九年级数学相似三角形经典例题集

九年级数学相似三角形经典例题集相似三角形是九年级数学的核心内容之一，它将三角形的形状关系与线段比例、面积计算等知识深度融合，既是几何证明的重要工具，也是解决实际问题的关键模型。本文精选经典例题，从基础判定、性质应用、实际建模到综合探究，逐步拆解相似三角形的核心考点，助力同学们系统掌握解题思路。一、基础判定与性质巩固相似三角形的判定定理（AA、SAS、SSS）是解决一切相似问题的“基石”，熟练掌握判定后，需结合性质（对应边成比例、面积比为相似比的平方等）进行初步应用。例题1：角角判定型（AA）题目：在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=60°，∠B=∠E=70°，判断两三角形是否相似，并说明理由。分析：相似三角形的“角角判定”（AA）要求两组对应角相等。本题中∠A与∠D、∠B与∠E分别相等，满足AA的判定条件。解答：∵∠A=∠D，∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF（两角对应相等，三角形相似）。点评：AA是最常用的判定方法，解题时需优先观察三角形的角的关系，尤其在有平行线、公共角、对顶角的场景中，角的相等关系易被“隐藏”。例题2：边角判定型（SAS）题目：已知△ABC中，AB=4，AC=6，∠A=60°；△DEF中，DE=2，DF=3，∠D=60°，判断两三角形是否相似。分析：SAS判定要求两组对应边成比例且夹角相等。需先计算边的比例，再验证夹角是否相等。解答：AB/DE=4/2=2，AC/DF=6/3=2，且∠A=∠D=60°（夹角相等），∴△ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等，三角形相似）。点评：注意“夹角”的限制——若两边成比例但夹角不相等（如非夹角的角相等），则无法用SAS判定相似。例题3：三边判定型（SSS）题目：△ABC的三边为3，4，5；△DEF的三边为6，8，10，判断两三角形是否相似。分析：SSS判定要求三边对应成比例。需分别计算三组边的比例，验证是否相等。解答：3/6=1/2，4/8=1/2，5/10=1/2，三边对应成比例，∴△ABC∽△DEF（三边成比例，三角形相似）。点评：三边成比例的本质是“形状完全相同，大小成倍数”，计算时需注意比例的“对应性”（如最长边对最长边，最短边对最短边）。二、性质应用与线段计算相似三角形的性质（对应边成比例、面积比为相似比的平方、对应高/中线/角平分线的比等于相似比）是解决线段长度、面积计算的核心工具。例题4：相似比与对应边长度题目：△ABC∽△DEF，相似比为2:3，若BC=4，求EF的长度。分析：相似三角形的对应边成比例，比例等于相似比。需明确BC与EF的对应关系（由相似符号△ABC∽△DEF可知，BC对应EF）。解答：由相似比，BC/EF=2/3，代入BC=4得：4/EF=2/3，解得EF=6。点评：相似比的“顺序”决定对应边的比例方向（如相似比为2:3，说明△ABC的边长是△DEF的2/3倍，或△DEF是△ABC的3/2倍）。例题5：相似比与面积比题目：△ABC∽△DEF，相似比为3:5，△ABC的面积为18，求△DEF的面积。分析：相似三角形的面积比等于相似比的平方。需注意面积比与相似比的“平方关系”，避免与周长比（等于相似比）混淆。解答：设△DEF的面积为S，由面积比公式：S△ABC/S△DEF=(3/5)²=9/25，代入S△ABC=18得：18/S=9/25，解得S=50。点评：面积比是相似比的平方，这一结论常与“等高三角形面积比等于底之比”“等底三角形面积比等于高之比”结合使用，需灵活区分。例题6：对应高的比例关系题目：△ABC∽△DEF，相似比为1:4，△ABC中BC边上的高为3，求△DEF中EF边上的高。分析：相似三角形的对应高的比等于相似比（对应边的高与对应边成比例，而对应边的比等于相似比）。