2026年高考数学复习讲义专题01 集合与逻辑（解析版）

专题01集合与逻辑

目录

01析·考情精解......................................................................................错误！未定义书签。

02构·知能框架..............................................................................................................2

03破·题型攻坚..............................................................................................................3

考点一集合初步.......................................................................................................3

真题动向

知识1有限集的子集个数确定

必备知识知识2根据两集合的关系求参数的方法

知识3集合的运算性质

题型1元素与集合的关系题型2根据集合的包含关系求参数

命题预测

题型3集合的交、并、补运算及求参问题题型4集合中的新定义问题

考点二常用逻辑用语...............................................................................................9

真题动向

知识1命题真假判定

必备知识知识2集合判断法判断充分条件、必要条件

知识3根据充分、必要条件求解参数

命题预测题型1命题真假判定题型2充分条件与必要条件

命题轨从近三年高考试题来看，集合与常用逻辑用语均属基础考点，多以4分选择题形式呈现。集合部

分重点考查交、并、补等基本运算，常与一元一次、二次不等式或指数、对数不等式解法交汇，

迹透视

需通过集合表示方法的转化与化简求解，数轴法和特殊值法是常用技巧。常用逻辑用语核心考点

为充分条件与必要条件的判断，常与其他知识结合，兼具基础性与综合性。此外，全称量词与存

在量词命题的真假判断偶有考查。整体侧重考查考生的逻辑思维能力与转化能力，注重逻辑推理

素养的体现。

考点2025年2024年2023年

考点频

集合上海卷T1，4分上海卷T1，4分上海卷T13，4分

次总结

常用逻辑用语上海卷T16，4分

预计在2026年高考中，集合仍为必考基础考点，大概率以5分单选题形式出现，侧重交、并、

2026命

补运算，多与一元一次、二次不等式交汇，需用数轴法辅助求解，偶涉含参问题或空集特例。

题预测常用逻辑用语与其他知识交汇，判断命题真假，整体难度不高。

考点一集合

1．（2023·上海·高考真题）已知P1,2，Q2,3，若M{x|xP且xQ}，则M（）

A．{1}B．{2}C．{1,2}D．{1,2,3}

【答案】A

【分析】根据给定条件，直接求出集合M中的元素作答.

【详解】因为P{1,2}，由xP，得x1或x2，

又Q{2,3}，且xQ，即有x2且x3，因此x1，

所以M{1}.故选：A

2．（2025·全国二卷·高考真题，3，5分）已知集合A{4,0,1,2,8},Bx∣x3x,则AB（）

A．{0,1,2}B．{1,2,8}

C．{2,8}D．{0,1}

【答案】D

【详解】Bx|x3x0,1,1，故AB0,1，故选：D.

是小于的正整数ð

3．（2025·全国一卷·高考真题，2，5分）已知集合Uxx9，A{1,3,5}，则UA中元素

个数为（）

A．0B．3C．5D．8

【答案】C

ðð

【详解】因为U1,2,3,4,5,6,7,8，所以UA2,4,6,7,8，UA中的元素个数为5，故选：C．

4．（2024·上海·高考真题）设全集U1,2,3,4,5，集合A2,4，则A．

【答案】1,3,5

【分析】根据补集的定义可求A.

【详解】由题设有A1,3,5，故答案为：1,3,5

5．（2025·上海·高考真题）已知全集U{x∣2x5,xR}，集合A{x∣2x4,xR}，则A．

【答案】x|4x5,xR/4,5

【分析】根据补集的含义即可得到答案.

【详解】根据补集的含义知Ax|4x5,xR.故答案为：x|4x5,xR.

