专题06 空间向量与立体几何（解答题）-【好题汇编】五年（2020-2024）高考数学真题分类汇编（原卷版）

i专题06空间向量与立体几何（解答题）考点五年考情（2020-2024）命题趋势考点01求空间几何体表面积体积2023甲乙卷2022甲乙卷2021甲乙卷2021乙甲卷2020全国ⅠⅡ卷空间几何体表面积体积问题一般采用等体积法或者是空间向量解决，一般出现在第一问。考点02求二面角2024甲Ⅱ卷2023Ⅱ乙卷2022ⅠⅡ卷2021甲乙Ⅱ卷2020Ⅰ卷二面角的正弦余弦值是高考空间几何体的高频考点，也是高考的一盒重要的趋势。考点03求线面角2023甲卷2022甲乙卷2020ⅠⅡⅢ卷线面角问题是高考中的常考点，方法是方向向量与法向量的夹角考点04已知二面角，求点，距离2024Ⅰ卷2023Ⅰ卷2021Ⅰ卷求距离问题是高考Ⅰ卷的一个重大趋势，容易与动点问题相结合考点05求点到面的距离2024甲卷2021Ⅰ卷点到平面的距离问题是高考的一个重要题型，应加强这方面的练习考点01求空间几何体体积表面积1．（2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．求证：//平面；(2)若，求三棱锥的体积．2．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱柱中，平面．

(1)证明：平面平面；(2)设，求四棱锥的高．3．（2022·全国·统考高考乙卷题）如图，四面体中，，E为AC的中点．(1)证明：平面平面ACD；(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．4．（2022·全国·统考高考甲卷）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．(1)证明：平面；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．5．（2021·全国·统考高考乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．（1）证明：平面平面；（2）若，求四棱锥的体积．6．（2021·全国·高考甲卷题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.求三棱锥的体积；已知D为棱上的点，证明：.7．（2020·全国·统考高考Ⅰ卷题）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，是底面的内接正三角形，为上一点，∠APC=90°．证明：平面PAB⊥平面PAC；设DO=，圆锥的侧面积为，求三棱锥P−ABC的体积.8．（2020·全国·统考高考Ⅱ卷）如图，已知三棱柱ABC–A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点．过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F．（1）证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN=，求四棱锥B–EB1C1F的体积．考点02求二面角1（2024·全国·高考Ⅱ）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．(1)证明：；(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．2（2024·全国·高考甲卷）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．(1)证明：平面；(2)求二面角的正弦值．3．（2023全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．

(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．4．（2023·全国·统考高考乙卷）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.5．（2022·全国·新课标Ⅰ卷）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．(1)求A到平面的距离；(2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．6．（2022全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，是三棱锥的高，，，E是的中点．

(1)证明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．7．（2021·全国·统考高考乙卷）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．8．（2021·全国·统考高考甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．（1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?9．（2021全国·统考新课标Ⅱ卷）在四棱锥中，底面是正方形，若．（1）证明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．10．（2020·全国·Ⅰ卷）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．考点03求线面角1（2023·全国·统考高考甲卷）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．

(1)证明：；(2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值．2．（2022·全国·统考高考乙卷）如图，四面体中，，E为的中点．(1)证明：平面平面；(2)设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．3．（2022·全国·统考高考甲卷）在四棱锥中，底面．(1)证明：；(2)求PD与平面所成的角的正弦值．4．（2020·全国·新课标Ⅰ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．（1）证明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．5．（2020全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为．（1）证明：平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q为上的点，QB=，求PB与平面QCD所成角的正弦值．6．（2020全国·统考新课标Ⅱ卷）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.考点04已知二面角求点距离1（2024·全国·高考Ⅰ卷）如图，四棱锥中，底面ABCD，，．(1)若，证明：平面；(2)若，且二面角的正弦值为，求．2．（2023·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．

(1)证明：；(2)点在棱上，当二面角为时，求．3．（2021·全国·新课标Ⅰ卷）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.（1）证明：；（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，