广东省东莞市众美中学2025~2026学年高二上册12月检测数学试卷（含解析）

/众美中学2025-2026学年第一学期12月检测题高二数学一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑.1.若直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（

）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由直线的方向向量求出其斜率，进而求出倾斜角.【详解】由直线的一个方向向量为，得直线的斜率为1，所以直线的倾斜角为.故选：D2.如图，梯形中，，，点为空间内任意一点，设，，，则向量可用表示为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】利用向量加减和数乘运算直接求解即可.【详解】.故选：D.3.已知数列中，，则（）A.3 B. C. D.【正确答案】C【分析】由，得，利用递推公式得数列的周期，利用周期即可求解.【详解】由，得，又，所以，所以数列是以3为周期的数列，故.故选：C.4.已知F₁，F₂是双曲线C:的两个焦点，P为C上一点，且若的面积是则（）A. B. C. D.2【正确答案】A【分析】利用余弦定理及双曲线的定义求出，再由面积公式计算可得.【详解】根据双曲线定义得，所以，即①，由余弦定理可得：，即②，由②-①得：，即，所以，又的面积是所以，解得，故选：A5.设点，，若直线与线段没有交点，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】因为直线的斜率为，且直线过定点，所以将直线与线段没有交点时，求a的取值范围，转化为过的直线与线段没有交点时，求直线斜率的相反数问题，可得a的取值范围.【详解】直线过定点.如图，，直线与线段没有交点时，直线斜率满足，所以.故选：C.6.已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】C【分析】首先求得，又，而直径是4，所以分进行讨论即可求解.【详解】圆的圆心、半径分别为，圆心到直线的距离为，设直线被圆截得的弦长为，由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度，故分以下情形讨论：当时，，解得，当时，，化简得，解得，当时，，化简得，该方程无解，当时，，化简得，该方程无解，而直线是斜率为且过定点的直线，直线由唯一决定，综上所述，满足条件的直线共有3条.故选：C.7.椭圆的离心率为，则（）A.8 B.2或8 C.4或8 D.8或12【正确答案】B【分析】分焦点在轴与轴两种情况讨论，分别确定，，再由离心率公式得到方程，解得即可.【详解】当焦点在轴时，，则，，所以，解得.当焦点在轴时，，则，，所以，解得.所以或,故选：B．8.已知在等差数列中，，点在函数的图象上，则数列中所有正项的和为（）A.50 B.55 C.56 D.57【正确答案】D【分析】根据题意，解得，又，根据等差数列通项公式解得公差，从而得到通项公式判断正项，进而求和．【详解】由题得，则，又，则，得，因此，令得，即前6项均为正值，第7项开始为负，则所有正项的和为．故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知等差数列的公差为，前项和为，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】ABD【分析】由等差数列的通项与前项和的关系式，可判断各个选项.【详解】对于A：由

可得：，因此，选项A正确：对于B：由

可得：因为

，所以

，因此，选项B正确：对于C：由

和

，可得：，则，故，因此，选项C错误；对于D：由等差数列的前项和公式可得：，由选项C可知：，所以，因此，选项D正确.故选：ABD10.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则下列说法正确的是（）A.准线为B.若，则C.若，则D.到距离最小为3【正确答案】AC【分析】由抛物线的定义可判断A选项，由焦半径公式可计算点横坐标，代入抛物线方程可计算纵坐标，从而判断B选项，由点的坐标可计算长，可判断C选项，由点点距公式，结合二次函数的性质可判断D.【详解】抛物线，则准线方程为：，故A正确；若，则，故，代入抛物线方程可得：，故，故B错误；由B选项可知，，则，故C正确；到的距离为，当时，距离有最小值，故D不正确.故选：AC11.如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（）A.B.若为线段的中点，则平面C.点B到平面CEF的距离为D.的最小值为48【正确答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积的运算性质、平面的法向量进行求解判断即可.【详解】因为是矩形，所以，又因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面与正方形相交于，所以平面，而平面，所以，而是正方形，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，则有，因，所以有，因此选项A正确；当为线段中点时，，，，设平面的法向量为，于是有，因为平面，所以选项B正确；，，所以点B到平面CEF的距离为，因此选项C正确；设，，，当时，有最小值47，因此本选项不正确，故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上.12.已知，两点到直线的距离相等，则_____.【正确答案】0或【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式列式计算得解.【详解】依题意，，所以或.故0或13.已知经过椭圆的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为，则的离心率为________．【正确答案】【分析】根据题意求出，再根据椭圆的离心率公式即可得解.【详解】椭圆的左顶点和上顶点的坐标分别为，由题意可得，解得，所以，则，所以的离心率.故答案为.14.设为数列的前项和，若，，则______.【正确答案】27【分析】题中所给式子使用进行转化，得到数列第2项及以后各项的通项公式，用公式求即可．【详解】由于，则，所以，所以.故答案是.四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.15.已知ABC的顶点．（1）求高所在直线的方程；（2）求△ABC的面积．【正确答案】（1）（2）5【分析】（1）先求出直线的斜率，再根据垂直关系求出高所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程；（2）先用两点间距离公式求出的长，再利用点到直线距离公式求出高的长度，进而求出面积.【小问1详解】依题意可得直线的斜率由得：，，故直线的方程为：，即：．【小问2详解】依题意直线的方程为，，点到直线的距离所以16.已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．（1）求圆C的方程；（2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线的方程．【正确答案】（1）（2）或．【分析】（1）根据点到直线的距离即可根据相切求解，（2）根据圆的弦长公式，即可结合面积求解.【小问1详解】由已知可设圆心，圆C与直线：相切，且，所以，解得或（舍），所以圆C的方程为．【小问2详解】设圆心C到直线的距离为d，则，，即，解得，（舍去）又，所以，解得，所以直线的方程为或．17.如图1，在平面四边形中，∥，，将沿翻折到的位置，使得平面⊥平面，如图2所示.（1）设平面与平面的交线为，求证：；（2）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由.【正确答案】（1）证明见解析（2）存，理由见解析.【分析】（1）找出交线，利用面面垂直，线面垂直的性质即可证明；（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，利用法向量进行分析求解.【小问1详解】证明:延长相交于点，连接，则为平面与平面的交线，由平面⊥平面，，平面，且平面平面，所以平面，又由∥，所以平面，因为平面，所以，所以，【小问2详解】由（1）知：，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得，则，设（其中），则，所以，设平面QBD的法向量为，则，令，可得，所以，又由平面，所以平面的一个法向量为则，解得，所以存在点为的中点时，使得二面角的余弦值为.18.已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求的方程；（2）若斜率为的直线与轴交于点，与交于，两点，证明：为定值．【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）利用椭圆离心率的性质结合椭圆经过的点求解基本量，得到椭圆方程即可；（2）利用韦达定理表示出，再利用两点间距离公式表示出目标式，化简得到定值即可.【小问1详解】由题意得，得，故的方程为；【小问2详解】设，则直线l的方程为，与