知识1有限集的子集个数确定

若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n1个，非空子集有2n1个，非空真子集有

2n2个．

知识2根据两集合的关系求参数的方法

已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考

虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的

关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．

知识3集合的运算性质

（1）AAA，A，ABBA；

（2）AAA，AA，ABBA；

（3）A(CUA)，A(CUA)U，CU(CUA)A；

（4）ABABAABBCUBCUA；

【易错提醒】

①一定要清楚符号“{x|x的属性}”表示的是具有某种属性的x的全体，而不是部分；

②一定要从代表元素入手，弄清代表元素是什么

③根据AB或ABA求参数取值范围,忽略A的情况

题型1元素与集合的关系

1.（2025·上海黄浦·二模）已知全集U{(x,y)|xR,yR}，集合SU，若S中的点在直角坐标

平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线yx均对称，且(2,3)S，则S中的元素个数至少有

A．4个B．6个C．8个D．10个

【答案】C

【解析】因为(2,3)S,S中的点在直角坐标平面内形成的图形关于原点、坐标轴、直线yx对称，所以

(2,3)S,(2,3)S,(2,3)S,(3,2)S,(3，2)S,(3，-2)S,(3，2)S,所以S中的元素个数至少有8

个，

故选：C.

2．（2025·贵州贵阳·模拟预测）若集合A{x|2mx30,mR}，其中2A且1A，则实数m的取值范

围是（）

33333333

A．,B．,C．,D．,

42424242

【答案】A

2m23033

【解析】由题意可得，解得m.故选：A.

2m13042

3．（2025·四川乐山·三模）已知集合Ax,yx2y210,xN*,yN*，则集合A的元素个数为（）

A．9B．8C．6D．5

【答案】C

【解析】A(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)，共6个元素.故选：C.

4．（2025·河北沧州·阶段练习）已知集合A{xN∣0xm}有16个子集，则实数m的取值范围为（）

A．{m∣3m4}B．{m∣3m4}

C．m∣3m4D．{m∣3m4}

【答案】A

【解析】因为集合A{xN∣0xm}有16个子集，

所以集合A{xN∣0xm}中有4个元素，分别为0，1，2，3，所以3m4.故选:A

题型2根据集合的包含关系求参数

5.（2025·上海崇明一模）若集合P满足2P2,3,5，则P可以是（）

A．2,5B．3C．3,5D．2,3,5

【答案】A

【解析】由2P2,3,5，则P{2,3}或P{2,5}.故选：A

6．（2025·上海金山·模拟）已知集合P{(x,y)||x||y|1}，Q(x,y)|x2y21，则有（）

A．PQB．PQC．PQPD．PQQ

【答案】B

【解析】因为P{(x,y)||x||y|1}表示四个顶点分别为(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)的正方形围成的区域(包括

22

边界),而Q(x,y)|xy1表示的圆心为原点,半径为1的圆围成的区域(包括边界),所以PQ.

故选:B

1n1p1

7．（2025·上海浦东模拟）已知集合M{x|xm,mZ}，N{x|x,nZ}，P{x|x,pZ}，

62326

则M、N、P的关系满足（）

A．MNPB．MNPC．MNPD．NPM

【答案】A

n13n23(n1)1

【解析】依题意，N{x|x,nZ}{x|x,nZ}{x|x,nZ}，

2366

p13p1

P{x|x,pZ}{x|x,pZ}，则NP，

266

132m1

M{x|xm,mZ}{x|x,mZ}，则MP，

66

所以M,N,P的关系满足MNP.故选：A

x3ð

8．（2025·全国·模拟预测）已知集合Ax0,Bx3p2x2p1,BRA，则p的取值范围

x2

是（）

113

A．[,1)B．[,]

332

131

C．(,)D．(,)

323

【答案】D

x3x3x20

【解析】因为0，所以，所以x3或x2，

x2x20

ð

所以Axx3或x2，所以RAx3x2，

ð

当B时，3p22p1，解得p1，满足BRA；

3p22p1

ð1

当B时，要使BRA，则2p12，解得p1，

3

3p23

11

综上，p，即p的取值范围是(,).故选：D

33

31

9．（2025·河南·二模）已知集合Axx，Bxaxa2，若AB，则a的取值范围为（）

22

A．1,2B．0,1C．1,2D．0,1

【答案】B

【解析】由题意可得Ax1x2，又Bxaxa2，AB，

1a

所以，解得0a1，故选：B.

