2026年高等数学拓扑学基础检测试题冲刺卷

2026年高等数学拓扑学基础检测试题冲刺卷考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________试卷名称：2026年高等数学拓扑学基础检测试题冲刺卷考核对象：高等院校数学、物理、计算机等相关专业本科二年级学生题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.拓扑空间中的开集运算满足交换律。2.连通空间不能被分解为两个非空开集的并集。3.拓扑等价关系是等价类上的分离关系。4.紧致空间一定是可数紧致空间。5.拓扑空间中，任意闭集的补集是开集。6.同胚映射是保持拓扑结构的双射。7.拓扑空间中，单点集一定是闭集。8.豪斯多夫空间中，任意两点存在不相交的邻域。9.拓扑空间的子空间一定是拓扑空间。10.连续映射的像一定是开集当且仅当映射是开映射。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个不是拓扑空间的公理？A.单点集是闭集B.空集和全集是开集C.任意开集的并集是开集D.任意开集的交集是开集2.下列哪个空间是紧致的？A.自然数集B.实数集C.有理数集D.开区间(0,1)3.下列哪个映射是连续的？A.f:ℝ→ℝ,f(x)=1/xB.f:ℝ→ℝ,f(x)=x²C.f:ℝ→ℝ,f(x)=sin(x)D.f:ℝ→ℝ,f(x)=log(x)4.下列哪个空间是连通的？A.{(x,y)∈ℝ²|x²+y²=1}B.{(x,y)∈ℝ²|x²+y²<1}C.ℝ²\{(0,0)}D.{(x,y)∈ℝ²|x=0}5.下列哪个映射是同胚的？A.f:ℝ→(0,1),f(x)=1/(1+x²)B.f:ℝ→ℝ,f(x)=x³C.f:ℝ→ℝ,f(x)=2x+1D.f:ℝ→ℝ,f(x)=e^x6.下列哪个空间是豪斯多夫空间？A.拓扑整数空间B.indiscretetopologyC.trivialtopologyD.standardtopologyonℝ7.下列哪个是紧致空间的性质？A.可数开覆盖必有有限子覆盖B.任意开覆盖必有无限子覆盖C.任意闭覆盖必有无限子覆盖D.任意点列必有收敛子列8.下列哪个是连通空间的性质？A.可分解为两个非空开集的并集B.不可分解为两个非空开集的并集C.任意点集可连通D.任意闭集可连通9.下列哪个是同胚映射的性质？A.保持开集B.保持闭集C.保持紧致性D.以上都是10.下列哪个是开映射的性质？A.任意开集的像是开集B.任意闭集的像是闭集C.任意紧致集的像是紧致集D.任意连通集的像是连通集三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些是拓扑空间的性质？A.单点集是闭集B.空集和全集是开集C.任意开集的并集是开集D.任意开集的交集是开集E.任意闭集的补集是开集2.下列哪些是紧致空间的性质？A.可数开覆盖必有有限子覆盖B.任意开覆盖必有有限子覆盖C.任意闭覆盖必有有限子覆盖D.任意点列必有收敛子列E.同胚像仍是紧致空间3.下列哪些是连通空间的性质？A.不可分解为两个非空开集的并集B.任意开覆盖不能分解为两个非空开集的并集C.单点集是连通的D.连通集的子集仍是连通的E.连通集的同胚像仍是连通的4.下列哪些是同胚映射的性质？A.保持开集B.保持闭集C.保持紧致性D.保持连通性E.双射且连续且逆映射连续5.下列哪些是开映射的性质？A.任意开集的像是开集B.任意闭集的像是闭集C.任意紧致集的像是紧致集D.任意连通集的像是连通集E.双射且连续且逆映射连续6.下列哪些是豪斯多夫空间（T2空间）的性质？A.任意两点存在不相交的邻域B.任意收敛序列的极限唯一C.任意闭集可分离为不相交的紧致集D.任意开覆盖必有有限子覆盖E.同胚像仍是豪斯多夫空间7.下列哪些是紧致空间的子空间的性质？A.闭子空间仍是紧致空间B.开子空间仍是紧致空间C.任意子覆盖必有有限子覆盖D.任意点列在子空间中必有收敛子列E.同胚像仍是紧致空间8.下列哪些是连通空间的子空间的性质？A.闭子空间仍是连通的B.开子空间仍是连通的C.任意子覆盖不能分解为两个非空开集的并集D.任意点集在子空间中仍是连通的E.同胚像仍是连通的9.下列哪些是同胚映射的例子？A.f:ℝ→(0,1),f(x)=1/(1+x²)B.f:ℝ→ℝ,f(x)=x³C.f:ℝ→ℝ,f(x)=2x+1D.f:ℝ→ℝ,f(x)=e^xE.f:ℝ→ℝ,f(x)=|x|10.下列哪些是开映射的例子？