河南省百师联盟2025~2026学年高二上册12月联考数学试卷（北师大版）【附答案】

/河南省百师联盟2025−2026学年高二上学期12月联考数学试卷（北师大版）一、单选题1．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（

）A．5种 B．7种 C．15种 D．20种2．已知点，，，若直线与互相垂直，则实数n的值为（

）A．8 B．10 C．6 D．43．已知集合，集合，从集合A中取一个数作为点的横坐标，从集合B中取一个数作为点的纵坐标，则在第二象限的点有（

）A．2个 B．4个 C．1个 D．12个4．已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线C上，且（O为坐标原点）．若，则焦点F的坐标为（

）A． B． C． D．5．已知椭圆的左、右焦点分别为，．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6．已知点，，若直线上存在点C，使得，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．7．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面α所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．用数字，，，，组成数字，下列说法正确的有（

）A．可以组成个没有重复数字的三位数B．可以组成个没有重复数字的四位奇数C．可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数D．可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数10．已知椭圆上存在关于直线对称的点，则实数n的值可以是（

）A．0 B．1 C． D．11．已知菱形的边长为2，，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，，，E是棱上靠近B的三等分点，F是的中点，且，则下列结论正确的有（

）A． B．C．棱的长为 D．异面直线与所成角的余弦值为三、填空题12．已知，那么.13．已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则．14．已知点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为．四、解答题15．在正四棱锥中，O为顶点在底面内的射影，P为侧棱SD的中点，且.求直线BC与平面PAC所成的角.16．（1）从5本不同的书中选出3本送给3位同学，每人1本，有多少种不同的送法？（2）已知集合，，从集合A中选1个元素作为，从集合B中选1个元素作为，可以组成多少个椭圆？（3）现有甲、乙、丙、丁四位志愿者被安排到A，B，C，D四个社区做活动，每人去1个社区，每个社区都有志愿者．由于距离限制，甲不去B社区，乙不去C社区，共有多少种不同的安排方案？17．已知动点与定点的距离和M到定直线的距离的比是常数．（1）设动点M的轨迹是曲线C，求曲线C的方程并指出曲线C是什么曲线；（2）已知点P为曲线C上任意一点，是圆的直径，求的取值范围．18．已知圆的半径为，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为，直线：与圆交于，两点．（1）求圆的标准方程．（2）弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长．（3）直线过点，且，直线与圆交于，两点，求四边形面积的最大值．19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，，．平面平面，M为的中点，点E为线段上的动点（点E不与点P，D重合）．（1）求证：平面．（2）当时，求证：平面．（3）是否存在点E，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

