2025-2026学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（1月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州大学附中九年级（上）月考数学试卷（1月份）一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.下列计算正确的是（）A.a2+a3=a5 B.a3a3=a9 C.（a3）2=a6 D.（ab）2=ab23.下列实数：，-0.101001，，π，，其中无理数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.设方程x2-3x+2=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）A.3 B.- C. D.-25.长为20cm,宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x之间的函数关系式为（）A.y=（10-x）（20-x）（0＜x＜5） B.y=200-4x2（0＜x＜5）

C.y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5） D.y=200+4x2（0＜x＜5）6.如图，将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A'B'C'，则点P的坐标是（）A.（1，1）

B.（1，2）

C.（4，3）

D.（1，4）

7.如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD.若∠D=28°，则∠OAB的度数为（）​A.28°

B.34°

C.56°

D.62°8.如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，AB长12m.现将钢架立柱缩短成DE，∠BED=60°.则新钢架减少用钢（）​A.（24-12）m

B.（24-8）m

C.（24-6）m

D.（24-4）m9.无论k为何值，直线y=kx-2k+2与抛物线y=ax2-2ax-3a总有公共点，则a的取值范围是（）A.a＞0 B.或a＞0 C.或a＞0 D.二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。10.如图，一次函数y=k1x+b经过点A（0，4），与x轴交于点B，与正比例函数y=k2x交于点P（1，2），则下列结论正确的是（）A.k1-k2＞0

B.P为AB的中点

C.方程k1x+b=k2x的解是x=2

D.当x＜1时，k1x+b＞k2x三、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.函数y=中，自变量x的取值范围是

.12.分解因式：=

13.已知直线y=kx+2向下平移5个单位后经过点（1，2），平移后的直线与x轴的交点坐标为

.14.如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为

.

15.四边形ABCD是矩形，以点D为旋转中心，顺时针旋转矩形ABCD，得到矩形DEFG，BD=10，AD=8，如图O是对角线BD的中点，连接EO，FO，设△EOF的面积为S，在矩形DEFG的旋转过程中，S的取值范围为

.

16.如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在线段AB上运动，过点C的弦DE⊥AB，将沿DE翻折交直线AB于点F，当DE的长为正整数时，线段FB的长为______.

四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题4分)

计算：.18.(本小题4分)

在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.求证：△ACP∽△CBP.19.(本小题6分)

定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（ac≠0）有一个根是c,那么我们称这个方程为“C方程”.

（1）判断一元二次方程x2-4x+3=0是否为“C方程”，请说明理由；

（2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c=0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2-4c-1的最小值.20.(本小题6分)

2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长.某中学初三年级共有15个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下：跑步量达标率xx=100%90%≤x＜100%x＜90%班数7mn（1）从这15个班级中任意选取1个班级.

①事件“该班跑步量达标率为100%”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）；

②若事件“该班跑步量达标率x满足90%≤x＜100%”的概率为，则m=______，n=______；

（2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵.老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享，请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率.21.(本小题8分)

现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度.已知一条小路上有榕树CD，FG和灯柱AB.如图所示，在灯柱AB上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子.

根据上述内容，解答下列问题；

（1）已知榕树CD在路灯下的影子为DE，请画出路灯P的位置和榕树FG在路灯下的影子GH；

（2）如图，若榕树CD的高度为3.6米，其离路灯的距离BD为6米，榕树CD的影长DE为4米，求路灯PB的高度.22.(本小题10分)

乒乓球被誉为中国国球，不仅承载着民族自豪感，更成为展现中国体育精神的文化符号.发球机成为乒乓球爱好者的热门训练器.如图，是乒乓球台的示意图，乒乓球台长OB为274cm,球网CD高15.25cm.发球器采用“直发式”模式，球从发球机出口到第一次接触球台的运行轨迹近似为抛物线的一部分.

某次训练，发球机从球台边缘O点正上方28.75cm的高度A处发球（即OA的长为28.75cm），乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位：cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位：cm），测得几组数据如下：水平距离x/cm0105090130170230竖直高度y/cm28.75334549n330根据以上数据，解决下列问题：

（1）当乒乓球第一次落在对面球台上时，球到起始点的水平距离是______cm,表格中n的值为______；

（2）求出满足条件的函数表达式；

（3）若发球机的发球高度增加15cm,其他所有条件均不变，则乒乓球从发球机出口发出后是否能落到对面球台上，请说明理由.23.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，过D作DH⊥AC于H，连接DE并延长交BA的延长线于点F.

