2025年线性代数密码学应用能力评估试卷

2025年线性代数密码学应用能力评估试卷考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：2025年线性代数密码学应用能力评估试卷考核对象：计算机科学、信息安全、数据科学等相关专业学生及从业者题型分值分布：-判断题（总共10题，每题2分）总分20分-单选题（总共10题，每题2分）总分20分-多选题（总共10题，每题2分）总分20分-案例分析（总共3题，每题6分）总分18分-论述题（总共2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.矩阵的秩等于其非零子式的最高阶数。2.在密码学中，Hill密码是一种基于矩阵乘法的古典密码体制。3.任何方阵都可对角化当且仅当其特征值互不相同。4.AES加密算法中，密钥扩展过程使用了S盒替换操作。5.线性方程组Ax=b有解的充要条件是矩阵A的秩等于增广矩阵的秩。6.在RSA公钥密码中，模数n必须为两个不同质数的乘积。7.奇数阶实矩阵一定有实特征值。8.量子密码学中，EPR佯谬描述了量子纠缠的非定域性。9.离散对数问题（DLP）是ElGamal密码体制的数学基础。10.在线性密码分析中，已知密文和部分明文可恢复密钥。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个不是矩阵特征值的基本性质？A.特征值之和等于矩阵迹B.特征值之积等于矩阵行列式C.特征值可以是复数D.特征值对应的特征向量必正交2.在Hill密码中，使用3×3矩阵加密时，明文分组长度为？A.3个字符B.4个字符C.5个字符D.任意长度3.AES-256的密钥长度为？A.128位B.192位C.256位D.320位4.矩阵A=([[1,2],[3,4]])的特征值为？A.5,-2B.6,-3C.4,1D.7,-45.下列哪个密码体制基于大整数分解难题？A.DESB.BlowfishC.RSAD.IDEA6.线性回归中，最小二乘法的目标是最小化？A.系数平方和B.残差平方和C.误差绝对值和D.系数绝对值和7.量子密钥分发（QKD）利用了量子力学的哪个原理？A.波粒二象性B.不可克隆定理C.算术基本定理D.拉格朗日中值定理8.在矩阵乘法中，(AB)T=BTAT，其中T表示转置。A.正确B.错误9.下列哪个不是RSA密钥生成步骤？A.选择两个大质数p和qB.计算n=pqC.计算φ(n)=(p-1)(q-1)D.随机选择e，要求gcd(e,φ(n))=110.Hill密码的密钥空间大小与矩阵阶数n的？A.线性相关B.指数相关C.对数相关D.不相关三、多选题（每题2分，共20分）1.矩阵可逆的充要条件包括？A.行列式不为零B.秩等于阶数C.特征值非零D.存在逆矩阵2.AES加密模式包括？A.ECBB.CBCC.CTRD.GCM3.下列哪些密码体制属于对称加密？A.RSAB.DESC.AESD.ECC4.线性方程组Ax=b无解的条件是？A.A为奇异矩阵B.r(A)≠r(AB)C.b不在A的列空间D.增广矩阵有矛盾方程5.量子密码学的优势包括？A.不可窃听性B.安全性无条件保障C.传输距离有限D.可抵抗侧信道攻击6.矩阵特征向量的性质包括？A.非零向量B.与特征值唯一对应C.满足Av=λvD.可正交7.RSA加密过程中，加密和解密公式为？A.C≡M^emodnB.M≡C^dmodnC.gcd(e,d)=1D.n=pq8.线性密码分析攻击的假设条件包括？A.已知部分明文和密文B.密钥空间较小C.密文有重复模式D.密钥未随机化9.下列哪些操作属于AES轮函数？A.SubBytesB.ShiftRowsC.MixColumnsD.AddRoundKey10.Hill密码的局限性包括？A.对明文分组长度敏感B.易受频率分析攻击C.密钥空间较小D.对称加密效率低四、案例分析（每题6分，共18分）案例1：RSA密钥生成与加密假设选择质数p=61,q=53，计算RSA公钥和私钥，并用公钥加密明文M=42。案例2：AES密钥扩展给定AES-128密钥K=([[02,03,01,01],[01,01,02,03],[03,02,01,01],[01,03,02,01]])，描述密钥扩展过程中S盒替换的步骤。案例3：线性密码分析已知Hill密码使用2×2矩阵密钥K=([[3,1],[1,2]])，密文C=([[14,20],[31,35]])，尝试恢复明文M。---五、论述题（每题11分，共22分）1.论述矩阵特征值在密码学中的应用，并举例说明。2.比较RSA与AES在安全性、效率和应用场景上的差异。---标准答案及解析一、判断题1.√2.√3.×（特征值相同可能不可对角化）4.×（S盒在轮函数中，密钥扩展仅涉及异或）5.√6.√7.×（实矩阵可能有复特征值）8.√9.√10.×（线性密码分析需更多信息）二、单选题1.D（特征向量不必正交）2.A3.C4.A（det(A)=5-6=-1,λ^2-5λ+4=0）5.C6.B7.B8.A9.D（e需与φ(n)互质）10.B（n阶矩阵密钥空间为n^4）三、多选题1.A,B,D2.A,B,C,D3.B,C4.B,C,D5.A,C,D6.A,B,C7.A,B,C,D8.A,B,C9.A,B,C,D10.A,B,C四、案例分析案例1p=61,q=53,n=61×53=3233,φ(n)=60×52=3120选择e=17（gcd(17,3120)=1）,d=2753（17×2753=46801≡1mod3120）加密：C≡42^17mod3233=1360解密：M≡1360^2753mod3233=42案例2AES-128密钥扩展：初始密钥K0=K,K1=K0⊕S(K0[0]),K2=K1⊕S(K1[0])...S盒替换：将每个字节按预定表替换（如02→04,03→06等）案例3解密：M=C×K^-1mod26K^-1=([[5,-1],[-1,3]])mod26M=([[14,20],[31,35]])×([[5,-1],[-1,3]])mod26=([[4,8],[15,19]])五、论述题1.矩阵特征值在密码学中的应用-RSA：特征值用于计算φ