2026 年中考数学寒假提分特训试卷（附答案可下载）

2026年中考数学寒假提分特训试卷（附答案可下载）考试时间：120分钟满分：150分（核心目标：立足寒假提分需求，聚焦中考高频重难点、易错点，强化题型突破与解题技巧训练，弥补知识短板，提升综合解题能力，为春季复习筑牢基础）特训范围：数与代数（实数整式运算、方程不等式进阶、函数综合应用）、图形与几何（三角形全等相似、四边形综合、圆的性质与计算、图形变换）、统计与概率（统计量综合、概率应用），侧重压轴题型拆解与解题思路拓展。一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。基础夯实+易错突破，适配提分起点）下列运算正确的是（）

A.√18-√8=√2B.(a²)³=a⁵C.3a+2a=5a²D.2⁻¹×2⁰=2

（特训要点：二次根式化简、幂的运算、合并同类项，基础运算易错点突破）

关于x的一元二次方程x²-2x+k-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k<2B.k≤2C.k>2D.k≥2

（特训要点：一元二次方程根的判别式，参数取值与根的情况关联，高频考点强化）

已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(2，-1)，且y随x的增大而减小，则下列函数解析式符合条件的是（）

A.y=2x-5B.y=-2x+3C.y=x-3D.y=-x+1

（特训要点：一次函数增减性与待定系数法，函数性质综合应用）

如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=6，AD=4，则△ABC的周长为（）

A.16B.18C.20D.22

（特训要点：等腰三角形性质、勾股定理，三角形基础计算提分）

在正方形ABCD中，对角线AC=8，则正方形的边长为（）

A.4B.4√2C.8D.8√2

（特训要点：正方形性质、勾股定理，四边形高频计算题型）

将点P(1，-2)向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点P'，则P'的坐标为（）

A.(-1，1)B.(3，1)C.(3，-5)D.(-1，-5)

（特训要点：点的平移变换规律，图形变换基础题型巩固）

如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB交⊙O于点C，若∠O=30°，OA=2，则BC的长为（）

A.2B.2√3C.4D.4√3-2

（特训要点：切线性质、直角三角形边角关系，圆的基础提分题型）

某组数据为1、3、5、7、9、x，若该组数据的平均数为6，则中位数为（）

A.5B.6C.7D.5.5

（特训要点：平均数、中位数的计算，统计量综合应用，易错点排查）

分式方程(3)/(x)+(1)/(x-2)=0的解为（）

A.x=1.5B.x=-1.5C.x=2D.无解

（特训要点：分式方程的解法与检验，分母不为零易错点强化）

某商品进价为30元/件，售价为x元/件时，每天可卖出(200-x)件，为获得最大利润，售价应定为（）

A.115元/件B.120元/件C.125元/件D.130元/件

（特训要点：二次函数利润最值建模，实际应用提分题型）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。聚焦重难点，强化知识迁移能力）因式分解：x³-4x²+4x=__________；计算：(√3-2)²+√12=__________。

（特训要点：因式分解综合法、完全平方公式、二次根式化简，运算能力提分）

不等式组{2x-3≥1；3x-5<13}的解集为__________，其最小整数解为__________。

（特训要点：一元一次不等式组的解法与整数解，解集边界判断易错点突破）

已知反比例函数y=k/x（k≠0）的图象经过点(-2，3)，则当y>0时，x的取值范围是__________。

（特训要点：反比例函数解析式与图象性质，函数取值范围提分）

在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=3/5，AC=8，则BC=__________，AB=__________。

（特训要点：锐角三角函数、勾股定理，直角三角形综合计算提分）

一个扇形的圆心角为90°，半径为8，将其围成一个圆锥的侧面，则圆锥的高为__________（结果保留根号）。

（特训要点：扇形与圆锥的关联、勾股定理，圆与立体图形综合提分）从分别标有2、3、4、5的4张卡片中随机抽取一张，不放回后再抽取一张，则两次抽到的数字之和为偶数的概率为__________。

（特训要点：不放回抽样概率计算，组合概率提分题型）

三、解答题（本大题共9小题，共86分。梯度进阶，侧重压轴题型拆解与解题技巧特训）（8分）计算：√27-4sin60°+(π-2026)⁰-|-√3|+(3a²b)²÷(a³b)。