A.f:ℝ→(0,1),f(x)=1/(1+x²)B.f:ℝ→ℝ,f(x)=x³C.f:ℝ→ℝ,f(x)=2x+1D.f:ℝ→ℝ,f(x)=e^xE.f:ℝ→ℝ,f(x)=|x|四、案例分析（每题6分，共18分）1.设X为实数集ℝ，拓扑T由以下开集组成：∅,ℝ,(a,b)（a,b∈ℝ且a<b）,(a,∞),(-∞,b)。证明X(T)是连通的。2.设X为集合{a,b,c}，拓扑T={∅,{a},{a,b},{a,b,c}}。证明X(T)是紧致的。3.设X为集合{a,b,c}，拓扑T={∅,{a},{a,b,c}}。证明X(T)不是豪斯多夫空间。五、论述题（每题11分，共22分）1.证明紧致空间的闭子空间仍是紧致空间。2.证明连通空间的子空间仍是连通空间。---标准答案及解析一、判断题1.错误。开集运算不满足交换律，例如在ℝ上，(0,1)∪(1,2)≠(1,2)∪(0,1)。2.错误。连通空间可以分解为两个非空开集的并集，但只有不可分解的才是连通的。3.错误。拓扑等价关系是等价类上的双射，不是分离关系。4.错误。紧致空间不一定是可数紧致空间，例如ℝ（标准拓扑）是紧致但不可数紧致。5.正确。拓扑空间中，闭集的补集定义为开集。6.正确。同胚映射是保持拓扑结构的双射。7.正确。单点集的补集是空集，空集是开集。8.正确。豪斯多夫空间中，任意两点存在不相交的邻域。9.正确。拓扑空间的子空间继承原拓扑空间的拓扑性质。10.错误。连续映射的像不一定是开集，例如f(x)=x³在ℝ上连续但像不是开集。二、单选题1.A.单点集是闭集不是拓扑空间的公理，而是拓扑空间的性质。2.A.自然数集是紧致的，因为任何开覆盖必有有限子覆盖。3.B.f(x)=x²是连续的，因为平方函数在ℝ上连续。4.B.{(x,y)∈ℝ²|x²+y²<1}是连通的，因为它是闭区间在平面上的扩展。5.B.f(x)=x³是同胚的，因为它是双射且连续且逆映射f⁻¹(x)=∛x也连续。6.D.standardtopologyonℝ是豪斯多夫空间，因为任意两点存在不相交的邻域。7.A.紧致空间的性质是可数开覆盖必有有限子覆盖。8.B.连通空间的性质是不可分解为两个非空开集的并集。9.D.同胚映射保持开集、闭集和紧致性。10.A.开映射的性质是任意开集的像是开集。三、多选题1.A,B,C,D.拓扑空间的公理包括单点集是闭集、空集和全集是开集、任意开集的并集和交集是开集。2.A,B,E.紧致空间的性质包括可数开覆盖必有有限子覆盖、同胚像仍是紧致空间。3.A,B,E.连通空间的性质包括不可分解为两个非空开集的并集、同胚像仍是连通的。4.A,B,C,D,E.同胚映射的性质包括保持开集、闭集、紧致性、连通性，且是双射且连续且逆映射连续。5.A,C,E.开映射的性质包括任意开集的像是开集、任意紧致集的像是紧致集、同胚像仍是开映射。6.A,B,E.豪斯多夫空间（T2空间）的性质包括任意两点存在不相交的邻域、任意收敛序列的极限唯一、同胚像仍是豪斯多夫空间。7.A,C,E.紧致空间的子空间的性质包括闭子空间仍是紧致空间、任意子覆盖必有有限子覆盖、同胚像仍是紧致空间。8.A,C,E.连通空间的子空间的性质包括闭子空间仍是连通的、任意子覆盖不能分解为两个非空开集的并集、同胚像仍是连通的。9.B,E.f(x)=x³和f(x)=|x|是同胚映射，因为它们是双射且连续且逆映射连续。10.A,E.f(x)=1/(1+x²)和f(x)=|x|是开映射，因为它们将开集映射为开集。四、案例分析1.证明X(T)是连通的：假设X(T)可分解为两个非空开集U,V的并集，且U∩V=∅。由于U,V非空，存在a∈U,b∈V且a<b。考虑开集(a,∞)∈T，因为a∈U且U是开集，所以(a,∞)⊆U。同理(b,∞)⊆V。但(a,∞)∩(b,∞)=∅，矛盾。因此X(T)不可分解为两个非空开集的并集，是连通的。2.证明X(T)是紧致的：任意开覆盖{Uᵢ}覆盖X，因为U={a}和U={a,b,c}都是开集，所以存在Uᵢ包含{a}，Uᵢ包含{b,c}。因此有限子覆盖为{U={a},U={a,b,c}}，X(T)是紧致的。3.证明X(T)不是豪斯多夫空间：考虑a,b∈X，取U={a},V={b}，U,V都是开集且U∩V=∅。但不存在不相交的邻域，因为任何包含a的邻域都包含b，反之亦然。因此X(T)不是豪斯多夫空间。五、论述题1.证明紧致空间的闭子空间仍是紧致空间：设X是紧致空间，A是X的闭子空间，{Vᵢ}是A的开覆盖。因为A是闭集，所以X\A是开集，且{Vᵢ}∪{X\A}是X的开覆盖。因为X是紧致空间，存在有限子覆盖{V<0xE2><0x82><0x99>,...,V<0xE2><0x82><0x9F>}覆盖X。若V<0xE2><0x82><0x9F>包含A，则{V<0xE2><0x8