2a2

10．（2025·河南·模拟预测）已知集合A{x|1x2}，B{x|1xm}，若BA，则实数m的取值范

围是（）

A．(2,)B．(1,2]C．(,2]D．[2,)

【答案】C

【解析】当B时，m≤1，

m1

当B时，则，解得1m2，

m2

综上所述，实数m的取值范围是(,2]．故选C

题型3集合的交、并、补运算及求参问题

11．（2025·上海宝山·阶段练习）设全集为自然数集N，

Ex|x2n,nN,Fx|x4n,nN．那么集合N可以表示成（）

A．EFB．EFC．EFD．EF

【答案】C

【解析】集合E{x|x2n,nN}是所有偶数的集合，F{x|x4n,nN}是所有4的倍数的集合.

A选项，由于EFE，所以A选项错误.

B选项，由于2EF，所以B选项错误.

C选项，由于FE，所以EFN，所以C选项正确.

D选项，由于EFEFE，所以D选项错误.

故选：C

2

12．（2025·山东泰安·模拟预测）已知集合A{x|x3x0},Bx|log2x1，则AB（  ）

A．0,2B．2,3C．0,3D．1,3

【答案】B

2

【解析】由题设A{x|x3x0}(0,3),Bxlog2x1(2,)，所以AB2,3.

故选：B

ð

13．（2025·陕西榆林·模拟预测）设全集U0,1,2,3,4,5，集合Axx3，Bx1x5，则AUB

（）

A．0,1B．0,1,2C．0,1,5D．0,1,2,5

【答案】D

【解析】全集U0,1,2,3,4,5，则Axx3x3x30,1,2，

ð

因为全集U0,1,2,3,4,5，集合Bx1x52,3,4，所以UB0,1,5，

ð

所以AUB0,1,2,5.故选：D

14．（2025··湖南长沙·阶段练习）已知集合Mx|yx1，Nx|1x2，则MN（）

A．1,B．1,2C．1,2D．1,2

【答案】A

【解析】由x10x1，所以Mx|yx11,，

又Nx|1x21,2，所以MN1,21,1,.故选：A

．（广东肇庆一模）已知集合Ax2x6，集合Bxx9，则ðAB（）

152025··NR

A．0,1,6,7,8,9B．1,6,7,8,9

C．x6x9D．x6x9或x2

【答案】A

【解析】因为集合，所以ð或，

Ax2x6RAxx2x6

ð

又BxNx9,所以RAB0,1,6,7,8,9.

故选：A

2ð

16．（2025·河南·开学考试）设集合Ax0x2},Bxx4x30，则ARB（）

A．{x∣1x2}B．x0x1

C．x0x2D．x1x2

【答案】B

2ð

【解析】由x4x3x1x30得1x3，即Bx1x3,RB{xx3或x1}，

ð

所以ARBx0x1.故选：B

17．（2025·上海·阶段练习）已知全集UR，集合Axx1或x4，Bx2x3，那么阴影部

分表示的集合为（）

A．xx3或x4B．x1x3

C．x1x3D．x2x4

【答案】C

【解析】因为全集UR，集合Axx1或x4，Bx2x3，

在阴影部分区域所表示的集合中任取一个元素x，则xA，xB，

因此阴影部分区域所表示的集合为

ð

UABx1x4x2x3x1x3.故选：C.

