山西省太原市新力惠中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学检测试卷 附答案

/山西省太原市新力惠中学2025−2026学年高一上学期12月月考数学试卷一、单选题1．下列命题正确的是（）A．若直线上有无数个点不在平面内，则直线和平面平行B．若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线都是异面直线C．若直线与平面平行，则这条直线与平面内的所有直线平行D．若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内2．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），若面，则线段的长度为（

）A． B． C． D．3．在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（

）A． B．C． D．4．如图，三棱柱中，是上靠近的四等分点，平面将三棱柱分成体积为，两部分，则（

）A．9：7 B． C． D．二、多选题5．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（

）A．不存在点，使得平面B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是梯形C．三棱锥的体积为4D．三棱锥的外接球表面积为6．如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，在线段上，则下列说法中正确的有（

）A．平面 B．平面C．存在点，满足 D．三棱锥的体积不变三、填空题7．下列四个命题：①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行；③若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线；④若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点.其中，真命题的序号是.8．如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：（1）有水的部分始终呈棱柱形；（2）没有水的部分始终呈棱柱形；（3）水面所在四边形的面积为定值；（4）棱始终与水面所在平面平行；（5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是9．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①当点是中点时，直线平面；②直线到平面的距离是；③点到的距离为；④存在点，使得.其中所有正确的结论是.10．如图，在正方体中，E为的中点，F为正方体棱的中点，则满足条件直线平面的点F的个数是.四、解答题11．空间四边形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，且满足，，过点E，F，G的平面交AD于H，连接EH.（1）求；（2）求证：EH，FG，BD三线共点．12．如图，在正四棱锥中，分别是线段的中点，分别在线段上，且．（1）证明：四点共面．（2）证明：平面．（3）若点在线段上，且满足，试问侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

参考答案1．【答案】D【详解】对于A，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，故A错误；对于B，若直线与平面相交，则直线与平面内的任意直线可能相交，也可能是异面直线，故B错误；对于C，若直线与平面平行，则这条直线与平面内的直线平行或异面，故C错误；对于D，根据平面的基本性质可知若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故D正确.故选D.2．【答案】B【详解】如图在中，，又平面，平面，所以面，因为点P，Q分别为棱，上的动点（可与端点重合），面，所以即为，因此，故选B.3．【答案】A【详解】A选项：如图所示，由中位线性质可知，且平面，则与平面不平行，A选项满足题意；B选项：由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知B不满足题意；C选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知C不满足题意；D选项，由正方体结构特征，易得，结合线面平行的判定定理，知D不满足题意，故选A．4．【答案】A【详解】过作交于，连接,由于,故，因此截面为梯形，又,平面，平面，故平面设三棱柱的高为，由于,所以,,故，因此故选A5．【答案】BD【详解】对于A，当为中点时，由中位线可得，因为平面，平面，所以平面.故A错误；对于B，由中位线可得，在正方体中，易证，所以，又因为，所以截面为梯形，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，三棱锥的外接球可以补形为长方体外接球，半径，所以表面积，故D正确.故选BD.6．【答案】AD【详解】由题设，易得是边长为2的正方形，且，，又是的中点，则且，故为平行四边形，所以，面，面，则平面，A对；由上分析知，面即为面，显然直线与面相交，B错；由，若，即，令，则，，而，则，即，显然无解，C错；由，面，面，则平面，又在线段上，故到面距离为定值，且的面积为定值，所以三棱锥的体积不变，D对；故选AD7．【答案】③④【详解】对于①，如图所示：满足直线上有无数个点不在平面内，此时直线与平面相交，故①错误；对②，若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点，即直线与平面内的直线平行或异面，故②错误；对③，若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，若在平面内存在直线，使得，又因为，，由线面平行的判定定理可得，与已知条件矛盾，故③正确；对④，若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点，故④正确.8．【答案】（1）（2）（4）（5）【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平行，而这些面都是平行四边形，所以（1）和（2）正确；因为水面所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形的面积是变化的，（3）错误；因为棱始终与平行，与水面始终平行，所以（4）正确；因为水的体积是不变的，高始终是也不变，所以底面积也不会变，即是定值，所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确.9．【答案】①③④【详解】①当点是中点时，则是中点，易知，又面，面，故直线平面，对；②由题设，易知，面，面，故面，所以直线到平面的距离，即点到平面的距离，由，，，故到距离为，则，所以，可得，错；

③令点到的距离，则，对；④由题设，易得，且，，所以，，在中，由，显然时，能成立，故存在点使得，对.10．【答案】【详解】分别取的中点，连接，，在正方体中，，，四边形是平行四边形，，，又平面，平面，平面，同理平面，又，平面，平面，平面平面，平面内的任意一条直线都与平面平行，则满足条件直线平面的点可以是的任何一个，点F的个数是个.11．【答案】（1）AH∶HD＝3∶1.（2）见详解【详解】（1）∵，，又平面ACD，平面ACD，平面ACD，∵平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，，又，，∴，即：（2）∵，且，，∴，∴四边形EFGH为梯形，设，则，而平面ABD，，平面BCD，平面平面BCD＝BD，∴，∴EH，FG，BD三线共点．12．【答案】（1）见详解（2）见详解（3）存在，．【详解】（1）证明：如图1，连接．因为分别是线段的中点，