（1）求证：DH是⊙O的切线；

（2）连接OH交DF于G，若，OA=1，求AF的值.24.(本小题12分)

在平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点E为平面内一点，且BE=1.

（1）若AB=BC，

①如图1，当点E在BC上时，连接AE，作∠EAF=60°交CD于点F，连接AC、EF，求证：△EAF为等边三角形；

②如图2，连接AE，作∠EAF=30°，作EF⊥AF于点F，连接CF，当点F在线段BC上时，求CF的长度；

（2）如图3，连接AC，若∠BAC=90°，P为AB边上一点（不与A、B重合），连接PE，以PE为边作Rt△EPF，且∠EPF=90°，∠PEF=60°，作∠PEF的角平分线EG，与PF交于点G，连接DG，点E在运动的过程中，DG的最大值与最小值的差是多少？请说明理由.

25.(本小题12分)

抛物线y=-x+c与x轴相交于点A（-1，0）和点B，与y轴相交于点C，T是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t.

（1）求c的值；

（2）如图1，若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H，求的值；

（3）定义：抛物线上两点M，N之间的部分叫做抛物线弧MN（含端点M和N）.过M，N分别作x轴的垂线l1，l2，过抛物线弧MN的最高点和最低点分别作y轴的垂线l3，l4，直线l1，l2，l3与l4围成的矩形叫做抛物线弧MN的特征矩形，若点P在第四象限，记抛物线弧CP的特征矩形的周长为f.

①求f关于t的函数解析式；

②过点P作PQ∥x轴，交抛物线于点Q，点Q与点C不重合.记抛物线弧CQ的特征矩形的周长为g.若f+g=，直接写出PQ的长.

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】BD

11.【答案】x≥-3

12.【答案】x（x+1）（x-1）

13.【答案】（，0）

14.【答案】8π

15.【答案】9≤s≤39

16.【答案】或或2

17.【答案】6．

18.【答案】在△ABC中，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵∠PBA+∠PBC=∠ABC，∠PCA+∠PCB=∠ACB，∠PCB=∠PBA，

∴∠PCB=∠PCA，

又∵∠PAC=∠PCB，

∴△ACP∽△CBP．

19.【答案】是“C方程”，理由见解析；

最小值为-．

20.【答案】①随机；②5，3；

；

21.【答案】如图，线段GH即为所求；

路灯PB的高度为9米

22.【答案】230;45

乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上；理由如下：

当发球机的发球高度增加15cm时，，

当y=0时，得：，

解得：x=250或x=-70，

∵250cm＜274cm，

∴乒乓球从发球机出口发出后能落到对面球台上

23.【答案】证明过程见解答．

AF的值为2．

24.【答案】①∵平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，AB=BC，

∴△ABC是等边三角形，AB∥CD，

∴∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC，∠BCD=180°-∠ABC=180°-60°=120°，

∴∠ACD=60°=∠B，

又∵∠EAF=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

∴△AEF是等边三角形；②或

DG的最大值与最小值的差是．理由如下：

如图3，过点P作PN⊥AB，且∠PBN=30°，连接NG，ND，

∵∠PEF=60°，EG是∠PEF的角平分线，

∴∠PEG=30°=∠PBN，

又∵∠BPN=∠EPG=90°，

∴△BPN∽△EPG，∠BPE=∠NPG，

∴=，

∴=，

∴△BPE∽△NPG，

∴==tan30°=，

∴，

根据三角形的三边关系可得DN-NG≤DG≤DN+NG，

∴最大值与最小值的差为DN+NG-（DN-NG）=2NG=

25.【答案】解：（1）把A（-1，0）代入，

得，

∴，

（2）由（1）可知：，

∴T（1，-2），

∵P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为t,

∴，

∵过点P作对称轴的垂线，垂足为H，

∴PH=1-t,，

∴；

（3）①当x=0时，，当时，x1=-1，x