题型4集合中的新定义问题

18．（2025·安徽蚌埠·二模）对于数集A，B，定义ABxxab,aA,bB，

a

ABxx,aA,bB，若集合A1,2，则集合AAA中所有元素之和为（）

b

152123

A．5B．

C．

D．

222

【答案】D

【解析】根据新定义，集合A1,2，则AA2,3,4，

323

则AAA1,2,3,4,，则可知所有元素之和为．故选：D

22

1

19．（2025·贵州黔东南·二模）若对任意xA，A，则称A为“影子关系”集合，下列集合为

x

“影子关系”集合的是（）

A．1,3B．1,0,1

C．x|x1D．x|x0

【答案】D

1

【解析】对于选项A：因为31,3，但1,3，不符合题意，故A错误；

3

1

对于选项B：因为01,0,1，但无意义，不符合题意，故B错误；

0

1

对于选项C：例如2xx1，但xx1，不符合题意，故C错误，

2

1

对于选项D：对任意xxx0，均有xx0，符合题意，故D正确；

x

故选：D.

20．（2025·黑龙江·二模）已知集合A1,2，B3,4，定义集合：ABx,yxA,yB，则集合AB

的非空子集的个数是（）个．

A．16B．15C．14D．13

【答案】B

【解析】根据题意，ABx,yxA,yB1,3，1,4，2,3，2,4，

则集合AB的非空子集的个数是24115.

故选：B

21．（2025··河北·开学考试）德国数学家康托尔在其著作《集合论》中给出正交集合的定义：

若集合A和B是全集U的子集，且无公共元素，则称集合A,B互为正交集合，规定空集是任何集合的正交

∣∣2

集合．若全集Ux1log2(x1)3,xN,Axx7x100,xN，则集合A关于集合U的正交集

合B的个数为（）

A．8B．16C．32D．64

【答案】B

【解析】结合题意：因为1log2(x1)3，所以log22log2(x1)log28，

解得2x18，即1x7，

∣

所以全集Ux1log2(x1)3,xN2,3,4,5,6,7，

2

由x27x100可得2x5，所以Ax∣x7x100,xN3,4，

则集合A关于集合U的正交集合B的个数为2416.

故选：B.

22．（2025·广东·二模）若集合Ax3x28x30，Bxx1，定义集合ABx|xA且xB}，

则AB（）

111

A．,3B．,1C．,1D．1,3

333

【答案】C

11

【解析】由3x28x30得x3，则A[,3]，

33

1

又ABx|xA且xB}，则AB,1，故选C

3

23．（2025··上海宝山·阶段练习）新定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等

于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合

2

Bx2x17x210，则AB的子集个数为（）

A．8B．16C．32D．64

【答案】C

【解析】由自恋数的定义可知一位正整数的自恋数组成集合A1,2,3,4,5,6,7,8,9，

33

解不等式2x217x210得x7，所以Bxx7，

22

所以AB2,3,4,5,6，故其子集个数为2532，

故选：C

24．（2025··上海浦东新·阶段练习）设集合I1,3,5,7，若非空集合A同时满足：①AI；

②cardAminA(其中cardA表示A中元素的个数，minA表示集合A中最小的元素)，称集合A为

I的一个“好子集”，则I的所有“好子集”的个数为（）

A．7B．8C．9D．10

【答案】B

【解析】当cardA1，即集合A中元素的个数为1时，A的可能情况为1,3,5,7；

当cardA2，即集合A中元素的个数为2时，A的可能情况为3,5,3,7,5,7；

当cardA3，即集合A中元素的个数为3时，A的可能情况为3,5,7，

综上所述，I的所有“好子集”的个数为8.

故选：B

25．（2025··上海·期中）已知全集U为无理数集，将U划分为两个非空的子集M与N，且满足

MNU,MN，若M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M,N)为优分割.对于任一

优分割(M,N)，下列选项中一定不成立的是（）

A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素

C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素

【答案】C

【解析】由题意，将无理数集划分为两个非空的子集M与N，

且满足MNU,MN，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，

对于A中，若集合MxU|x2,NxU|x2，

则集合M没有最大元素，N中有一个最小元素，所以A正确；

对于B中，若集合MxU|x2,NxU|x2，

则集合M没有最大元素，N中也没有最小元素，所以B正确；

对于D中，若集合MxU|x2,NxUx2，

则集合M中有一个最大元素，N中没有最小元素，所以D正确；

对于C中，无论怎样“优分割”，都不可能使得集合M中有最大元素，且N中有最小元素，所以C不正确.

