湖北省重点高中智学联盟2025-2026学年高一上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/湖北省重点高中智学联盟2025−2026学年高一上学期12月月考数学试题一、单选题1．下列表述中正确的是（

）A． B．C． D．2．已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．下列命题中的真命题是（

）A．B．C．函数和函数的图象在定义域内有且只有三个交点D．“”是“”的充要条件4．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（

）A． B． C． D．5．若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．设函数，若恒成立，则的最大值为（

）A． B． C．2 D．17．设，则取最小值时，的值是（

）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，，都有，记，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．设，若，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C．1 D．310．设，且，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的（

）A．是偶函数 B．是奇函数C．在上是减函数 D．的值域是三、填空题12．计算：.13．已知函数，则不等式的解集为.14．已知集合，，设，且，又中所有元素之和为234，则，.四、解答题15．（1）设集合，，求；（2）设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立，若命题、都是真命题，求实数的取值范围.16．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本4000万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且，由市场调研知，每辆车售价6万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（1）求出2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式：（利润=销售额-成本）（2）当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.17．已知定义在上的函数满足，且当时，.（1）求证：当时，恒有；（2）求证：函数在上是增函数；（3）若，求不等式的解.18．“函数图象关于原点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足.（1）若定义在上的函数图象关于原点对称，且当时，，①求函数的解析式；②对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）类比上述结论，得到以下真命题：“函数图象关于点对称”的充要条件是“函数对定义域内的任意都满足”.若定义在上的函数的图象关于对称，且当时，.①判断函数在上的单调性并且证明；②关于的方程在上有四个不同的零点，求实数的取值范围.19．用表示中的最小值，用表示中的最大值.（1）已知，求的值；（2）已知，求的最大值；（3）已知，函数，试讨论函数的零点的个数.

