2025年大学本科二年级（统计学）多元统计分析试题及答案

2025年大学本科二年级（统计学）多元统计分析试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本大题共10小题，每小题3分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.以下哪种方法不属于多元统计分析中用于数据降维的方法？A.主成分分析B.因子分析C.聚类分析D.对应分析2.在主成分分析中，主成分的方差贡献率反映了：A.该主成分包含原始变量信息的多少B.主成分之间的相关性C.原始变量之间的相关性D.主成分的个数3.因子分析中，公共因子与特殊因子的关系是：A.相互独立B.相互关联C.公共因子包含特殊因子D.特殊因子包含公共因子4.聚类分析的结果受以下哪种因素影响较大？A.变量的量纲B.样本的数量C.数据的分布D.以上都是5.判别分析的主要目的是：A.对样本进行分类B.寻找数据中的规律C.进行数据降维D.分析变量之间的关系6.在多元线性回归模型中，若存在多重共线性，会导致：A.参数估计不准确B.模型预测精度提高C.残差平方和减小D.以上都不对7.典型相关分析主要研究的是：A.两组变量之间的相关性B.多个变量之间的相关性C.变量与样本之间的关系D.样本与样本之间的关系8.以下关于主成分分析和因子分析的说法，正确的是：A.主成分分析中主成分是原始变量的线性组合，因子分析中因子是不可观测的潜在变量B.主成分分析和因子分析都可以用于数据降维C.主成分分析中主成分的个数是人为确定的，因子分析中因子的个数是通过特定方法确定的D.以上说法都正确9.在聚类分析中，若采用欧氏距离作为度量样本间距离的方法，以下哪种情况两个样本距离更近？A.样本1：(1,2)，样本2：(3,4)B.样本3：(5,6)，样本4：(7,8)C.样本1和样本3D.样本距离一样近10.判别分析中，以下哪种判别方法不需要事先知道各类别的分布参数？A.距离判别法B.Fisher判别法C.Bayes判别法D.以上都需要第II卷（非选择题共70分）二、填空题（共15分）答题要求：本大题共5小题，每小题3分。把答案填在题中的横线上。1.主成分分析中，第i个主成分的表达式为$Y_i=\sum_{j=1}^{p}a_{ij}X_j$，其中$a_{ij}$称为________________。2.因子分析的数学模型中，$X_i=\sum_{j=1}^{m}b_{ij}F_j+\epsilon_i$，$F_j$是________________，$\epsilon_i$是________________。3.聚类分析中，常用的类间距离定义方法有________________、________________等（写出两种即可）。4.判别分析中，若已知总体$G_i$的均值向量$\mu_i$和协方差矩阵$\Sigma_i$，$i=1,2,\cdots,k$，则Bayes判别函数为________________。5.典型相关分析中，第一对典型变量$U_1$和$V_1$满足________________。三、简答题（共20分）答题要求：本大题共4小题，每小题5分。简要回答问题。1.简述主成分分析的基本思想。2.因子分析中如何确定公共因子的个数？3.聚类分析有哪些常用的方法？4.判别分析中距离判别法的基本原理是什么？四、计算题（共20分）答题要求：本大题共2小题，每小题10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。材料：已知有三个变量$X_1$、$X_2$、$X_3$，其相关系数矩阵为$R=\begin{pmatrix}1&0.8&0.6\\0.8&1&0.4\\0.6&0.4&1\end{pmatrix}$。1.求该相关系数矩阵的特征值和特征向量，并确定主成分。2.计算主成分的方差贡献率和累计方差贡献率。五、综合分析题（共15分）答题要求：本大题共1小题。结合材料进行分析解答。材料：在一项市场调研中，收集了10个品牌的产品在价格（$X_1$）、质量（$X_2$）、销量（$X_3$）、口碑（$X_4$）四个方面的数据。现对这些数据进行聚类分析，以了解品牌之间的相似性。1.简述聚类分析在该市场调研中的作用。2.若采用系统聚类法，写出聚类的步骤。3.分析聚类结果可能对市场决策产生的影响。答案：一、选择题1.C2.A3.A4.D5.A6.A7.A8.D9.A10.A二、填空题1.主成分系数2.公共因子；特殊因子3.最短距离法、最长距离法等4.$W(x)=\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{|\Sigma_i|}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu_i)^T\Sigma_i^{-1}(x-\mu_i)}P(G_i)$5.它们之间的相关系数达到最大三、简答题1.主成分分析的基本思想是通过线性变换，将原始的多个相关变量转化为少数几个互不相关的主成分，这些主成分是原始变量的线性组合，且尽可能多地保留了原始变量的信息，同时实现数据降维。2.确定公共因子个数的方法有：根据特征值，一般选取特征值大于1的因子；根据累计方差贡献率，当累计方差贡献率达到一定比例（如80%-85%）时对应的因子个数；还可以通过碎石图等直观方法辅助确定。3.常用的聚类方法有：层次聚类法（包括系统聚类法等）、K-均值聚类法、模糊聚类法等。4.距离判别法基本原理是：计算样本到各类别总体均值的距离，将样本判归到距离最近的总体。若样本$x$到总体$G_i$的均值$\mu_i$的距离$d(x,\mu_i)$小于到其他总体均值的距离，则将样本$x$判归为总体$G_i$。四、计算题1.首先求特征值和特征向量：-计算特征方程$|\lambdaI-R|=0$，解得特征值$\lambda_=2.4$，$\lambda_2=0.6$，$\lambda_3=0$。-对于特征值$\lambda_1=2.4$，解方程组$(\lambda_1I-R)a=0$，得到特征向量$a_1=\begin{pmatrix}0.577\\0.577\\0.577\end{pmatrix}$。-对于特征值$\lambda_2=0.6$，解方程组$(\lambda_2I-R)a=0$，得到特征向量$a_2=\begin{pmatrix}-0.577\\-0.577\\0.577\end{pmatrix}$。-主成分：$Y_1=0.577X_1+0.577X_2+0.577X_3$，$Y_2=-0.577X_1-0.577X_2+0.57�X_3$。2.方差贡献率：-第一主成分方差贡献率：$\frac{\lambda_1}{\sum_{i=1}^{3}\lambda_i}=\frac{2.4}{3}=0.8$。-第二主成分方差贡献率：$\frac{\lambda_2}{\sum_{i=1}^{3}\lambda_i}=\frac{0.6}{3}=0.2$。-累计方差贡献率：$0.8+0.2=1$。五、综合分析题1.聚类分析在该市场调研中的作用：可以将10个品牌根据价格、质量、销量、口碑等方面的数据进行分类，了解品牌之间的相似性和差异性，为市场细分、目标市场选择、产品定位等决策提供依据。2.系统聚类法步骤：-计算10个品牌之间的距离矩阵（如欧氏距离）。-初始每个品牌自成一类。-合并距离最近的两类，重新计算新类与其他类的距离，