湖南省湘西州泸溪县第一中学2025-2026学年高一上学期期末测试数学检测试卷 附答案

/2025-2026年泸溪县一中高一数学期末测试卷一、单选题1．设全集，，，则图中阴影部分对应的集合为（

）A． B． C． D．2．对于命题：，，则是A．， B．，C．， D．，3．设集合，集合，则A． B． C． D．4．若直线与函数（且）的图象有两个公共点，则的取值不可以是（

）A． B． C． D．35．下表中给出的常用对数值有一个是错误的，它是（

）x0.271.5358A． B． C． D．6．对于函数，若存在，使得，则称点与点是函数图象上的一对“偶对称点”；已知函数，则图象上“偶对称点”有（

）对.A．2 B．3 C．4 D．57．已知函数f（x）为偶函数，当x≤0时，f（x）＝x2+2x，那么函数g（x）＝f[f（x）]的零点个数为（

）A．6 B．8 C．10 D．128．已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在上为严格减函数；④方程在上有4个根；其中正确的命题个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题9．设正实数满足，则（

）A．的最大值是 B．的最小值为9C．的最小值为 D．的最大值为210．已知，若，使得，则的可能取值为（

）A． B． C． D．11．设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则实数的取值可以是（

）A．4 B． C． D．6三、填空题12．若，且，则的最大值为．13．已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数m的取值范围是14．已知函数的定义域为，，，且对于、，当时都有，则不等式的解集为．四、解答题15．已知正数满足.(1)求的最小值；(2)求的最小值.16．已知集合，集合（1）求集合；（2）若集合，求实数的值；（3）若，求实数的取值范围．17．（1）已知函数是一次函数，且，，求的解析式．（2）已知，求的解析式；18．设n为正整数，集合，对于集合中的任意元素和，记．设是的子集，且满足：对于中的任意两个不同的元素，，都有，则称集合具有性质．(1)当时，若，，求，的值；(2)已知正整数，集合为的子集．求证：“集合具有性质”的充要条件为“对中任意两个不同的元素，都有，且”；(3)给定不小于2的偶数n，设具有性质，求集合中元素个数的最大值．19．记存在正整数n，且．若集合满足，则称集合A为“谐调集”．(1)分别判断集合、集合是否为“谐调集”；(2)已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由；(3)若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合．2025—2026年泸溪县一中高一数学期末测试卷参考答案题号12345678910答案DCADABBDABCBC题号11答案AB1．D【分析】解一元二次不等式可求得集合，再由图中阴影部分利用集合的基本运算即可求得结果.【详解】解集合对应的不等式可得，即；易知图中阴影部分对应的集合可表示为，由可得，因此，即图中阴影部分对应的集合为.故选：D2．C【分析】根据特称命题“”的否定为全称命题“”即可得结果.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，一是要将存在量词改写为全称量词，所以，命题

的否定为，，故选C.【点睛】本题主要考查特称命题的否定，属于简单题.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词;二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论即可.3．A【分析】根据集合的并集的定义和运算，即可求解，得到答案．【详解】因为集合，集合，．故选A．【点睛】本题考查集合并集的概念及运算，以及不等式性质等基础知识，其中解答中熟记集合的并集的概念和运算是解答的关键，考查运算求解能力，是基础题．4．D【分析】分别将和两种情况作出函数图象，利用数形结合根据交点个数即可求得的取值范围，即可得出选项.【详解】的图象由的图象向下平移一个单位，再将轴下方的图象翻折到轴上方得到，分和两种情况分别作图.当时，图象如下图所示：此时需要，即，所以；当时，图象如下图所示：此时需满足，都符合条件；综上可知,的取值范围为或，所以的取值不可以是D.故选：D5．A【分析】根据对数的运算法则计算后判断．【详解】因为已知式中只有一个对数式错误，若，则，又，正确，因此均正确，，但，因此和中有一个错误，，这样,都不错，只有错．故选：A．【点睛】思路点睛：本题考查对数的运算法则，因此在已知式中两个对数式运算的结果是正确的，这两个对数一定正确，这样利用对数运算可得结论．6．B【分析】先画出分段函数的图像，再结合题意作出曲线关于轴对称的曲线，利用数形集合思想根据交点个数即可求解.【详解】作出函数的大致图象如图所示，再作出曲线关于轴对称的曲线，数形结合可知曲线与曲线有3个交点，所以图象上“偶对称点”有对.故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键做出函数图像，利用数形结合思想解决问题.7．B【分析】根据偶函数性质作出函数的图象得出其值域，然后分析的零点．【详解】由于是偶函数，作出它的图象，如图所示，其值域中，令，，，由图象知有四个解，且，无解，有4个解，有2个解，有2个解，综上所述，有8个零点．故选：B．【点睛】本题考查函数的零点，解题关键是问题转化，函数零点个数转化为方程解的个数，又转化为函数图象与直线的交点个数．解题时只要作出函数的图象及直线，观察它们交点个数就可以得出结论．题中用到了换元法．8．D【分析】对于①，令代入已知等式可求出，再结合其为偶函数可得，从而可求出函数的周期为6，利用周期可求得结果；对于②，由为偶函数，结合周期为6分析判断；对于③，由当，且时，都有，可得在上为严格增函数，再结合其为偶函数及周期为6分析判断；对于④，由，的周期为6，及函数的单调性分析判断.【详解】①：对于任意，都有成立，令，则，解得，又因为是R上的偶函数，所以，所以，所以函数的周期为6，所以，又由，故；故①正确；②：由（1）知的周期为6，又因为是R上的偶函数，所以，而的周期为6，所以，，所以：，所以直线是函数的图象的一条对称轴．故②正确；③：当，且时，都有．所以函数在上为严格增函数，因为是R上的偶函数，所以函数在上为严格减函数，而的周期为6，所以函数在上为严格减函数．故③正确；④：，的周期为6，所以，又在先严格递减后严格递增，所以在上除端点外不存在其他零点，所以在和上各有一个零点，所以函数在上有四个零点．故④正确；故选：D．【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性，对称性，单调性和周期性，解题的关键是利用赋值法求出，从而可得，得到周期为6，然后结合周期性和奇偶性分析判断，考查分析问题的能力，属于较难题.9．ABC【分析】根据基本不等式依次分析各选项即可得答案.【详解】解：对于A，∵，∴，当且仅当时，即，时等号成立，故A正确；对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误．故选：ABC．10．BC【分析】由辅助角公式可得，后由图象可得范围，即可得答案.【详解】，因为，使得，所以，令，作出函数在上的图象，如图所示：①当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为，此时取得最小值，，所以；②当函数的图象与函数的图象相交时，前三个交点的横坐标依次为，此时取得最大值，.则，故只有BC选项满足条件.故选：BC．

