2026年高考数学复习讲义专题12 立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略（原卷版）

专题12立体几何的外接球、内切球及棱切球相关问题的解题策略

目录

01析·考情精解

02构·知能框架

03破·题型攻坚

考点立体几何的外接球、内切球及棱切球

真题动向

知识点01外接球模型一：墙角模型

知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型

知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型

必备知识知识点04外接球模型四：垂面模型

知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型

知识点06内切球思路

题型01长方体外接球

题型02正四面体外接球

题型03对棱相等的三棱锥外接球

题型04直棱柱外接球

题型05直棱锥外接球

题型06正棱锥与侧棱相等模型

命题预测

题型07垂面模型

题型08二面角模型

题型09坐标法解决外接球问题

题型10多面体外接球

题型11锥体内切球

题型12棱切球

近年来，高考中对组合体的考查中，与球相关的外接和内切问题已成为命题的热点。这类问

命题轨题在小题中的综合化趋势尤为显著，要求学生具备较强的空间想象能力和精确的计算能力才能顺

迹透视利解答。从全国高考命题的情况来看，这部分内容主要以选择题和填空题的形式出现，很少出现

在大题中。此部分是考试的重点，同时也是难点，其难度属于中等水平。

预计在2026年高考中，与球相关的组合体问题多以小题形式呈现，同时也有可能融入解答

2026命题中，作为相对独立的部分。具体来说：

题预测（1）这类问题可能会以选择题或填空题的形式出现，旨在考查学生的综合推理能力。

（2）锥体内切球与棱切球问题将成为考查的热点。

考点立体几何的外接球、内切球及棱切球

1.（2022·新高考全国Ⅱ卷T7）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和43，其顶点都在同一

球面上，则该球的表面积为（）

A．100πB．128πC．144πD．192π

2.（2025新高考Ⅱ卷T14）一个底面半径为4cm，高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm．

3（.2023·全国乙卷T16）已知点S,A,B,C均在半径为2的球面上，VABC是边长为3的等边三角形，SA平

面ABC，则SA．

4.（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点，以EF为直径

的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．

知识点01外接球模型一：墙角模型

墙角模型是三棱锥有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的

直径等于长方体的体对角线长(在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R

a2＋b2＋c2

＝a2＋b2＋c2．)，秒杀公式：R2＝．可求出球的半径从而解决问题．有以下四种类型：

4

知识点02外接球模型二：三棱锥的三组对棱长分别相等模型

四面体ABCD中，ABCDm，ACBDn，ADBCt，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通

过构造长方体来解决这类问题．

b2c2m2

m2n2t2

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a2c2n2，三式相加可得a2b2c2,而显

2222

abt

m2n2t2

然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a2b2c24R2，所以R．

8

知识点03外接球模型三：直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型

直棱柱的外接球、圆柱的外接球模型，用找球心法(多面体的外接球的球心是过多面体的两个面的外心且分

别垂直这两个面的直线的交点．一般情况下只作出一个面的垂线，然后设出球心用算术方法或代数方法即

可解决问题．有时也作出两条垂线，交点即为球心．)解决．以直三棱柱为例，模型如下图，由对称性可知

h

球心O的位置是△ABC的外心O1与△A1B1C1的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，

2

h2

R2r2．

4

知识点04外接球模型四：垂面模型

1、垂面模型是有一条侧棱垂直底面的棱锥模型，可补为直棱柱内接于球，由对称性可知球心O的位置是

2

h22h

△CBD的外心O1与△AB2D2的外心O2连线的中点，算出小圆O1的半径AO1＝r，OO1＝，Rr．

24

2、或者是有一侧面垂直底面的棱锥型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形且平面ABC⊥平面BCD，

如类型Ⅰ，△ABC与△BCD都是直角三角形，类型Ⅱ，△ABC是等边三角形，△BCD是直角三角形，类型Ⅲ，

△ABC与△BCD都是等边三角形，解决方法是分别过△ABC与△BCD的外心作该三角形所在平面的垂线，

交点O即为球心．类型Ⅳ，△ABC与△BCD都一般三角形，解决方法是过△BCD的外心O1作该三角形所

在平面的垂线，用代数方法即可解决问题．设三棱锥A－BCD的高为h，外接球的半径为R，球心为O．△BCD

R2＝r2＋m2，

的外心为O1，O1到BD的距离为d，O与O1的距离为m，则解得R．可用秒杀公式：

R2＝d2＋h－m2，

2

222l

R＝r1＋r2－(其中r1、r2为两个面的外接圆的半径，l为两个面的交线的长)

