验，判断订单

获得好评与服务改进是否有关.

好评订单非好评订单合计

服务改进前1000

服务改进后13501500

合计

2

nadbc

附：2，P23.8410.05.

abcdacbd

46．在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路

飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解.刘同学为了了解学

生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对50位同学进行了问卷调查，得到如下2x2列联表：

喜欢哪吒角色不喜欢哪吒角色总计

女生10

男生5

总计50

已知从50位同学中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6.

(1)请将上面的22列联表补充完整，并且判断是否有95%的把握认为喜欢哪吒角色与性别有关；

(2)从喜欢哪吒角色的同学中，按分层抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机

选出3人采访发言.设这3人中男生人数为X，求X的分布及期望值.

2

2n(adbc)

附：,nabcd.

abcdacbd

2

Pk00.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

1．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件E：点数是奇数，事件F：点数是偶数，事件G：

点数是3的倍数，事件H：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（）

A．E与FB．F与GC．E与HD．G与H

2．2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映

前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为

单日票房（亿），则下列说法正确的是（）

A．前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势

B．上映前十天的票房极差为4.76（亿）

C．上映前十天的票房中位数为6.34（亿）

D．上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿）

3．已知A、B分别为随机事件A、B的对立事件，PA0，PB0，则下列等式错误的是（）

A．PBAPBAPAB．PBAPBA1

C．若A、B独立，则PABPAD．若A、B互斥，则PABPBA

4．下列选项中，正确的是（）

A．数据1、3、5、7、9、11、13的第80百分位数为12

1

B．用简单随机抽样的方法从51个个体中抽取2个个体，则每个个体被抽到概率都是

51

C．若事件A、B满足0PA1，0PB1且PABPAPBPB，则A与B相互独立

D．若样本数据x1、x2、…、xn的平均数为2，则2x13、2x23、…、2xn3的平均数为8

24

1

5．在x的二项展开式中，x的幂指数是正数的项一共有个．

3x

6．已知随机变量X服从正态分布N3,2，且PX50.6，则P1X3.

2

7．设随机变量X服从正态分布N10,,PX15m,P5X10n，则m2n2的最小值为．

8

8．已知随机变量XB4,p，若EX，则DX.

3

9．已知X~Bn,p,E[X]8,D[X]1.6，则p

10．某公司有200名员工，其中有一般人员120人，管理人员32人，专业技术人员48人，现用分层抽样

的方法抽取25人，以调查大家对职业培训的意愿，则应抽取的专业技术人员的人数是

33

11．已知事件A与事件B相互独立，若P(AB),P(B)，则P(A).

255

12．已知校运动会4100米比赛，某队派出甲、乙、丙、丁4名运动员参加，其中甲不跑第一和第三棒，

则不同的交接棒安排顺序有种.

13．已知x，y是两个具有线性相关的两个变量，其取值如下表：

x12345

y4a9b11

其回归方程为yˆ2x1，则ab.

12x24x2

2ye

14．已知随机变量X~N,，其密度函数为1，则.

π

2

112

15．已知两个随机事件A,B，若PA，PB，PB|A，则PAB.

543

16．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件M：该家庭中有男孩、又有女孩，

事件N：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥；②若该

家庭中有三个小孩，则M与N相互独立．则：（）

A．①②均为真命题B．①为真命题，②为假命题

C．①为假命题，②为真命题D．①②均为假命题

17．某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量x､y之间的线性关系，随机抽取8个样本

点A1x1,y1､A2x2,y2､､A8x8,y8，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前

6组数据，得到的线性回归方程为ya1xb1，其样本中心为4,6.后来检查发现后，输入8组数据得到的

新的线性回归方程为ya2x，新的样本中心为(x,y)，已知x7x80,y7y84，则以下结论中正确的个

数是（）

①新的样本中心仍为4,6；

②新的样本中心为3,5；

③两个数值变量x､y具有正相关关系；

88

22

④yia1xib1yia2xi.

i1i1

A．0B．1C．2D．3

18．抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用A表示事件“两个点数不同”，B表示事件“至少出现一个3点”，则

P(A|B)．（结果用最简分数表示）

19．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是

112

男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值0.01

233

的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有人

2

Pk00.0500.0100.001

k03.8416.63510.828

2

nadbc

参考数据及公式如下：参考公式：2，其中nabcd.

abcdacbd

20．假设小明的数学成绩X符合正态分布N120,52，查询资料后得知10.8413，20.9772，

30.9987，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是．（精确到0.0001）

3a4b

21．若随机变量XN3,2，且P1X3a，PX5b，则的最小值为

2ab

x7

22．1x2y的展开式中含x4y3项的系数是．

y

23．“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，

某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器

外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1

号仓到达容器外的概率为．

24．已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩x和

412

物理成绩y的样本线性相关系数为，物理成绩y与化学成绩z的样本线性相关系数为，求x,z的样本线

513

性相关系数的最大值为.

n

xixyiy

i1

(附:相关系数r

n2n2

xixyiy

i1i1

25．班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班45名学

生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全

班用时最长的为25.6小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时

长的频率分布直方图如图所示.

(1)求该班男生每周平均手机使用时长的第25百分位数；

(2)小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于12小时的学生中任选2人在班会课上做经验分享．设事件

A表示“2人中至多1名男生”，事件B表示“2人中恰有1名学生的每周平均手机使用时长位于区间

11,12”．试判断事件A和事件B是否独立，并说明理由；

(3)小明老师发现本班有t位学生的每周平均手机使用时长超过20小时，这t位学生的数据平均数为23小

时．当去掉这t位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为22.7小时，且这t位学生中女生的数据

从小到大依次排序成等差数列．那么这t位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过3？请说明理由．

26．核桃有很多品种．小何购买了其中4种品类的核桃：A类核桃100个，B类核桃120个，C类核桃80

个和D类核桃200个．

(1)小何决定采用分层抽样的方法，从所有核桃中抽出25个核桃，请问应抽取C类核桃多少个？

(2)小何以随机抽样的方式，从D类核桃中抽取20个进行克重测量，以下是这些核桃的克重数据：（单位：

克）

14.414.715.216.317.317.617.918.219.019.3

19.820.120.220.420.72