故选：C.

26．（2025·湖南长沙·阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于kA，若k1A且k1A，则k

是A的一个“孤立元”，给定S1,2,3,4,5,6,7,8,9，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集

合共有个．

【答案】7

【解析】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合S不含“孤立元”，

则集合S中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是1,2,3，2,3,4，3,4,5，4,5,6，5,6,7，

6,7,8，7,8,9，共7个．

考点二常用逻辑用语

1．（2025·北京·高考真题，7，5分）已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意MR，

存在x0D，使得fx0M”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若函数f(x)的值域为R，则对任意MR，一定存在x1D，使得fx1M1，

取x0x1，则fx0M1M，充分性成立；

x

取f(x)2，DR，则对任意MR，一定存在x1D，使得fx1M1，

取x0x1，则fx0M1M，但此时函数f(x)的值域为0,，必要性不成立；

所以“f(x)的值域为R”是“对任意MR，存在x0D，使得fx0M”的充分不必要条件.

故选：A.

2．（2025·天津·高考真题，2，5分）设xR，则“x0”是“sin2x0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由x0sin2xsin00，则“x0”是“sin2x0”的充分条件；

又当xπ时，sin2xsin2π0，可知sin2x0x0，

故“x0”不是“sin2x0”的必要条件，

综上可知，“x0”是“sin2x0”的充分不必要条件.

故选：A.

3．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点P，都有Q

使得PMQM1．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（）

①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线．

A．①假命题；②真命题B．①真命题；②假命题

C．①真命题；②真命题D．①假命题；②假命题

【答案】B

x2y2

【解析】对于①，不妨设椭圆方程为1(ab0)，M(m,0)，

a2b2

则椭圆上一点P到M距离为

b2b2

|PM|(xm)2y2(xm)2b2x2(1)x22mxm2b2,axa，

a2a2

m

xa

当ma时，对称轴b2，可得|PM|[ma,ma]，

1

a2

总存在m使得(ma)(ma)1，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确，

对于②，对于给定的双曲线和点P，显然|PM|存在最小值，而M横坐标趋近于无穷大时，|PM|趋近于无

穷大，|PM|[m,)，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误，

故选：B

知识1集合判断法判断充分条件、必要条件

若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即p：c，q：B{x|q(x)}，则

（1）若AB，则p是q的充分条件；

（2）若BA，则p是q的必要条件；

（3）若AB，则p是q的充分不必要条件；

（4）若BA，则p是q的必要不充分条件；

（5）若AB，则p是q的充要条件；

（6）若A_B且AB，则p是q的既不充分也不必要条件.

知识2根据充分、必要条件求解参数

①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不

等式(或不等式组)求解；

②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取

等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

知识3四种命题的关系及真假判

1.四种命题间的关系

2.四种命题间的真假关系

原命题逆命题否命题逆否命题

真真真真

真假假真

假真真假

假假假假

【易错提醒】正难则反的解题策略

1.求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命

题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出

假设不正确，从而肯定命题的结论正确.

2.常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：

等于至多有至少有

原词大于(>)小于(<)是都是至多有n个

(＝)一个一个

否定不等于不大于不小于至少有至少有一个也

不是不都是

词语(≠)(≤)(≥)两个(n＋1)个没有

题型1充分条件与必要条件

13

1．（2025·上海虹口·一模）已知0,π，则“sinπ”是“cos”的（）条件．

22

A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要

【答案】C

【解析】充分性：

11π5π

根据诱导公式sinπsin，因为0,π，所以或，

2266

π35π3

当时，cos；当时，cos；

6262

13

所以由sinπ不能必然推出cos，充分性不成立；

22

必要性：

3ππ1

因为0,π，cos所以，此时sinπsinsin，

2662

31

所以由cos可以推出sinπ，必要性成立；

22

13

综上，sinπ是cos的必要非充分条件；

22

故选：C.

