2026年高考数学专题专练专题03 导数与函数极值、单调性与及其综合应用（原卷版）

专题03导数与函数极值、单调性与及其综合应用

目录

第一部分考向速递洞察考向，感知前沿

第二部分题型归纳梳理题型，突破重难

题型01利用导数研究函数单调性

题型02利用导数研究函数极值

题型03利用导数研究函数最值

题型04利用导数解决实际问题

题型05导数综合应用

第三部分分层突破固本培优，精准提分

A组·基础保分练

B组·重难提升练

1.已知函数yfx与它的导函数yfx的定义域均为R.若函数yfx是偶函数且yfx在

,0上是严格增函数，则下列各表中，可能成为yfx取值的是（）

．

A44.1116

B．

xfx

C．

xfx

12.8188

xfxD．

10.7580

21.0000

12.4132xfx

21.0000

30.3644

21.000010.8664

31.3188

40.2468

31.588521.0000

41.7979

31.1188

41.2240

2.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，

比例常数为kk0.现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b，它们连线

段上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设ACxkm0x18.若a1，且

x6时，y取得最小值，则b的值为.

3．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的

木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x，与承载重力的方向平行的高度为y，

1

记矩形截面抵抗矩Wxy2．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x与高y的最

6

佳之比应为．

4．正方形区域由9块单位正方形区域拼成，记正中间的单位正方形区域为D．对于边界上

的一点P，若点Q在中且线段PQ与D有公共点，则称Q是P的“盲点”，将P的所有“盲点”组成的区域

P称为P所对的“盲区”．对于边界上的一点M，若在边界上含M在内一共有k个点所对的“盲区”面

积与M相同，就称M是“k级点”；若在边界上有无数个点所对的“盲区”面积与M相同，就称M是一个

“极点”．对于命题：①边界正方形的顶点是“4级点”；②边界上存在“极点”．说法正确的是（）

A．①和②都是真命题B．①是真命题，②是假命题

C．①是假命题，②是真命题D．①和②都是假命题

5．给出定义：设fx是函数yfx的导函数，fx是函数yfx的导函数，若方程

fx0有实数解xx0，则称x0,fx0为函数yfx的“拐点”．经研究发现所有的三次函数

fxax3bx2cxda0都有“拐点”，且该“拐点”也是函数yfx的图象的对称中心．若函数

3212340424043

fxx3x，则fffff的和为（）

20222022202220222022

A．8088B．8086C．8084D．8080

01利用导数研究函数单调性

1．函数yxlnx的单调减区间为．

1

2．若fxx3x2axb在1,上单调递增，则a的取值范围是．

3

a

3．已知a为常数，函数fxx2x0．

x

(1)根据a的不同取值，讨论函数yfx的奇偶性，并说明理由；

(2)若a1,3，判断函数yfx在0,上的单调性，并求它的单调区间．

4．设f(x)exx.

(1)求函数f(x)的极小值点.

2

(2)若函数g(x)f(2xa)满足g(0)2，求a的值.

e2

(3)求函数h(x)xf(x)f(x)的单调区间.

5．已知kR，函数fxkxsinx．

1ππ

(1)若k，求曲线yfx在点,f处的切线方程；

222

(2)若函数yfx在区间π,π上是严格减函数，求实数k的最大值：

fx,xx,

nnn1

(3)设k1，数列xn满足：x11，x26，且当n2时，xn1若xnm对一切正

fxn,xnxn1

22

整数n成立，求实数m的取值范围．

02利用导数研究函数极值

2x2

1．函数fx的极大值为.

ex

2．已知函数fx的导函数fx的图象如图所示，则函数fx的极值点的个数有个

3．已知fxsinx0，且函数yfx恰有两个极大值点在0,，则的取值范围是（）

63

A．7,13B．7,13C．7,10D．7,10

4．已知函数f(x)exax2在R上无极值，则a的取值范围是.

x2ax,x1

5．已知f(x)，若函数yf(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是．

ax1,x1

03利用导数研究函数最值

ex,x0

．已知函数的值域为，则实数a的取值范围为．

1fx3R

x3xa,x0

2．已知正四棱锥的侧棱长为33，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于.

