2026年高考数学专题专练专题07 等差数列与等比数列基础专题10大题型（原卷版）

专题07等差数列与等比数列基础专题

目录

第一部分考向速递洞察考向，感知前沿

第二部分题型归纳梳理题型，突破重难

题型01等差数列通项公式的基本量计算

题型02等比数列通项公式的基本量计算

题型03等差数列前n项和

题型04等比数列前n项和

题型05等差中项的应用

题型06等比中项的应用

题型07等差数列中的最值问题

题型08等差数列的判定

题型09等比数的判定

题型10等差、等比数列新定义问题

第三部分分层突破固本培优，精准提分

A组·基础保分练

B组·重难提升练

1.（等差数列通项公式的基本量计算）5．在等差数列an中，a21，公差d2，an11，

则n．

2.（等比数列通项公式的基本量计算）已知等比数列an的各项均为正数，若a1a316，

a2a44，则该等比数列an的公比为．

3.（等差数列前n项和）7．若等差数列an的前n项和为Sn，已知S11a1824，则

S13．

4.（等比数列前n项和）在等比数列an中，a116，a51，则ai

i3

5.（等差中项的应用）已知1,a,52a构成等差数列，则实数a的值为.

6.（等比中项的应用）．Sn为等差数列an的前n项和，S936,S13104，则a5与a7的等

比中项为.

7.（等差数列中的最值问题）11．在等差数列{an}中，a117且a42a71，Sn是数列{an}前

n项的和，若Sn取得最大值，则n

8.（等差数列的判定）已知数列an是等差数列，下面的数列中

①a2n②anan1③3an1④an必为等差数列的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

9.（等比数的判定）已知an是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（）

an

A．a2nB．anan1C．log2anD．2

10.（等差、等比数列新定义问题）对于无穷数列an和正整数m，若akakm对一切正整数

k成立，则an称具有性质Pm.设无穷数列bn的前n项和为Sn，有两个命题：①若bn是等比数列

且对一切正整数m≥2，数列Sn都具有性质Pm，则Sn具有性质P1；②若bn是等差数列且存

在无数个正整数m，使得数列Sn不具有性质Pm，则bn的公差d0.那么（）

A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题

C．①､②都是真命题D．①､②都是假命题

01等差数列通项公式的基本量计算

1．设等差数列an的前n项和为Sn，若S55,a20，则a8.

2．已知等差数列an的首项a13，前6项的和为12，则该等差数列的公差d.

3．记Sn为等差数列an的前n项和，若a3a40，S55，则a1.

4．已知等差数列an满足a2a4a63，a3a5a79，则a1a8．

02等比数列通项公式的基本量计算

5．已知an是公差不为0的等差数列，a13，且a2，a1，a4成等比数列，则a4.

q

6．已知等比数列an中，a1a2a37,a1a2a38，则等比数列的公比．

，

7．已知数列an满足an0an13an,a2a4a5a3a6，则a4.

8．若an是各项均为正数的等比数列，且a11，a516，则a6a5.

q

9．已知正项等比数列an的前n项和为Sn，若S3a25a1，则公比.

03等差数列前n项和

10．已知an为等差数列，Sn为其前n项和，若a1a918，a47，则S11.

6

11．已知数列an是首项为3公差为2的等差数列，则ai．

i1

1100100

12．已知等差数列an的公差d，且a2i160，则ai．

2i1i1

04等比数列前n项和

1

13．已知等比数列an的首项为1，公比为，则ai.

2i1

14．已知各项均为正数的等比数列an满足a2a82a6，则log2a1a2a6a7.

．设等比数列的前n项和为，若，，则limSn．

15anSna12S23n

16．各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2,S3n14，则S4n．

05等差中项的应用

17．若等差数列an的前三项依次为1，a1，3，则实数a的值为.

18．在ABC，角A、B、C依次成等差数列．若2sinAsinC，角C的值为.

19．设a0,b0，若log2a与log2b的等差中项是2，则ab的最小值为

06等比中项的应用

20．若Sn为等差数列an的前n项和，S936,S1378，则a5与a7的等比中项为.

21．在数列1、x、y，15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是．

22．已知数列an是首项为2公差不为0的等差数列，且其中a1、a2、a7三项成等比数列，则数列an

的通项公式an．

23．已知an是等比数列，若1是a2，a4的等比中项，4是a6，a8的等比中项，则a12．

07等差数列中的最值问题

24．已知等差数列an的前n项和为Sn，若a129，且S10S20，则Sn的最大值为．

25．Sn是等差数列an的前n项和，若a10且S200，则当Sn取得最大值时的n.

*

26．已知数列an满足an1an2nN,a17，则数列an的前n项和为Sn取最小值时，n的

值=.