解答：设△DEF中EF边上的高为h，由对应高的比等于相似比得：3/h=1/4，解得h=12。点评：对应高、中线、角平分线的比均等于相似比，这一性质可推广到“对应线段”（如对应边上的任意线段）的比例关系。三、实际应用与模型构建相似三角形的实际应用需将现实问题转化为“相似模型”（如平行光线的影子模型、镜面反射模型），通过比例关系求解未知量。例题7：阳光下的影子模型（平行光线）题目：同一时刻，小明（身高1.6m）的影子长2m，旗杆的影子长15m，求旗杆高度。分析：同一时刻太阳光线平行，人和旗杆与影子分别构成相似直角三角形（AA判定：直角+太阳光线的夹角相等）。解答：设旗杆高度为xm，由相似三角形对应边成比例得：1.6/2=x/15，解得x=12。点评：“影子模型”的核心是“平行光线→同位角相等→直角三角形相似”，需明确“身高对应旗杆高，影子长对应影子长”的对应关系。例题8：镜面反射模型（角相等）题目：小颖站在距离镜子2m处（眼睛到地面1.5m），镜子距离旗杆底部8m，她通过镜子看到旗杆顶端，求旗杆高度。分析：镜面反射中入射角等于反射角，因此人眼-镜子-脚的三角形与旗杆顶-镜子-底部的三角形相似（AA判定：直角+反射角相等）。解答：设旗杆高度为hm，由相似三角形对应边成比例得：1.5/2=h/(2+8)，即1.5/2=h/10，解得h=7.5。点评：“镜面反射模型”的关键是找到“人到镜子的距离”对应“旗杆底部到镜子的距离”，“人高”对应“旗杆高”的比例关系。四、综合探究与多知识点融合相似三角形常与函数、圆、直角三角形性质等结合，需通过“角的转化”“边的比例代换”突破综合题。例题9：相似与平行线分三角形（DE∥AB）题目：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D在BC上（BD=2），过D作DE∥AB交AC于E，求DE的长度。分析：DE∥AB→△CDE∽△CBA（AA判定：∠C公共，∠CDE=∠CBA），相似比为CD/CB。解答：CD=BC-BD=6-2=4，相似比k=CD/CB=4/6=2/3。由相似性质，DE/AB=k，即DE/5=2/3，解得DE=10/3。点评：“平行线分三角形相似”是常见模型，需明确“截线平行于一边→三角形相似”，相似比由“截得的边与原边的比”决定。例题10：相似与直角三角形斜边中线（CD⊥AB，E为AC中点）题目：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC中点，ED的延长线交CB的延长线于F，求证：△FBD∽△FDC。分析：需通过“直角三角形斜边中线性质”“余角相等”“对顶角/邻补角”转化角，证明两组角相等（AA判定）。解答：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°。∵E是AC中点，∴ED=EA=EC（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴∠EDA=∠A。∵∠EDA+∠EDC=90°（∠ADC=90°），∠A+∠B=90°（∠ACB=90°），∴∠EDC=∠B（等角的余角相等）。∵∠EDC=∠FDB（对顶角相等），∴∠FDB=∠B。又∵∠FBD=180°-∠B（F在CB延长线上，邻补角定义），∠FDC=180°-∠EDC=180°-∠B（E、D、F共线，邻补角定义），∴∠FBD=∠FDC。∵∠F是△FBD和△FDC的公共角，∴△FBD∽△FDC（AA，两角对应相等）。点评：综合题需结合多个几何性质（斜边中线、余角、对顶角、邻补角）进行角的转化，核心思路是“找相等的角→满足相似判定”。总结：相似三角形的解题核心相似三角形的学习需把握三个关键：1.判定优先：遇三角形相似问题，先观察角的关系（AA最常用），再验证边的比例（SAS、SSS）；2.性质转化：利用“对应边成比例”“面积比为相似比的平方”“对应高/中线/角平分线的比等于相似比”，将未知线段、面积转