3．已知函数fxlnxax2在区间1,2上存在最大值，则实数a的取值范围为.

4．已知实数a(0,6)，记f(x)x(xa)．若函数yf(x)在区间0,2上的最小值为2，则a的值

为．

x2fxfx0xx0

5.设函数fxae2x，若对任意x00,1，皆有lim0成立，则实数a的取值范

xx

0xx0

围是.

04利用导数解决实际问题

1．某分公司经销一产品，每件产品的成本为5元，且每件产品需向总公司交2元的管理费，预计每件产品

的售价为x元（8x11）时，一年的销售量为（12x）2万件，则每件产品售价为元时，该分公司一

年的利润达到最大值.（结果精确到1元）

2．如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C且直径MN平行坝面.坝面上点A满足

ACMN，且AC长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A到小岛修建三段栈道AB、BD与BE，

在半圆小岛上再修建栈道ME、DN以及MN，水面上的点B在线段AC上，且BD、BE均与圆C相切，切

点分别为D、E，其中栈道AB、BD、BE和小岛在同一个平面上.设CBE，则需要修建的栈道总长度

的最小值为百米.

3．如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架OABC和覆盖在支架上的遮阳

布ABC组成.

已知OA1.4m，OBOC0.6m，且AOBAOC；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处BC1m；

若希望遮阳效果最好（即ABC的面积最大），则BOC的大小约为.（结果四舍五入精确到1）

4．如图，某城市公园内有一矩形空地ABCD，AB300m，AD180m，现规划在边AB，CD，DA上分别

取点E，F，G，且满足AEEF，FGGA，在△EAG内建造喷泉瀑布，在EFG内种植花奔，其余区域

铺设草坪，并修建栈道EG作为观光路线（不考虑宽度），则当sinAEG时，栈道EG最短.

05导数综合应用

1312

1．已知a2b0，且关于x的函数fxxaxabx．

32

1

(1)已知函数gxfxx3，且满足g2xgx，解不等式gx0；

3

(2)若ab，b为单位向量，讨论函数的单调性；

1312

(3)若函数fxxaxabx在R上有极值，求a与b夹角的取值范围．

32

2．若函数fx和gx的图象均连续不断，fx和gx均在任意的区间上不恒为0，fx的定义域为

I1,gx的定义域为I2，存在非空区间AI1I2，满足：对任意的xA，均有fxgx0，则称区间

A为fx和gx的“区间”．

(1)写出fxsinx和gxcosx在0,π上的一个“区间”（无需证明）；

(2)若fxx3,1,1是fx和gx的“区间”，证明：gx不是偶函数；

πlnx

若fx1xsin2x,x(0,1]，(0,1]是fx和gx的区间，证明：gx在区间(0,1]上存在零

(3)x“”

ee

点．

3．进入冬季，某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为p0p1，且每人是否感染这种病毒相互独立．

(1)记100个人中恰有5人感染病毒的概率是fp，求fp的最大值点p0；

(2)为确保校园安全，某校组织该校的6000名师生做病毒检测，如果对每一名师生逐一检测，就需要检测

6000次，但实际上在检测时都是按k(1k6)人一组分组，然后将各组k个人的检测样本混合再检测．如

果混合样本呈阴性，说明这k个人全部阴性；如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就

需要对该组每个人再逐一检测一次．当p取p0时，求k的值，使得总检测次数的期望最少．

4．某科技公司为确定下一年度投入某种产品的研发费，需了解年研发费x（单位：万元）对年销售量y（单

位：百件）和年利润（单位：万元）的影响，现对近6年的年研发费xi和年销售量yi（i1，2，…，6）

数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

62626266

xyμxixyiyixixyiyiyiy

i1i1i1i1i1

12.52223.5157.5168004.51254270

16

表中ilnxi，i.