（特训要点：实数混合运算、整式除法、特殊角三角函数，基础综合运算提分）

（8分）先化简，再求值：(x/(x-1)-1/(x²-x))÷(x+1)/(x)，其中x=√3+1。

（特训要点：分式化简求值、二次根式分母有理化，分式与根式综合提分）

（8分）解分式方程：(x-1)/(x+2)=2/(x-1)+1，并检验；同时解不等式组{4(x-1)<3x+1；(x+2)/2≥(x-1)/3}，求其整数解。

（特训要点：分式方程与不等式组综合，易错点排查与计算能力提分）

（8分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，延长DE至点F，使EF=DE，连接CF，求证：△ADE≌△CFE；若BC=8，求DF的长。

（特训要点：三角形全等判定、中位线定理，几何推理能力提分）

（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：平行四边形ABCD是菱形；若AC=6，BD=8，求平行四边形ABCD的边长及面积。

（特训要点：平行四边形与菱形的判定、菱形性质，四边形综合提分）（10分）为提升寒假复习效率，某班对50名学生的数学每日刷题量进行统计，结果如下表：

每日刷题量（道）5-1011-1516-2021-25人数（人）1218155

（1）求本次统计数据的平均数（每组数据取中间值，5-10取7.5，11-15取13，16-20取18，21-25取23）；

（2）求每日刷题量在16道及以上的学生所占百分比；

（3）若该校共有800名学生，估计每日刷题量在11-20道的学生人数。

（特训要点：加权平均数、百分比、样本估计总体，统计综合应用提分）

（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且∠ACD=∠CAD，连接OD、OC，求证：OC∥AD；若AB=10，AD=6，求CD的长。

（特训要点：圆的性质、平行线判定、勾股定理，圆的综合提分题型）

（12分）某商店计划在寒假期间购进甲、乙两种新年饰品，已知购进甲种饰品3件和乙种饰品2件共需110元；购进甲种饰品4件和乙种饰品3件共需150元。

（1）求甲、乙两种饰品每件的进价分别为多少元？

（2）该商店决定购进甲、乙两种饰品共100件，且甲种饰品的数量不少于乙种饰品数量的2倍，甲种饰品每件售价30元，乙种饰品每件售价45元，设购进甲种饰品m件，总利润为W元，求W的最大值及此时购进甲、乙两种饰品的数量。

（特训要点：二元一次方程组、一次函数最值、不等式，实际应用压轴提分）

（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象经过点A(0，3)和点B(3，0)，与反比例函数y=m/x（x>0）的图象交于点C(1，n)。

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOC的面积及线段AC的长；

（3）直接写出当x>0时，kx+b>m/x的解集。

（特训要点：一次函数与反比例函数综合、坐标法求面积与线段长，函数几何压轴提分）

参考答案（附寒假提分解析，强化解题技巧与重难点突破）一、选择题（每小题4分，共40分）A（提分解析：A项√18-√8=3√2-2√2=√2，正确；B项(a²)³=a⁶；C项3a+2a=5a；D项2⁻¹×2⁰=1/2×1=1/2，突破二次根式化简易错点）A（提分解析：一元二次方程有两个不相等实数根，Δ=4-4(k-1)>0，解得k<2，强化根的判别式与参数关联）B（提分解析：y随x增大而减小，故k<0，排除A、C；代入(2，-1)得-2×2+3=-1，符合条件，兼顾增减性与待定系数法）C（提分解析：等腰三角形三线合一，BD=3，由勾股定理得AB=5，周长=5+5+6=16？修正：AD=4，BD=3，AB=5，周长=5+5+6=16，对应选项A，此前计算误差修正，强化等腰三角形性质应用）B（提分解析：正方形对角线互相垂直平分，边长=8/√2=4√2，突破对角线与边长换算技巧）B（提分解析：右移横坐标加2，上移纵坐标加3，P'(1+2，-2+3)=(3，1)，巩固平移规律）A（提分解析：切线垂直半径，∠OAB=90°，OB=4，BC=OB-OC=4-2=2，强化切线性质与直角三角形计算）B（提分解析：平均数为6，得x=7，数据排序为1、3、5、7、7、9，中位数=(5+7)/2=6，突破平均数与中位数联动计算）A（提分解析：去分母得3(x-2)+x=0，解得x=1.5，检验分母不为零，为有效解，强化分式方程检验步骤）A（提分解析：利润y=(x-30)(200-x)=-x²+230x-6000，顶点横坐标x=115，此时利润最大，掌握二次函数最值建模技巧）二、填空题（每小题4分，共24分）x(x-2)²；7-2√3（提分解析：先提公因式再用完全平方公式；展开得3-4√3+4+2√3=7-2√3，强化因式分解与公式运算）2≤x<6；2（提分解析：解不等式①得x≥2，解不等式②得x<6，最小整数解为2，突破解集边界判断）x<0（提分解析：k=-2×3=-6<0，反比例函数在第二象限y>0，故x<0，掌握函数图象与取值范围关联）6；10（提分解析：cosB=BC/AB=3/5，设BC=3k，AB=5k，AC=4k=8，k=2，故BC=6，AB=10，强化三角函数与勾股定理联动）√(64-4)=√60=2√15（提分解析：扇形弧长=4π，圆锥底面半径=2，高=√(8²-2²)=2√15，突破扇形与圆锥关联计算）1/3（提分解析：不放回抽样共12种组合，和为偶数的有4种，概率=4/12=1/3，掌握组合概率计算技巧）三、解答题（共86分，按步骤给分，附提分思路）（8分）解：原式=3√3-4×(√3/2)+1-√3+9a⁴b²÷a³b（2分，提分思路：准确代入特殊角三角函数值，规范幂的运算）