4

知识点05外接球模型五：正棱锥与侧棱相等模型

r2h2

1、正棱锥外接球半径：R．

2h

2、侧棱相等模型：

如图，P的射影是ABC的外心

三棱锥PABC的三条侧棱相等

三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点．

解题步骤：

第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；

OABCO1P,O,O1

第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；

O1AO1rPO1h

r2h2

第三步：勾股定理：OA2OA2OO2R2(hR)2r2，解出R．

112h

知识点06内切球思路：

1、等积法思路

以三棱锥P－ABC为例，求其内切球的半径．

方法：等体积法，三棱锥P－ABC体积等于内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和；

第一步：先求出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r，球心为O，建立等式：VP－ABC＝VO－ABC＋VO－PAB＋VO－PAC＋VO－PBC⇒VP－ABC＝

11111

S△ABC·r＋S△PAB·r＋S△PAC·r＋S△PBC·r＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PAC＋S△PBC)·r；

33333

3VP－ABC3V

第三步：解出r＝＝．

SO－ABC＋SO－PAB＋SO－PAC＋SO－PBCS表

2、球内接圆锥

如图1，设圆锥的高为h，底面圆半径为r，球的半径为R．通常在△OCB中，由勾股定理建立方程来计算

R．如图2，当PCCB时，球心在圆锥内部；如图3，当PCCB时，球心在圆锥外部．和本专题前面的

内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．

h2r2

由图2、图3可知，OChR或Rh，故(hR)2r2R2，所以R．

2h

3、球内接圆柱

h

如图，圆柱的底面圆半径为r，高为h，其外接球的半径为R，三者之间满足()r2R2．

2

4、球内接圆台

2

r2r2h2

2221，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．

Rr2r1,r2,h

2h

5、棱切球

方法：找切点，找球心，构造直角三角形

题型01长方体外接球

1．一个长方体的长、宽、高分别为5，4，3，则它的外接球的表面积是（）

A．25πB．50πC．100πD．200π

2．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是23，则这个球的体积是（）

A．18πB．36πC．48πD．72π

3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB6，BC23，BB14，则长方体外接球的表面积为

25664

A．B．C．64D．32

33

题型02正四面体外接球

4.一个棱长为2的正四面体盒子内部放置了一个正方体，且该正方体在铁盒内能任意转动，则该正方体棱长

的最大值为.

5.已知正四面体ABCD的棱长为3，点E在棱AD上，且DE1，若点A,B,C,E都在球O的球面上，则球O

的表面积为（）

3

A．πB．2πC．9πD．12π

2

6.小张同学将一块棱长为2的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四

面体外接球的体积为（）

A．6πB．26πC．36πD．96π

7．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A．3πB．4πC．33πD．6

题型03对棱相等的三棱锥外接球

8.四面体ABCD中，ABCD5，BCACADBD6，则此四面体外接球的表面积为．

9.如图，在三棱锥PABC中，PABC3，PBAC2，PCAB5，则三棱锥PABC外接球的

体积为（）

A．2B．3C．6D．6

10.在三棱锥PABC中，PABC4，PBAC5，PCAB11，则三棱锥PABC的外接球的表面积为

（）

A．26B．12C．8D．24

题型04直棱柱外接球

11.已知直三棱柱ABCA1B1C1，ABBC，AB6，BC8，AA18，设该直三棱柱的外接球的表面积为S1，

S

1

该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为S2，则（）

S2

13273541

A．B．C．D．

2244

12.已知直三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长分别为5，12，13的直角三角形，若该三棱柱有内切球，则其

外接球的表面积为（）

A．173B．177C．185D．188

13.已知直三棱柱ABCA1B1C1的体积为24，ACB90,AA14，若直三棱柱ABCA1B1C1的所有顶点都在

球O的球面上，则球O表面积的最小值为.