6i1

(1)根据散点图判断yabx与ycdlnx哪一个更适宜作为年研发费x的回归方程类型；（给出判断即可，

不必说明理由）

(2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知这种产品的年利润z0.5yx，根据（2）的结果，当年研发费为多少时，年利润z的预报值最大？

附：对于一组数据w1,v1，w2,v2，…，wn,vn，其回归直线vw的斜率和截距的最小二乘法估计

n

wiwviv

分别为i1，.

n2vw

wiw

i1

1．若xe是函数yxalnx的驻点，则实数a的值为.

2．函数yexcosx在0,π上的极大值点为.

fx

3．函数f(x)的图像如图所示，设f(x)的导函数为fx，则0的解集为.

f(x)

1

4．若函数fxlnxax22x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是.

2

5．若函数fxexax在区间0,1上有极值点，则实数a的取值范围是.

6．函数ysin2x2sinx的最大值为．

7．设函数yfx的定义域是R，它的导数是fx．若存在常数m(mR)，使得fxmfx对一切

x恒成立，那么称函数yfx具有性质Pm．

(1)求证：函数yex不具有性质Pm；

(2)判别函数ysinx是否具有性质Pm．若具有求出m的取值集合；若不具有请说明理由．

8．设函数f(x)的定义域为R,x0x00是f(x)的极大值点，则（）

A．x0是f(x)的极小值点B．x0是f(x)的极大值点

C．x0是f(x)的极小值点D．x0是fx的极大值点

1

9．已知函数yx3x23xa，aR，在区间(t3,t5)上有最大值，则实数t的取值范围是（）

3

A．6t0B．6t0

C．6t2D．6t2

1

10．定义在R上的奇函数fx，满足fxfx0，f21，则不等式fx1的解集

ex1

为．

11．已知x0是函数fxx2xa的极大值点，那么a的取值范围是.

23

12．函数fxklnxx3x在区间0,上存在极值，则实数k的取值范围是.

2

13．已知函数fxmx32nx212x的单调减区间是2,2，过点A1,t存在与曲线yfx相切的3条

切线，则实数t的取值范围为

14．已知函数fxx³3xa，若存在三个互不相等的实数m,n,p，使得fmfnfp2024，

则实数a的取值范围是

x1

15．已知k为常数，若关于x的不等式(xk)2ek对任意的x(0,)都成立，则实数k的取值范围

e

为.

16．如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段CE,DF与分别以OC,OD为直径的半圆

弧组成）表示一条步道.其中的点C,D是线段AB上的动点，点O为线段AB,CD的中点，点E,F在以AB为

直径的半圆弧上，且OCE,ODF均为直角.若AB1百米，则此步道的最大长度为百米.

πB

17．已知ABC中，sinπA3sinCsin，且AB2，则ABC面积的最大值为.

22

3x2,x0

．已知函数，若（），则的最大值为

18fx2xfx1fx2x1x2x1x2.

e,x0

19．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，且容器底面的长边比短边长0.5m（不计损耗）．若

要使该容器的容积最大，则容器的高为m．

20．已知aR，函数f(x)exax，g(x)axlnx．

(1)当ae时，若斜率为0的直线l是g(x)的一条切线，求切点的坐标；

(2)若f(x)与g(x)有相同的最小值，求实数a．

21．已知函数f(x)x3ax2bxc过点P(1,2)，函数在点P处的切线斜率为4，且x=1为函数的一个驻

点.

(1)求函数yf(x)的解析式；

(2)求函数yf(x)的单调区间；

(3)若函数g(x)f(x)m1有三个零点，求m的取值范围.

22．已知函数yfx是定义在0,上的函数，若fx满足对任意的x0,y0，有

fxfyfx