湖北省汉川市金益高级中学有限公司2025-2026学年高二上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/湖北省汉川市金益高级中学有限公司2025−2026学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知直线l过、两点，则直线l的倾斜角的大小为（

）A． B． C． D．2．已知方程表示椭圆，则实数m的范围是（

）A． B．C． D．3．若双曲线的两渐近线的夹角为，实轴长为6且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（

）A． B．或C． D．或4．已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（

）A．20 B．30 C．35 D．405．圆与圆的公共弦所在的直线被圆所截得的弦长为（

）A． B． C．5 D．6．如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，，若，则（

）

A． B． C．6 D．7．已知圆和直线，若点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．8．已知过抛物线的焦点的动直线交抛物线于两点，为线段的中点，为抛物线上任意一点，若的最小值为6，则（

）A．2 B．13C．6 D．二、多选题9．已知直线，圆，则下列命题正确的有（

）A．直线l过定点B．若直线l过C点，则C．存在实数t，使得直线l与圆C相切D．若直线l与圆C相交于A，B两点，则A，B两点间的最短距离为10．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（

）A．B．点到直线的距离是C．平面与平面的夹角正弦值为D．异面直线与所成角的正切值为11．已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（

）A．焦点到抛物线的准线的距离为8B．C．若的中点的横坐标为3，则D．若，则三、填空题12．已知等差数列的前项和为，若，则.13．已知数列的通项公式为，若是递减数列，则的取值范围为.14．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为．四、解答题15．已知直线过点和，直线：．（1）若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程．（2）已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程.16．已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点.（1）求的标准方程；（2）若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程.17．已知数列各项均为正数，其前项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）已知，，求数列的前项和．18．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形满足.（1）证明：平面平面；（2）若，平面与平面交线为，①求证；②直线上是否存在点，使得二面角的夹角余弦值为？如存在，求出；如不存在，请说明理由.19．已知椭圆（）的离心率为，且过点．（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，．①求证：为定值；②求的面积S的最大值．

参考答案1．【答案】A【详解】直线过、两点，则直线的斜率，∴直线的倾斜角为．故选A．2．【答案】A【详解】已知方程表示椭圆，则，则或，故实数m的范围是.故选A3．【答案】D【详解】因两渐近线的夹角为，由双曲线渐近线的对称性可知双曲线的一条渐近线的倾斜角为或，即得或，解得或.故选D.4．【答案】B【详解】由题意设等差数列的公差为d，d≠0，由可得又成等比数列，可得a32＝a1a6，即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），结合解得d＝（0舍去），则数列{an}的通项公式an＝2+（n﹣1）＝n+；∴a8＝，∴故选B．5．【答案】A【详解】圆的圆心，半径，圆圆心，半径，圆的圆心，半径，，因此圆与圆相交，将两圆方程相减得公共弦所在直线方程：，圆心到直线的距离，因此所求弦长为.故选A6．【答案】B【详解】因为，所以，则，所以.故选B.7．【答案】C【详解】由圆得圆心，直线的方程，可化为，联立，解得，所以直线经过定点，且，所以在圆C的外部，当时，圆心到直线的最大距离为，因为点在圆上，则点到直线的距离的最大值为，故选C.8．【答案】C【详解】如图所示，分别过四点向准线作垂线，垂足分别为，设横坐标分别为，由抛物线定义及梯形中位线可知则，，易知，则，即的最小值为，设，，联立抛物线得，即，由基本不等式可知，当且仅当等号成立，故.故选C9．【答案】AB【详解】对于A，直线显然经过点，故A正确；对于B，直线l过点，则有，则，故B正确；对于C，由圆心到直线的距离，可得，显然的值不存在，故C错误；对于D，由垂径定理，要使弦长最短，需使圆心到直线的距离最长，而直线l过定点，当且仅当时，，此时，，但是，此时轴，直线的斜率不存在，显然不合题意，故D错误.故选AB.10．【答案】BCD【详解】对于A，，即，故A错误；如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，对于B，，，设，则点到直线的距离，故B正确；对于C，，设平面的一个法向量为，则，令，得，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以，即平面与平面的夹角余弦值为，所以平面与平面的夹角正弦值为，故C正确；对于D，因为，，所以，所以所以，故D正确．故选BCD11．【答案】BCD【详解】抛物线的焦点为，准线，，所以焦点到抛物线的准线的距离为4，A错误；

设当直线垂直于轴，可得，所以,得当直线不垂直于轴，设方程为，由，得，则，，，B正确；对于C，由的中点的横坐标为3，可得：，，又，所以，C正确；对于D，

过点作，直线与轴分别交与点，设，则，因，则，得，则，则，故直线的斜率为，直线的方程为，与联立得，解得，所以，可得：，所以，D正确故选BCD12．【答案】7【详解】因为数列是等差数列，所以成等差数列，即，即，解得.13．【答案】【详解】若是递减数列，即，在，且上单调递减，，解得.14．【答案】6【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.15．【答案】（1）（2）或．【详解】（1）直线的方程为，即，取直线上的一点，设关于直线的对称点为，则，解得.由解得，所以直线过点和点，所以直线的方程为，即.（2）直线斜率不存在时，可得，点与直线的距离为，符合题意.当直线斜率存在时，设直线斜率为，故可得直线的方程为，即，因为点到直线的距离为，即，解得，故可得直线的方程为，即，综上所述，直线的方程为：或．16．【答案】（1）（2）或.【详解】（1）解：联立方程组，解得，即，因为圆的圆心在轴上，可设圆的方程为，又因为圆过点和点，则，即，解得，所以，故圆的标准方程为.（2）解：因为，则圆心到直线的距离为，当斜率不存在时，直线的一般方程为，此时，符合题意；当存在斜率时，设的方程为，即，则，解得，所以的一般方程为，综上所述，直线的一般方程为或.17．【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，当时，则，解得；当时，则，两式相减得：，整理可得，且，则，可得，即，可知数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以.（2）由题意可知，即，当，可得，，，，累加可得，可得，且符合上式，则，，所以.18．【答案】（1）见详解（2）①见详解；②存在，【详解】（1）由勾股定理计算得，所以，故三角形为等腰直角三角形，可得.因为平面平面，所以.又因为平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）①因为，而平面，所以平面，面与平面交线为，所以，而，所以.②依题意，建立空间直角坐标系，可得，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，因为点在上，所以设点，设平面的一个法向量为，则，可得，即，取，则.因