题型05直棱锥外接球

14.已知三棱锥PABC,AC2,BC1,ACBC且PA2PB,PB平面ABC，其外接球体积为（）

432

A．B．4C．D．43

33

15.已知三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABC60，PAAC2，则此三棱锥外接球的表面积为（）

14π28π

A．B．C．10πD．5π

33

16.已知三棱锥P-ABC中，PAB是边长为2的等边三角形，PC2，AC6，BC2，则三棱锥P-ABC

的外接球表面积为（）

3228

A．6πB．10πC．πD．π

55

题型06正棱锥与侧棱相等模型

17.已知正四棱锥PABCD的各条棱长均为2，则其外接球的表面积为

A．4πB．6πC．8πD．16π

3

18．已知正三棱锥ABCD的底面△BCD的边长为6，直线AB与底面BCD所成角的余弦值为，则正三

3

棱锥ABCD外接球的体积为（）

A．816πB．276πC．186πD．96π

19．正三棱锥PABC的底面边长为3，侧棱长为2，则它的外接球的体积为.

20.已知三棱锥PABC，PAPBPC23，AB26，BC23，AC6，三棱锥PABC外接球的

表面积与三棱锥PABC的侧面积之比为（）

A．431πB．43πC．421πD．42π

题型07垂面模型

21.如图，在VABC中，ACB120°，ACBC2，D为AB中点，沿CD将ACD翻折至ACD的位置，

使得平面ACD平面BCD，则三棱锥ABCD外接球的表面积为．

22．在三棱锥PABC中，ABBC，O为VABC的外心，PO平面ABC，若ABBCPO4，则三棱

锥PABC的外接球的表面积为（）

52

A．12πB．πC．24πD．36π

3

23．已知四边形ABCD中，AC2，ABC60，ADC120．现将ACD沿边AC翻折，使点D翻折

到P点，若平面PAC平面BAC，则三棱锥PABC外接球的表面积是（）

8π20π32π2015π

A．B．C．D．

33327

题型08二面角模型

24.长方形ABCD中，AB4,BC3,将ACD沿AC折起，使二面角DACB大小为，则四面体DABC

的外接球的表面积为

25．在三棱锥PABC中，已知VABC是边长为2的正三角形，且PAPB.若PAB和VABC的面积之积为

5

3，且二面角PABC的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为.

5

26.已知三棱锥DABC中，AB4,AC3,BC5，三角形DBC为正三角形，若二面角DBCA为120，

则该三棱锥的外接球的体积为．

3

27．在四面体SABC中，ABBC,ABBC2,SASC2，二面角SACB的余弦值是，则该

3

四面体的外接球的表面积是．

题型09坐标法解决外接球问题

28．已知四面体ABCD的顶点坐标为A1,0,0，B0,1,0，C0,0,2，D0,0,0，则该四面体外接球的表

面积为（）

A．πB．4πC．8πD．16π

29．已知四面体ABCD的四个顶点的坐标分别为A0,2,0，B4,0,0，C3,1,0，D0,0,2，则该四面

体外接球的表面积为（）

A．108πB．112πC．128πD．136π

30．已知四面体ABCD的顶点坐标为A1,0,0、B0,2,0、C0,0,3、D0,0,0，则该四面体外接球的表

面积为（）

714π

A．7πB．C．14πD．56π

3

3

31.在底面边长为2的正三棱柱ABCABC中，D，E分别是BB和CC的中点，若cosAD,AE，则该

111114

三棱柱外接球的表面积为（）

28π52π64π

A．B．C．16πD．

333

题型10多面体外接球

32.四面体ABCD中，AD平面ABC，AB1，AC2，AD3，∠BAC=90°．若A，B，C，D四点都在

同一个球面上，则该球面面积等于．

33.中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一

条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马

与一个鳖臑的组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，AD23,ED1，若鳖臑PADE

的体积为2，则阳马PABCD外接球的表面积为（）

A．144πB．36πC．24πD．18π

34.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角.在古希腊时期人

们就已经发现正多面体仅有5种，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体.如图

是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比

是（）

4π3π

A．