2025年高三数学数学运算素养期末试卷

2025年高三数学数学运算素养期末试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高三年级

2025年高三数学数学运算素养期末试卷

一、选择题

1.函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在区间(1,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(1,2)

2.若复数z满足z^2+2z+4=0，则|z|的值为

A.2

B.√2

C.4

D.1

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_3=8，则S_6的值为

A.60

B.72

C.84

D.96

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则cosA的值为

A.3/5

B.4/5

C.5/3

D.1

5.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，则其最小正周期为

A.π

B.2π

C.π/2

D.π/4

6.设函数g(x)=x^3-ax^2+bx-1，若g(1)=0且g'(1)=0，则a+b的值为

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知圆O的方程为x^2+y^2=9，直线l的方程为y=kx+3，则直线l与圆O有交点的充要条件是

A.k<3/2

B.k>-3/2

C.k≤3/2

D.k≥-3/2

8.已知向量m=(1,2)，向量n=(3,-4)，则向量m与向量n的夹角θ的余弦值为

A.-5/10

B.5/10

C.-7/10

D.7/10

9.已知函数h(x)=e^x-x，则其在区间(0,1)上的最大值是

A.e

B.e-1

C.1

D.0

10.已知某校高三学生身高服从正态分布N(170,σ^2)，且身高在165cm以下的概率为0.2，则身高在175cm以上的概率约为

A.0.2

B.0.3

C.0.4

D.0.5

二、填空题

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=4，f(3)=5，则a+b+c的值为

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，A=30°，则c的值为

3.已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，若b_1=1，q=2，则T_4的值为

4.已知函数g(x)=cos(2x-π/4)，则其图像关于y轴对称的函数解析式为

5.已知向量p=(1,k)，向量q=(k,1)，若向量p与向量q垂直，则k的值为

6.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则圆C的圆心到直线3x-4y-5=0的距离为

7.已知函数f(x)=log_2(x+1)，则其反函数f^-1(x)的解析式为

8.已知某校高三学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布N(80,16)，则成绩在60分以下的学生概率约为

9.已知函数h(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，则其在区间[0,π]上的最大值为

10.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，则其在区间[-1,3]上的最大值为

三、多选题

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上是增函数的是

A.y=x^3

B.y=-2x+1

C.y=log_3(x)

D.y=e^(-x)

2.已知向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，下列向量中与向量a+b平行的向量是

A.(3,1)

B.(4,-2)

C.(-2,-4)

D.(1,1/2)

3.下列命题中，真命题是

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则log_a(x)>log_b(x)

C.若a>b，则a^3>b^3

D.若a>b，则1/a<1/b

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，下列直线中与圆C相切的直线是

A.x=1

B.y=2

C.x-y=1

D.2x-y=4

5.下列函数中，周期为π的是

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(x)

D.y=sin(x)+cos(x)

四、判断题

1.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上是增函数。

2.若复数z满足z^2=-1，则z一定是纯虚数。

3.在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则a_5=1。

4.在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则角A一定是直角。

5.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π。

6.若函数g(x)=x^3-ax^2+bx-1在x=1处取得极值，则a+b=3。

7.已知圆O的方程为x^2+y^2=4，直线l的方程为x+y=1，则直线l与圆O有交点。

8.向量m=(1,2)，向量n=(3,4)，则向量m与向量n的夹角是锐角。

9.函数h(x)=e^x-x在区间(0,+∞)上存在唯一零点。

10.若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。

五、问答题

1.已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求函数f(x)在区间[-1,3]上的单调区间。

2.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，直线l的方程为y=kx，求直线l与圆C相切时k的值。

3.已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若a_1=2，a_5=14，求等差数列{a_n}的通项公式。

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.C

解析：函数f(x)=log_a(x^2-2x+3)在区间(1,+∞)上是增函数，需要a>1，且x^2-2x+3在区间(1,+∞)上是增函数。x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在区间(1,+∞)上是增函数。因此a>1，故选C。

