湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学检测试卷 附答案

/湖南省常德市多校2026届高三上学期第一次模拟考试数学试卷一、单选题1．已知集合，则（）A． B．C． D．2．复数的虚部为（

）A．-3 B． C． D．3．将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．4．已知圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的表面积为（

）A． B． C． D．5．光束是由一粒一粒运动着的粒子流组成的，这种粒子被称为光量子，简称光子．已知在某次光学实验中，实验组相关人员用感光设备捕获了从同一光源发射出来的两个光子A，B，通过数学建模与数据分析得知，在平面直角坐标系中它们的位移所对应的向量分别为，设光子相对光子的位移为，则在上的投影向量的坐标表示为（

）A． B． C． D．6．盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（

）A． B． C． D．7．已知函数，数列满足，，则“为递增数列”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件8．已知双曲线的右焦点为，若圆上存在点使得的中点在的渐近线上，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为，A型的基因类型为或，B型的基因类型为或，型的基因类型为，其中，a和b是显性基因，i是隐性基因.则下列说法正确的是（

）A．若父亲的血型为型，则孩子的血型可能为O型B．若父母的血型不相同，则父母血型的基因类型组合有26种C．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为D．若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，则孩子也是型的概率为10．已知无穷数列满足，设其前n项和为，记，则（

）A．存在等差数列，使得是递增数列；B．存在等比数列，使得是递增数列；C．若是递减数列，则且；D．若是递减数列，则可能存在且，使得．11．已知函数，下列选项正确的是（

）A．有最大值B．C．若时，恒成立，则D．设为两个不相等的正数，且，则三、填空题12．的展开式中，常数项为（用数字作答）.13．已知椭圆的上顶点为，直线交于两点.若的重心为，则实数的值是.14．函数的值域为．四、解答题15．已知向量，函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）在中，分别是角的对边，的面积为，求的周长.16．如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为．（1）证明：平面；（2）求面与面所成的二面角的正弦值．17．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为分别是的左、右焦点，是上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点.当轴时，.（1）求椭圆的方程.（2）证明：为定值.（3）记点的轨迹为，动直线与交于两点，求面积的最大值.18．已知函数.（1）若函数在点处的切线与轴平行，求的值；（2）当时，设的极大值为，求证：；（3）设，若函数与共有4个不同的零点，是否存在实数，使得这4个零点在调整顺序后成为等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19．设函数，证明：（1）对每个，存在唯一的，满足；（2）对于任意，由（1）中构成数列满足.