答案1．【正确答案】D【详解】由题意，兴趣小组有名成员，从中选1名，有20种不同的选法．故选D．2．【正确答案】C【详解】因为点，，所以直线的斜率．因为，所以直线的斜率，即，解得．故选C．3．【正确答案】B【详解】在第二象限的点的横坐标为负数，纵坐标为正数，由题意得点的横坐标有，两种选择，点的纵坐标有3，5两种选择．由分步乘法计数原理，得在第二象限的点有个．故选B．4．【正确答案】C【详解】由抛物线的对称性，不妨设点M在x轴上方．设抛物线C的准线l与x轴的交点为H，则．过点M作轴于点N，作准线l于点Q，则四边形是矩形，，所以．在中，因为，，所以，所以．因为焦点F的坐标为，所以焦点F的坐标为．故选C．5．【正确答案】A【详解】设，则，由椭圆的定义，得，因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以，在中，，即，所以离心率，故选A．6．【正确答案】B【详解】因为，所以点C在以为直径的圆上，记为圆D．因为，，所以圆心，圆D的半径，因为点C在直线l上，所以直线l与圆D有公共点，所以圆心D到直线l的距离，即，化简得，解得，即实数k的取值范围是．故选B7．【正确答案】C【详解】因为点在平面内，所以，解得，所以平面的一个法向量为，由题意可知，则，设直线与平面所成的角为，则.故选C．8．【正确答案】D【详解】由题意得，，所以，，所以，，，所以双曲线的方程为，因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率，所以直线l的方程为，与双曲线的方程联立，消去，整理得，解得，，所以．故选D．9．【正确答案】BCD【详解】对于A，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择，个位上的数字有种选择，由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的三位数，故A错误；对于B，因为是奇数，所以个位上的数字有，，，共种选择，千位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择，十位上的数字有种选择，由分步乘法计数原理，可以组成个没有重复数字的四位奇数，故B正确；对于C，因为是偶数，所以个位上的数字有，，共种选择，若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，，共种选择，十位上的数字有种选择，由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数，若个位上的数字是，因为组成的数小于，所以百位上的数字有，，共种选择，十位上的数字有种选择，由分步乘法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数．由分类加法计数原理，可以组成个小于且没有重复数字的三位偶数，故C正确；因为十位上的数字最大，所以十位上的数字可以是，，，当十位上的数字是时，若个位上的数字是，则百位上的数字有种选择，若个位上的数字不是，则个位上的数字有种选择，百位上的数字有种选择，所以可以组成个符合要求的三位数；当十位上的数字是时，个位和百位都有种选择，所以可以组成个符合要求的三位数，当十位上的数字是时，符合要求的三位数只有，共个，综上，可以组成个没有重复数字且十位上的数字最大的三位数，故D正确；故选BCD．10．【正确答案】ABD【详解】设椭圆上关于直线对称的两点是，，线段的中点为，则，因为直线l的斜率为，所以直线的斜率为，设直线的方程为，联立，得，解得，即，由韦达定理得，，所以，，，所以，解得，所以，即，结合选项可知C不符合题意．故选ABD．11．【正确答案】ABD【详解】选项A：因为E是棱上靠近B的三等分点，F是的中点，所以，．因为，所以．因为，，，所以，故A正确；选项B：因为菱形的边长为2，，所以，．因为，所以，解得，故B正确；选项C：因为，所以．在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，所以，故C错误；选项D：因为，所以，可得异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．故选ABD．12．【正确答案】8【详解】因为，所以，即，因为，所以.故答案为813．【正确答案】18【详解】由题意知，．设点A，B，D的横坐标分别为，，，则，所以．由抛物线的定义得．14．【正确答案】【详解】由题意，双曲线C的渐近线方程为，所以点在渐近线上，即，所以，所以离心率．15．【正确答案】【详解】如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O-xyz.设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，．则，，．设平面PAC的法向量为，则即，得，令，则，则．∴．∴直线BC与平面PAC所成的角为90°－60°＝30°．16．【正确答案】（1）种；（2）个；（3）种【详解】（1）由题意得，不同的送法有种；（2）因为在椭圆C中，，所以当时，可以是5，7，9，10，有4种选择；当时，可以是5，7，9，有3种选择；当时，可以是5，7，有2种选择；由分类加法计数原理，可以组成个椭圆C；（3）①若甲去C社区，则剩余3人去3个社区，有种不同的安排方案；②若甲不去C社区，则安排甲，有2种不同的方案，再安排乙，有2种不同的方案，丙、丁去剩下的2个社区，有种不同的方案，由分步乘法计数原理，得有种不同的方案，由分类加法计数原理，得不同的安排方案有种.17．【正确答案】（1）曲线C的方程为，曲线C是椭圆（2）【详解】（1）因为，，，所以由题意得，两边平方并化简，得，所以，所以曲线C的方程为，曲线C是椭圆；（2）由圆N的方程知，圆N的圆心为，半径为2，设，则，所以，因为是圆N的直径，所以，所以，因为，所以，因为，所以，即的取值范围是.18．【正确答案】（1）（2）弦长没有最大值；当垂直于时轴，弦长最小，此时的方程为，（3）【详解】（1）因为圆的半径，且被x轴截得的弦长为4，所以圆心在x轴上又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心所以圆的标准方程为.（2）由直线的方程知，若直线的斜率为，则；直线恒过定点，且此定点在圆内，当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，此时直线为x轴，斜率，又因为，所以弦不存在最大值，当直线轴时，即时，弦最短，此时直线的方程为，因为圆心到直线的距离为，所以最短弦长.（3）由（2）知，直线恒过点，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为，由（2）知，，弦是圆的直径，所以，所以四边形的面积，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，则直线的方程为，因为圆心到直线的距离，所以，同理得，所以四边形的面积为，令，则，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，由，解得，即，因为，所以四边形面积的最大值为.19．【正确答案】（1）见详解（2）见详解（3）存在，或【详解】（1）证明：如图，连接交于点Q，连接，因为四边形是矩形，所以Q为的中点．又因为M为