=3√3-2√3+1-√3+9ab（3分，提分思路：合并同类二次根式，整式除法按法则运算）

=1+9ab（3分，提分思路：化简至最简形式，避免二次根式残留）（8分）解：原式=[x²/(x(x-1))-1/(x(x-1))]÷(x+1)/x（2分，提分思路：通分化简，因式分解分母，统一分式）

=(x²-1)/(x(x-1))×x/(x+1)=[(x+1)(x-1)/(x(x-1))]×x/(x+1)=1（3分，提分思路：约分简化，消去同类因式）

当x=√3+1时，原式=1（3分，提分思路：化简后结果与x取值无关，避免复杂代入计算）（8分）解：分式方程两边同乘(x+2)(x-1)得：(x-1)²=2(x+2)+(x+2)(x-1)（1分，提分思路：找准最简公分母，去分母时注意符号）

x²-2x+1=2x+4+x²+x-2，-5x=1，x=-1/5（1分，提分思路：整理方程，解一元一次方程）

检验：x=-1/5时，(x+2)(x-1)≠0，故x=-1/5是原方程的解（1分，提分思路：必做检验，排除增根）

解不等式①：4x-4<3x+1，x<5；解不等式②：3(x+2)≥2(x-1)，3x+6≥2x-2，x≥-8（3分，提分思路：规范解不等式，注意不等号方向）

整数解为-8、-7、…、4（2分，提分思路：准确列举整数解，覆盖解集范围）（8分）证明：∵D、E是AB、AC中点，∴AE=CE，又∠AED=∠CEF，DE=EF，∴△ADE≌△CFE（SAS）（4分，提分思路：利用中点性质找全等条件，强化SAS判定）

解：∵△ADE≌△CFE，∴AD=CF，DE=EF，又D是AB中点，DE是中位线，DE=4，∴DF=2DE=8（4分，提分思路：结合中位线定理，推导线段关系）（10分）（1）证明：平行四边形对角线互相平分，AO=OC，又AC⊥BD，∴BD垂直平分AC，AB=BC，故平行四边形ABCD是菱形（4分，提分思路：利用对角线性质判定菱形，强化特殊平行四边形判定）

（2）解：AO=3，BO=4，边长=√(3²+4²)=5，面积=1/2×AC×BD=1/2×6×8=24（6分，提分思路：菱形边长与面积计算，兼顾勾股定理与面积公式）

答：边长为5，面积为24（10分）解：（1）平均数=(7.5×12+13×18+18×15+23×5)/50（2分，提分思路：加权平均数公式应用，准确取中间值）

=(90+234+270+115)/50=709/50=14.18（道）（2分，提分思路：精准计算求和，避免计算误差）

（2）16道及以上人数=15+5=20（人），百分比=20÷50×100%=40%（2分，提分思路：百分比计算，找准对应人数）

（3）11-20道人数=18+15=33（人），估计总人数=800×33/50=528（名）（3分，提分思路：样本估计总体，强化比例换算）

答：（1）14.18道；（2）40%；（3）528名（1分，规范作答）（10分）（1）证明：∵∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，又OA=OD，OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA，∵∠AOD=∠COD，∴OC∥AD（4分，提分思路：利用圆周角与圆心角关系，判定平行线）

（2）解：连接BD，AB是直径，∠ADB=90°，BD=√(10²-6²)=8，由△ACD∽△ABD，得CD/BD=AD/AB，CD=(6×8)/10=4.8（4分，提分思路：相似三角形应用，强化圆的综合计算）

答：CD的长为4.8（或24/5）（2分，规范作答）（12分）解：（1）设甲进价x元，乙进价y元，列方程组：{3x+2y=110①；4x+3y=150②}（1分，提分思路：方程组建模，对应进价关系）

①×3-②×2得：9x+6y-8x-6y=330-300，x=30，代入