参考答案1．【答案】A【详解】由题意知，又，所以．故选A．2．【答案】C【详解】由题复数，所以复数的虚部为.故选C3．【答案】A【详解】由题意是偶函数，所以，解得，又，所以.故选A.4．【答案】C【详解】设圆柱的高为，底面半径为1，由圆柱的体积为可得：，所以该圆柱的表面积为，故选C.5．【答案】C【详解】由向量，可得，所以在上的投影向量为．．故选C．6．【答案】C【详解】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，则，所以.故选C.7．【答案】B【详解】已知函数，数列满足.①充分性：若为递增数列，则对于所有，满足，即.当时，成立，即：，：，：，：需要满足，即，当，，要使在时单调递增，则.综上，若数列递增，则，所以“数列递增”不能推出“”，不满足充分性.②必要性：若，则，由①知当时为递增数列，所以“”能满足“数列递增”，即“数列递增”是“”的必要条件.所以“为递增数列”是“”的必要不充分条件.故选B.8．【答案】B【详解】因为双曲线的右焦点为，则，即，且双曲线的渐近线方程为，设为圆上一点，且圆心为，半径，则的中点在其渐近线上，可得，即，所以点在直线上，因为圆心到直线的距离为，因为圆上存在点满足条件，所以直线与圆有公共点，所以，即，可得，可得，所以，又因为双曲线的离心率，所以，所以双曲线的离心率的取值范围为.故选B.9．【答案】BC【详解】若父亲的血型为型，即基因类型为，则母亲的可以是：，，，，，，则孩子的血型的基因类型为，，，，，没有，即孩子的血型不可能为O型，故A错误；若父母的血型不相同，当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，共4种；当父亲血型的基因类型为时，母亲的可以是：，，，，共5种，所以父母血型的基因类型组合有种，故B正确；若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，即基因类型为，则父亲血型的基因类型可能是，，，其对应的概率分别为，，，当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，对应的概率分别为，，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；当父亲血型的基因类型是，母亲的为，则孩子的可能是，，对应的概率分别为，，故此时孩子与父亲血型相同的概率为；综上，若孩子的爷爷、奶奶、母亲的血型均为型，孩子与父亲血型相同的概率为，故C正确，D错误.故选BC.10．【答案】BC【详解】对于A,当为等差数列时，设首项和公差分别为，则，则，当时，，由于，由于，故当时，，故，不满足为递增数列，故A错误，对于B,当为等比数列时，设，则，，由于单调递减，故为递增数列，故B正确，对于C,是递减数列，则时，，即，故，故C正确，对于D,是递减数列，则时，，即，故不存在且，使得．故D错误，故选BC11．【答案】ACD【详解】对于选项A,由题意可得函数的定义域为，且，令，解得；令，解得,则函数在上单调递增，在上单调递减，所以有最大值，故A正确；对于选项B,因为，则，所以，故B错误；对于选项C,构建，则，因为，且当时，恒成立，则，解得，若，则当时恒成立，则在上单调递减，则，符合题意.综上,符合题意，故C正确；对于选项D,因为，整理得，即，由选项A可知函数在上单调递增，在上单调递减，当x趋近于0时，趋近于0，且令，解得，不妨设，构建，因为在上恒成立，则在上单调递增，可得，所以，即，可得，注意到在上单调递减，且，所以，即，故D正确.故选ACD.【方法总结】利用导数证明不等式的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地，当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．12．【答案】【详解】由题可得二项式展开式通项公式为，所以当时得展开式常数项为.13．【答案】/0.75【详解】已知椭圆，上顶点坐标为.设，，因为的重心为，所以，.由可得；由可得.直曲联立，将直线代入椭圆，可得.展开并整理得.根据韦达定理可知.又因为，，所以.由可得①；由可得②.由②可得，将其代入①可得：，则，解得.当时，代入②可得，，此时直线与椭圆有两个交点，符合题意.14．【答案】【详解】令，则，由于是奇函数且周期为，只需考虑（值域对称）.令，，则，（时，）变为令对求导得：，令，得或，当时，，当时，，当时，的最大值是，的最大值为由于是奇函数，故最小值为，值域为15．【答案】（1）（2）【详解】（1），令，解得，故函数的单调递减区间为；（2），则，则，即，又，故，则，故，，即，则，即有，故的周长为.16．【答案】（1）见详解（2）【详解】（1）设，所以，因为为中点，所以，因为，，所以是平行四边形，所以，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面平面，所以平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）因为，所以，又因为，所以，以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系.因为，平面与平面所成二面角为60°，所以.则，，，，，.所以.设平面的法向量为，则，所以，令，则，则.设平面的法向量为，则，所以，令，则，所以.所以.所以平面与平面夹角的正弦值为.17．【答案】（1）（2）见详解（3）【详解】（1）当轴时，，所以，此时由对称性可知，因为轴，为的中点，所以为的中点，所以，且，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：延长交椭圆于点，由对称性可知关于原点对称，设，，所以，联立，可得，且，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为，，即，联立的方程可解得，所以，因为在轴上方，所以且，所以，又因为，所以，解得，所以，又因为时，恒成立，所以，所以为定值.（3）由（2）可知，为以为焦点，以为长轴长的半椭圆，设半椭圆的方程为，所以，所以，设，联立和的方程，可得，则，且，即，到直线的距离为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为.18．【答案】（1）；（2）见详解；（3）不存在.【详解】（1），.（2），当时，令，则或，则当，；当，，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故.当时，在上递增，不存在极大值.当时，令，则或，则当，；当，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故.，设，，，当，；当，；则在上单调递减，在上单调递增..证毕！（3）由于，所以与的零点个数相同.依题意共有个不同的零点，所以有两个零点.，当，则在上恒成立，则在上单调递增，不符合题意.当，则在上，在上；则在上单调递增，在上单调递减，而，所以有.不妨设的两个零点为，的两个零点为，则有，.若四个零点成等差数列，则有两种情况.①当时，有可得①即，可得.即，②代回原式可得代入①可得，即这与②矛盾，故不存在.②当时，有可得③即，可得.即，④代回原式可得代入③可得，即这与④矛盾，故不存在.综上所述，不存在实数使得四个零点成等差数列.19．【答案】见详解【详解】（1）对每个，当时，，则在内单调递增，而，当时，，故，又，所以对每个，存在唯一的，满足（2）当时，，并由（1）知由在内单调递增知，，故为单调递减数列，从而对任意,对任意，①②①②并移项，利用，可得.综上可得，对于任意，由（1）中构成数列满足.本题考查的是数列函数，而且含双变量，考生在做题的过程中需要冷静的处理好每个变量.第（1）题考查函数的零点问