参考答案1．【答案】B【详解】对于A，是含一个元素0的集合，不含任何元素，故A错误；对于B，集合元素具有无序性，故正确；对于C，是包含空集的集合（有一个元素），是空集（无元素），故错误；对于D，表示有序数对的集合，表示有序数对的集合，有序数对与不相等，故这两集合不相等，故错误；故选B2．【答案】A【详解】由得：，∴，解得：，；由得：；“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，当时，，不满足题意；当时，，不满足题意；当时，，则需满足；综上所述：实数的取值范围为.故选A.3．【答案】C【详解】对于A，因为，所以不存在，满足，故A错误；对于B，当时，，即不成立，故B错误；对于C，由作图可知，两函数图象在第二象限有一个交点，在第一象限有两个交点，故共有三个交点，即C正确；对于D，由“”易得“”，即“充分性”成立；若“”，则“”不成立，如，满足，但推不出，即“必要性”不成立.故“”是“”的充分不必要条件，故D错误.故选C.4．【答案】C【详解】解：由得，构造函数，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间.故选C5．【答案】C【详解】解：∵对任意的实数都有成立，∴函数在上单调递增，∴,解得，故选C6．【答案】D【详解】，当，，当，∴当时，，当时，，∵函数是一个开口向下的二次函数，∴的一个根小于等于0，一个根为1，则，，所以的最大值为1，故选D7．【答案】D【详解】因为，因为，当且仅当时等号成立，因为，所以，当且仅当时等号成立，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当，，，即，，时，等号成立，此时.故选D.8．【答案】B【详解】构造函数，可知函数为偶函数，不妨设，，因为，所以，所以，即，因此函数在上单调递增；又由于，故.故选:B9．【答案】ABC【详解】由集合，因为，所以，当时，即方程无实根，可得；当时，可得，若，解得，此时，满足；若，解得，此时，满足，综上可得，实数的值可以是或或.故选ABC.10．【答案】AC【详解】解：选项A：因为，且，由可知,又，解得，故A正确，选项B：由，当且仅当时取等号，此时，解得，故B错误；选项C：因为，当且仅当时取等号，此时，故C正确，选项D：方法一：代入，故D错误，方法二：赫尔德不等式，当且仅当时等号成立,故的最小值为，小于，故D错误；方法三：权方和不等式，即，当且仅当时等号成立，故的最小值为，小于，故D错误；故选AC.11．【答案】BCD【详解】∵，，∴，则不是偶函数，故A错误；∵的定义域为，，∴为奇函数，故B正确；∵，又在上单调递增，∴在上是减函数，故C正确；∵，∴，则，可得即，∴，故D正确.故选BCD.12．【答案】/【详解】根据指数幂与对数的运算公式，可得：13．【答案】【详解】令，函数的定义域为，关于原点对称，由，即为定义在上的奇函数.因和为增函数，设，则在定义域内单调递增，且在上单调递增，则在上是单调递增函数，故函数在上是单调递增函数.则等价于，即，所以，解得.14．【答案】115【详解】因为，，所以因为，所以，，若,则,显然结合中最小的元素不小于4，此时无法满足,所以,因为，所以因为所以中必定有一个为3，若，则，由于中所有元素之和为234，故，此方程没有整数解，故不成立，所以，此时，因为中所有元素之和为234，故，因为，故当，中无正整数解，所以当，则，无整数解，当，则，解得或（舍），所以，此时，满足题意所以.15．【答案】（1）；（2）【详解】（1）由，得集合，由，得集合，则；（2）命题：对任意，不等式恒成立，即，当时，取到最小值，∴，∴所以为真命题时，实数的取值范围是.命题：存在，使得不等式成立，只需，而在实数集上单调递增，所以当时，取到最大值为，∴，故命题都是真命题，实数的取值范围是.16．【答案】（1）（2）2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元【详解】（1）每辆售价6万元，产量x（百辆）对应100x辆，故销售额为（万元）当时，，当时，，∴；（2）当时，，这个二次函数的对称轴为，所以当时，为最大值，当时，，∵，当且仅当，即时，等号成立，∴，即当时，取到最大值2300，∵，∴当时，即2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元.17．【答案】（1）见详解（2）见详解（3）【详解】（1）证明：已知定义在上的函数满足，令，则，又当时，，所以，即，当时，则.在中，令，有，所以，综上：当时，恒有（2）证明：设是上的任意两个实数，且，则，且，，由第一问可知当时，恒有，且，所以，因此函数在上单调递增；（3）若，求不等式的解，在中，令，则，即，令，则，不等式等价于，即，即，所以不等式的解集为.18．【答案】（1）①；②（2）①单调递增，见详解；②【详解】（1）解：①因为定义在上的函数图象关于原点对称，所以函数是奇函数，因为时，设，则，可得，当时，，可得，所以函数的解析式为.②当时，，可得在为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，且，即函数的图象过原点，所以在上为单调递增函数，且为的奇函数，由对于任意的，不等式恒成立，即对于任意的，等价于恒成立，即对于任意的，等价于恒成立，因为在上为单调递增函数，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.（2）解：①因为定义在上的函数的图象关于对称，且当时，，由，当时，；当时，，所以，设，且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增；②由①知，函数，当时，令，即，解得；当时，；当时，令，即，解得，所以函数有三个零点，分别为，因为方程在上有四个不同的零点，所以原方程等价于有且只有异于上述三个零点的一个根，由①知在和上单调递增，且函数的图象关于对称，当时，；当时，，要使得只有一个根，即与的图象只有一个公共点，所以或，解得或，所以实数的取值范围为.19．【答案】（1）（2）（3）2个【详解】（1）由对数函数性质知，即，又由指数函数性质知，即又因为所以（2）解法一：由，可得则，所以，当且仅当，取等号，所以的最大值为.解法二：由，可得，下面研究的最大值：（此处可以把除下来变为对勾函数求也行），令，则有，由及可得，故的最大值为，接下来验证等号的条件当