2.A

解析：由z^2+2z+4=0，得(z+1)^2+3=0，则z+1=±√3i，z=-1±√3i，|z|=√((-1)^2+(√3)^2)=2，故选A。

3.B

解析：等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a_1=2，a_3=8，则2a_2=a_1+a_3=10，a_2=5，d=a_3-a_2=3。S_6=6a_1+15d=6×2+15×3=72，故选B。

4.B

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=3，b=4，c=5，则△ABC是直角三角形，∠C=90°。cosA=b/c=4/5，故选B。

5.A

解析：函数f(x)=sin(2x+π/3)，其最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π，故选A。

6.C

解析：函数g(x)=x^3-ax^2+bx-1，若g(1)=0且g'(1)=0，则1-a+b-1=0，3-2a+b=0。解得a=3，b=-1。a+b=3-1=2，故选C。

7.C

解析：圆O的方程为x^2+y^2=9，直线l的方程为y=kx+3。直线l与圆O有交点的充要条件是圆心(0,0)到直线l的距离d≤3。d=|3|/√(1+k^2)≤3，k^2≥1，k≤-1或k≥1。故选C。

8.D

解析：向量m=(1,2)，向量n=(3,-4)，向量m与向量n的夹角θ的余弦值为cosθ=(m·n)/(|m||n|)=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2))=-5/10=-1/2。故选D。

9.B

解析：函数h(x)=e^x-x，h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。当x∈(0,1)时，h'(x)>0，函数h(x)在区间(0,1)上单调递增。h(0)=1，h(1)=e-1。故函数h(x)在区间(0,1)上的最大值是e-1，故选B。

10.A

解析：已知某校高三学生身高服从正态分布N(170,σ^2)，且身高在165cm以下的概率为0.2，则身高在175cm以上的概率约为0.2。故选A。

二、填空题答案及解析

1.6

解析：函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(2)=4，f(3)=5，则a+b+c=f(1)=3，故填6。

2.2

解析：在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，A=30°，则由正弦定理得c=b*sinA/a=√3*sin30°/2=√3*1/2/2=2/2=2，故填2。

3.15

解析：已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，若b_1=1，q=2，则T_4=b_1*(q^4-1)/(q-1)=1*(2^4-1)/(2-1)=15，故填15。

4.y=cos(2x+π/4)

解析：函数g(x)=cos(2x-π/4)，其图像关于y轴对称的函数解析式为g(-x)=cos(-2x-π/4)=cos(2x+π/4)，故填y=cos(2x+π/4)。

5.-1

解析：向量p=(1,k)，向量q=(k,1)，若向量p与向量q垂直，则p·q=1×k+k×1=2k=0，k=-1，故填-1。

6.√5

解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，圆心为(1,-2)，半径为2。圆心到直线3x-4y-5=0的距离为d=|3×1-4×(-2)-5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8-5|/5=6/5=√5，故填√5。

7.f^-1(x)=2^x-1

解析：函数f(x)=log_2(x+1)，其反函数f^-1(x)的解析式为y=2^x-1，故填f^-1(x)=2^x-1。

8.0.0228

解析：已知某校高三学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布N(80,16)，则成绩在60分以下的学生概率约为P(Z<(60-80)/4)=P(Z<-5)≈0.0228，故填0.0228。

9.√3+1

解析：函数h(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，化简得h(x)=√3/2*sinx+1/2*sinx+1/2*cosx-√3/2*cosx=√3/2*sinx-√3/2*cosx+1/2*cosx+1/2*sinx=√3/2*(sinx-cosx)+1/2*(cosx+sinx)=√3/2*sin(x-π/6)+1/2*sin(x+π/6)。在区间[0,π]上，sin(x+π/6)的最大值为1，sin(x-π/6)的最大值为1/2。故函数h(x)在区间[0,π]上的最大值为√3/2*1/2+1/2*1=√3/4+1/2=√3/4+2/4=(√3+2)/4=√3+1，故填√3+1。

10.2

解析：函数f(x)=x^3-3x^2+2，f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-1)=-2，f(0)=2，f(2)=0，f(3)=2。故函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值为2，故填2。

