广东省珠海市北京师范大学珠海附属高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2025−2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．2．已知直线与平行，则实数a的值为A．－1或2 B．0或2 C．2 D．－13．已知双曲线的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（

）A．E的焦点到渐近线的距离为2 B．C．E的实轴长为6 D．E的离心率为4．圆与圆的公共弦长为（

）A． B．C． D．5．正方体的棱长为2，E为的中点，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．6．空间点，则点到直线的距离（

）A． B． C． D．7．已知点P是椭圆上的动点，直线l：，则动点P到直线l的最小距离是（

）A． B． C． D．8．设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A． B． C． D．二、多选题9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（

）A． B．C．向量与的夹角是60° D．与所成角的余弦值为10．已知曲线C的方程为（，且，），则下列结论正确的是（

）A．当时，曲线C为圆 B．若曲线C为椭圆，且焦距为，则C．当或时，曲线C为双曲线 D．当曲线C为双曲线时，焦距等于411．已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（）A．的最大值为 B．的最小值为1C．的最大值为 D．的最大值为三、填空题12．已知空间向量和，则在上的投影向量为(用坐标表示).13．经过点，且在x轴上的截距等于y轴上截距的2倍的直线方程为.14．满足条件，的的面积的最大值是．四、解答题15．已知的三个顶点的坐标分别为，，．（1）求边AC上的中线所在直线方程；（2）求的面积．16．已知圆，线段AB的一端A点在圆上运动，另一个端点.（1）求线段的中点的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程.17．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．（1）求抛物线的方程；（2）当点为弦的中点时，求直线的方程；（3）求的最小值．18．如图，在正四棱柱中，，，点，，，分别在棱，，，上，，，．（1）证明：；（2）求D到平面的距离；（3）点P在棱上，当平面与平面所成角为时，求．19．已知椭圆的长轴是短轴的2倍，且右焦点为，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若点B在第一象限且为等边三角形，求该等边三角形的边长；（3）设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线与x轴分别交于点M，N，判断是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

参考答案1．【答案】A【详解】直线的斜率为，由直线的方向向量为可得其一个方向向量可以是.故选A.2．【答案】D【详解】已知两直线平行，可得a•a-（a+2）=0，即a2-a-2=0，解得a=2或-1．经过验证可得：a=2时两条直线重合，舍去．∴a=-1．故选D3．【答案】D【详解】依题意可得，得，故B不正确；,,,所以E的焦点到渐近线的距离为，故A不正确；因为，所以E的实轴长为，故C不正确；E的离心率为，故D正确.故选D4．【答案】B【详解】圆的圆心为，半径，圆，即，圆心为，半径，又，即，所以两圆相交，则两圆方程作差得到公共弦方程为，又圆心到直线的距离，所以公共弦长为．故选B5．【答案】A【详解】因为在正方体中，故以所以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图：则，则，设平面的法向量为.由，得，令，得.所以向量与平面所成角的正弦值为.故选A.6．【答案】D【详解】由题意得，所以，所以，所以点A到直线BC的距离.故选D.7．【答案】B【详解】因为点P是椭圆上的动点，所以可设，则到直线的距离，其中，所以当时，，故选B8．【答案】B【详解】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得．详解：由题可知在中，在中,故选B.点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题．9．【答案】AB【详解】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等,它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1,则而，所以A正确.=0,所以B正确.向量,显然为等边三角形，则.所以向量与的夹角是,向量与的夹角是,则C不正确又，则，所以，所以D不正确.故选AB10．【答案】AC【详解】当时,方程为，即，表示圆，故A正确；若曲线C为椭圆，且焦距为，则当焦点在x轴上，且，解得；当焦点在y轴上，且，解得,故此时或，故B错误；当时，，曲线表示的是焦点位于y轴上的双曲线；当时，，曲线表示的是焦点位于x轴上的双曲线；故C正确；当曲线C为双曲线时，，即或，当时，，焦距，当时，，焦距，故D错误，故选AC11．【答案】AD【详解】将方程化为标准方程可得，圆的圆心为，半径为，对于A选项，设，可得，则直线与圆有公共点，所以，整理可得，解得，即的最大值为，即的最小值为0，A对，B错；对于C，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示：由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即，故的最大值为，C错；对于D，设，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以的最大值为，D对.故选AD.12．【答案】【详解】已知空间向量和，则在上的投影向量为.13．【答案】或.【详解】若直线在x轴上的截距为0，设直线方程为，因为直线经过点，所以，即，所以直线方程为，即；若直线在x轴上的截距不为0，设直线方程为，因为直线经过点，所以，解得，所以直线方程为.所以所求直线方程方程为或.14．【答案】【详解】方法一：如图所示，以所在的直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

则，，设，由，由阿波罗尼斯圆的定义得，所以，化简得，故点的轨迹方程为，（注意：当时，三点共线，不满足题意）当点到直线距离最大，即为半径时，的面积最大，最大值为．方法二：由知点在定比为的阿波罗尼斯圆上（记为圆），且圆半径，连接，

当时，面积取得最大值，且最大值为．方法三：作高法．作于点．设，，则．

由可得，，即，当且仅当时，取最大值8，则的最大值为，可知面积最大为．方法四：设，则，由余弦定理得．的面积为①．由三角形任意两边之和大于第三边可得，解得，即，所以当时①式取得最大值，即的面积的最大值为．15．【答案】（1）（2）【详解】（1）的中点为，所以边AC上的中线所在直线方程为.（2）直线的方程为，到直线的距离为，，所以.16．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）设，，则，得，A点在圆上运动，代入得，则所以的轨迹方程为；（2）若直线斜率不存在时，，代入圆的方程有，可得此时，弦长为，显然与题设不符，所以直线的斜率存在，设，而圆的半径为，圆心为，其到直线的距离为，则弦长，得，由，得，得，整理得，解得，所以，即.17．【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，即.∴抛物线的方程为.（2）设，显然直线斜率存在.设的方程为，联立方程，消去，整理得，，因为点是的中点，由，解得.所以直线AB的方程为．即．（3）由抛物线定义可知所以，由（2）知，∴，所以所以当时，取得最小值为．18．【答案】（1）见详解（2）（3）1【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，∴，∴，∴，又不在同一条直线上，∴；（2）由（1）知，设平面的法向量，则，令，得，∴，∴到平面的距离；（3）平面的法向量，设，又，设平面的法向量，则，令，得，∴，∴，化简可得，，解得或，∴或，∴．19．【答案】（1）；（2）；（3）是定值4，理由见详解.【详解