27.设数列an是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a10，且S6S9，则下列结论错误的是

（）

A．d0B．a80

C．S5S6D．S7或S8为Sn的最大值

08等差数列的判定

28．已知数列an满足a12，2an12an1，则a2021的值为（）

A．1000B．1013C．1011D．1012

29．已知数列an满足anan4an1an3，那么（）是等差数列

A．anB．a2n1C．a2nD．a3n

30．现有下列命题：①若anan1πn2，则数列an是等差数列；

②若an1ann，则数列an是等差数列；

③若anbnc（b、c是常量），则数列an是等差数列．

其中真命题有（）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

09等比数的判定

31．“一个数列是常数列”是“这个数列是公比为1的等比数列”的（）

A．充分非必要条件；

B．必要非充分条件；

C．充要条件；

D．既不充分又非必要条件．

32．已知角α的终边不在坐标轴上，则下列一定成等比数列的是（）

A．sin,cos,tanB．sin,tan,cos

C．sin2,cos,tan2D．cos2,sin,tan2

33．若a,b,c,d成等比数列，则下列三个数列：（1）a2,b2,c2,d2;（2）ab,bc,cd;（3）ab,bc,cd，必

成等比数列的个数为（）

A．0B．1C．2D．3

10等差、等比数列新定义问题

34．数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列．其

中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2，4，7，11，16从第二项起，每一项与前一项

的差组成的新数列2，3，4，5是等差数列，则称数列2，4，7，11，16为二阶等差数列．现有二阶等

a1

差数列a，其前六项分别为1，3，6，10，15，21，则n的最小值为．

nn1

35．若项数为n的数列an，满足：aian1ii1,2,3,,n，我们称其为n项的“对称数列”．例如：

数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列cn为2k1

项的“对称数列”，其中c1，c2，，ck1是公差为2的等差数列，数列cn的最小项等于10，记数列cn

的前2k1项和为S2k1，若S2k150，则k的值为．

36．对于数列an，若存在实数p,q，使得an1panq对任意正整数n都成立，则称数列an是

线性数列，则对于:①等差数列一定是线性数列；②等比数列一定是线性数列，下列说法正确的是（）

A．①正确②正确B．①正确②错误

C．①错误②正确D．①错误②错误

2

37．已知常数R，有穷数列an共有7项，其通项公式为an2n9n1n7.对于任意满足

1k7的正整数k，记bk为a1,a2,,ak中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（）.

A．b41且b51B．b43且b54

C．b54且b64D．b55且b66

1．等差数列an共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差d．

a

2．设正项等比数列a中，aa64，若a,10,10依次成等差数列，则a.

n687310

3．已知数列an是等差数列，且a21，a1a48，则数列an的通项公式an.

4．在等比数列an中，a5a725，a6a815，则a8．

*

5．已知数列an的前n项和为Sn，且a11,an12an1(nN)，则S5

S1S

510

6．已知等比数列an的前n项和为Sn，若，则.

S105S15

7．已知an为递增等比数列，其前n项和为Sn，若a23，S313，则a5（）

11

A．B．27C．81D．或81

99

q

8．已知递增的等比数列an满足a6a810，a3a119，则an的公比（）

1

A．6B．3C．2D．

3

9．已知等差数列an的前n项和为Sn，a2a8a1124，且S714，则a13（）

A．24B．20C．16D．12

10．已知等差数列an的前n项和为Sn，公差为d，若8a1S5110,4dS420，则Sn0时n的最小值为

（）

A．10B．11C．12D．13

11．已知数列an是公差为2的等差数列，数列lga1，lgak，lga7也为等差数列，且k3,4,5，则a1．

12．已知an为无穷等比数列，a14,3ai4a2，数列bn满足bna3n，则

i1

limb1b2b3bn．

n

2

13．已知{an}是等比数列，若a1、a5是函数yx3x1的两个零点，则a3

S

11

14．等差数列an的公差不为0，前n项和为Sn，若a3，a5，a8成等比数列，则.

a10

3

15．设等差数列a的前n项和为S（n为正整数），首项a，a9，则S7．

nn126

16．从等差数列：1、2、3、、1000中取出若干数字按先后顺序构成数列{an}．第一次取出数字“1”，然

后从取出的“1”开始往后数2个数的a2，再取出往后数到3的数a3，⋯，以此类推，如果某次取出的是数字

“ak”，则下一次从取出的“ak”开始往后数k1个数，再取出数到k1的数字“ak1”；当往后数的数字个数小

于“k1”时，结束取数．那么{an}的最后一项是（）

A．6B．990C．999D．1000

17．若数列an同时满足如下条件：（ⅰ）an是无穷数列；（ⅱ）an是递增数列；（ⅲ）存在正数M，使得

*

对任意的nN，都有an的前n项的和SnM,M，则称an具有性质P．关于如下结论：①存在等差

数列具有性质P；②存在等比数列具有性质P．其中正确的说法是（）

A．①