三、多选题答案及解析

1.A,C

解析：函数y=x^3在区间(0,+∞)上是增函数。函数y=log_3(x)在区间(0,+∞)上是增函数。函数y=-2x+1在区间(0,+∞)上是减函数。函数y=e^(-x)=1/e^x在区间(0,+∞)上是减函数。故选A,C。

2.B,C

解析：向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)，向量a+b=(3,1)。向量(4,-2)与向量a+b的比值为4/3≠k，故不平行。向量(-2,-4)与向量a+b的比值为-2/3=-k，故平行。向量(1,1/2)与向量a+b的比值为1/3≠k，故不平行。故选B,C。

3.C,D

解析：若a>b，则a^3>b^3，故C是真命题。若a>b，则1/a<1/b，故D是真命题。若a=1，b=-1，则a>b，但a^2=1，b^2=1，a^2≤b^2，故A是假命题。若a=1，b=-1，则a>b，但log_a(x)在x>0时无意义，log_b(x)在x>0时无意义，故B是假命题。故选C,D。

4.C,D

解析：圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9，圆心为(1,2)，半径为3。直线x=1与圆心(1,2)的距离为1<3，故相交。直线y=2与圆心(1,2)的距离为0<3，故相交。直线x-y=1即x-y-1=0，圆心到直线的距离为|1-2-1|/√(1^2+(-1)^2)=|-2|/√2=√2=3，故相切。直线2x-y=4即2x-y-4=0，圆心到直线的距离为|2×1-2-4|/√(2^2+(-1)^2)=|-4|/√5=4/√5<3，故相交。故选C,D。

5.A,C

解析：函数y=sin(2x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。函数y=cos(x/2)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/(1/2)=4π。函数y=tan(x)的最小正周期T=π。函数y=sin(x)+cos(x)的最小正周期T=min{2π,2π}=2π。故选A,C。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：函数f(x)=|x-1|在区间[0,1]上是减函数，在区间[1,2]上是增函数。故在区间[0,2]上不是增函数。故错误。

2.错误

解析：若复数z满足z^2=-1，则z=±i，纯虚数是实部为0的非零复数，±i是纯虚数。故正确。

3.错误

解析：在等差数列{a_n}中，若a_1=5，d=-2，则a_5=a_1+4d=5+4×(-2)=5-8=-3。故错误。

4.正确

解析：在△ABC中，若a^2=b^2+c^2，则由勾股定理的逆定理知，角A一定是直角。故正确。

5.正确

解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*sin(x+π/4)，其最小正周期T=2π/|ω|=2π/1=2π。故正确。

6.正确

解析：函数g(x)=x^3-ax^2+bx-1，若g(1)=0且g'(1)=0，则1-a+b-1=0，3-2a+b=0。解得a=3，b=-1。a+b=3-1=2。故正确。

7.正确

解析：已知圆O的方程为x^2+y^2=4，直线l的方程为x+y=1。圆心(0,0)到直线l的距离d=|0+0-1|/√(1^2+1^2)=1/√2<2。故直线l与圆O有交点。故正确。

8.错误

解析：向量m=(1,2)，向量n=(3,4)，向量m与向量n的夹角θ的余弦值为cosθ=(m·n)/(|m||n|)=(1×3+2×4)/(√(1^2+2^2)×√(3^2+4^2))=11/(√5×5)=11/5>1，计算错误，cosθ=11/5不在[-1,1]范围内，说明计算或理解错误。实际计算应为cosθ=(1×3+2×(-4))/(√(1^2+2^2)×√(3^2+(-4)^2))=-5/(√5×5)=-1。故θ=π，是直角。故原命题“锐角”错误。

9.正确

解析：函数h(x)=e^x-x，h'(x)=e^x-1。令h'(x)=0，得x=0。当x∈(-∞,0)时，h'(x)<0，函数h(x)在区间(-∞,0)上单调递减。当x∈(0,+∞)时，h'(x)>0，函数h(x)在区间(0,+∞)上单调递增。h(0)=1。故函数h(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点。故正确。

10.正确

解析：若事件A和事件B互斥，则A∩B=∅，P(A∩B)=0。根据概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P