11．AB【分析】根据题意利用图象变换画出函数的图象，结合图象可求出的取值范围，从而可得答案.【详解】因为函数的定义域为，满足，且当时，，所以当时，，当时，，函数部分图象如图所示，由，得，解得或，因为对任意，都有，所以由图可知，对比选项可知满足题意的实数的取值可以是4或.故选：AB.【点睛】关键点点睛：本题的关键是由已知条件画出函数的部分图象，从而通过数形结合的方式来解决问题.12．/【分析】由,结合并进行构造，借助基本不等式求解即可.【详解】由，得，，由，当且仅当，即时，等号成立.即，即．故答案为：.13．【分析】对进行和分类，再结合不等式的解集为讨论求解即可.【详解】当时，，与客观事实矛盾，故此时不等式的解集为，符合；当时，为一元二次不等式，若此不等式的解集为，则有，综上，实数m的取值范围是.故答案为：.14．【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，即为，结合函数的单调性可求得的取值范围，然后验证恒成立，即可得解.【详解】构造函数，其中，则，故函数在上为减函数，由可得，即，因为，则，所以，，解得.对于、，当时都有，不妨设，则，所以，函数在上为增函数，则对任意的，，则，可得恒成立，因此，所求不等式的解集为.故答案为：.【点睛】结论点睛：四种常用的导数构造法：（1）对于不等式（或），构造函数；（2）对于不等式（或），构造函数；（3）对于不等式（或）（其中为常数且），构造函数；（4）对于不等式（或）（其中为常数），构造函数.15．(1)(2)【分析】（1）根据基本不等式1的妙用求解；（2）题干条件可转化为，问题可转化为求的最小值.【详解】（1）因为都是正数则，当取等号，结合可知取等号，的最小值是；（2）由可知，又，由，平方可得，又是正数，则，当取得等号，此时，即的最小值是.16．（1）；（2）或；（3）．【分析】（1）直接解方程可求集合；（2），则且，将代入方程求出的值，再将的值代入方程，解方程可得集合，检验是否满足条件即可；（3）若，则，可得或或或；分别讨论这四种情况即可求解.【详解】（1）；（2）由（1）知：，若集合，则且，将代入方程可得，解得：或；当时，原方程可化为，解得：或，此时，满足，当时，原方程可化为，解得：或，此时，满足，所以或；（3）若，则，所以或或或；当时，方程无解，所以，解得：，若，则方程有两个相等的实根，所以此时无解，若，则方程有两个相等的实根，所以此时无解，若，则方程有两个不相等的实根，所以此时无解，综上所述：实数的取值范围为.17．（1）；（2）【分析】（1）设，根据已知列出方程，求解得出的值即可；（2）换元，，代入即可得出答案.【详解】（1）设，则有，故（2）令，则，，因为，所以，所以.18．(1)，(2)证明见解析(3)【分析】(1)利用的运算规则进行运算即可；(2)利用已知条件中的的运算规则从充分性与必要性两个方面进行证明；(3)设具有性质的集合的元素个数最大值为，先求当时元素个数的最大值，再从两方面去求解得到及，从而得到，进而求得.【详解】（1）因为，，由定义可知：，．（2）①若集合具有性质，任取中不同元素，，令，，有．由的定义可知，对任意正整数n，都有，所以有，．②若对中任意两个不同的元素，，都有，，那么．综上，结论成立．（3）设具有性质的集合的元素个数最大值为，下证：，，其中n为偶数．当时，则，由于，，，则，，中至多有一个属于，当时，元素个数取到最大值为2．即．一方面，若集合，分别具有性质，，令集合，其中，对中任意两个不同的元素，，都有，由于，因此．另一方面，设具有性质的集合元素个数取到最大值为，设和为的两个不同元素，则有．因此，，由于，因此．综上，，n为偶数．所以．【点睛】关键点睛：本题的关键是对题目中的运算以及性质进行理解.19．(1)E不是，F是(2)不存在，理由见解析(3)【分析】（1）根据新定义计算即可判断；（2）若存在符合题意的实数z，根据题意可得的关系式，求解后，检验，即可判断；（3）不妨设A中所有元素满足，从而可得，进而可得，再分三种情况求解即可．【详解】（1）∵，∴E不是“谐调集”，∵，∴F是“谐调集”.（2）若存在符合题意的实数z，则，∴，即，解得或或，当时，则，不符合题意.当时，，由此，x、y是方程的实数解．但，方程无实数解，所以不符合题意.同理，当时，不符合题意，综上，不存在符合题意的实