数学试题含答案-吉林省长春市四校联考2025-2026学年高二上学期期末考试

2025-2026学年上学期期末考试高二年级数学学科参考答案12345678BDCBCADB9ACDBCDACD【详解】（1）根据题意知y2=2px(p>0)过点A(2,y0)，所以抛物线准线方程为x=一，且点A到其准线的距离为4，即p=4，:抛物线的方程为y2=8x；……5分……13分116．【答案】(1)x2+y2=4【详解】（1）设Q(x,y)，因为N(1,0),M(4,0)，Q满足即QM|2=4QN|2，即(x-4)2+y2=4(x-1)2+4y2，整理得x2+y2=4，所以曲线C的轨迹方程为x2+y2=4.……8分（2）圆心(0,0)到直线x-y+1=0的距离d所以……15分17．【答案】(1)证明见解析；；(3)存在，.【详解】（1）在四棱锥P-ABCD中，取PD中点N，连接MN，由M为PA的中点，且AD=2，BC=1，得MN//AD//BC，MNAD=1=BC，则四边形BCNM为平行四边形，所以BM//CN，而CN平面PCD，BM不在平面PCD内，所以BM//平面PCD.……4分（2）取AD的中点O，连接PO,OC，由△PAD为等边三角形，得PO丄A而平面PAD丄平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO平面PAD，则PO丄平面ABCD.由AO=BC=1，AO//BC，得四边形ABCO是平行四边形，于是OC//AB，而AB丄AD，则OC丄AD，直线OC,OD,OP两两垂直，以O为坐标原点，直线OC,OD,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图，设平面PCD的法向量为=(x,y,z)，2ABn7设直线AB与平面PCD所成角为θ,则sinθ=cos,==，ABn7所以直线AB与平面PCD所成角的正弦值为.……9分)设平面EAC的法向量为=(a,b,c)，于是cos化简得3λ2-10λ+3=0，又λ∈[0,1]，解得所以线段PD上存在点E，使得平面EAC与平面DAC夹角的余弦值为……15分18．1(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，则由题意得解得.所以b2=a2-c2=4-1=3，所以C的方程为……4分（2）由（1）得F(1,0)，若直线AB与直线DE的斜率一个为0，另一个不存在时，3若直线AB与直线DE的斜率都存在时，如图：设直线AB的方程为y=k(x-1)，A(x1,y1)，B(xx2所以.ABDE综上所述，1+1ABDE……11分因为P是AB的中点，所以P (|4(|-1)2-3(|-1))22, (|4(|-1)2-3(|-1))若直线PQ的斜率存在，则直线PQ的斜率为 3 7kkPQ47kkPQ444k2+4k24所以直线PQ的方程为y即y所以直线PQ过定点若直线PQ的斜率不存在，则解得k2=1，此时直线PQ的方程为x直线PQ也过定点综上，直线PQ过定点……17分【详解】（1）因为不超过正整数6且与6互素的正整数只有1,5，所以φ(6)=2，因为不超过正整数10且与10互素的正整数只有1,3,7,9，所以φ(10)=4.……4分（2）①所有不超过正整数3n的正整数有3n个，所以所有不超过正整数3n，且与3n互素的正整数的个数为3n-3n-1=2×3n-1个，即n-1，所以an=n×3n-1，……7分2×3n,所以Sn3n……10分5②