2．（2025·上海青浦·一模）已知a，bR，则“ab”是“a3b3”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】因为幂函数yx3的定义域为R，且在0,上单调递增，又为奇函数，

故yx3在R上单调递增，则由ab可推出a3b3，故充分性成立；

由a3b3也可推出ab，故必要性成立，所以“ab”是“a3b3”的充要条件.

故选：C.

3．（2025·上海杨浦·三模）“tantan”是“”的（）条件.

A．充分非必要B．必要非充分

C．充要D．既非充分也非必要

【答案】D

ππ

【解析】当tantan时，kπ,kπ,kπ,kZ，不能得出，不具备充分性，

22

π

当kπ,kZ时，正切值不存在，所以不能得出tantan，也不具备必要性.

2

故选：D.

4．（2025·上海杨浦·模拟预测）设实数a,bR，则不等式abab的等号成立的一个充分不必要条件

为（）.

A．ab0B．ab0C．ab0D．ab≤0

【答案】A

【解析】当等号成立时abab，可知ab0，ab0，两边同时平方得(ab)2(ab)2，

2222

化简得a2abba2abb，可得ab0时等号成立，则一个充分不必要条件可以是ab0.

故选：A.

5．（2025·上海·三模）设a为实数，直线l1:axy1，直线l2:xay2a，则“a1”是“l1,l2平行”的（）

条件

A．充分不必要B．必要不充分

C．充分必要D．既不充分又不必要

【答案】A

【解析】若a1，则直线l1:xy1，直线l2:xy2，此时l1,l2平行，

2

若l1,l2平行，则a1即a1，

当a1时，l1,l2平行，

当a1时，直线l1:xy1，直线l2:xy2，此时l1,l2也平行，

故l1,l2平行时推不出a1，故“a1”是“l1,l2平行”的充分不必要条件，

故选：A.

6．（2025·上海浦东新·三模）a，bR，请从以下选项中选出“ab”的充分条件（）

A．3a4bB．a2b2C．a|b|D．2a3b

【答案】C

【解析】A.若a4,b3.5，满足3a4b，不满足ab，故A不是充分条件；

B.当a2,b1满足a2b2，不满足ab，所以B不是充分条件；

C.若ab，又因为bb，所以ab，所以C是充分条件；

D.a3，b2，满足2a3b，不满足ab，故D不是充分条件.

故选：C

1

7．（2025·山东菏泽·一模）“x0”是“2x2”的（）

2x

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

11

【解析】若x0，则2x1，所以2x22x2，

2x2x

11

由2x得x0，因为x0，所以取不到等号，即2x2，

2x2x

1

所以“x0”是“2x2”的充分条件；

2x

151

又x1时，212，所以“x0”不是“2x2”的必要条件.

2122x

1

综上，“x0”是“2x2”的充分不必要条件.

2x

故选：A

8．（2025·上海静安·一模）设a，bR，则“ab0”是“a0且b0”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】令a3，b1，满足ab0，但a0，b0；

当a0且b0时，能得到ab0，

所以“ab0”是“a0且b0”的必要不充分条件.

故选：B.

题型3

9．（2025·上海青浦期末）下列四个命题：

①没有一个无理数不是实数；

②空集是任何一个非空集合的真子集；

③11≤2；

④至少存在一个整数x，使得x2x1是整数．

其中是真命题的为（）．

A．①②③④B．①②③C．①②④D．②④

【答案】A

【解析】因为实数由无理数和有理数构成，故所有无理数都是实数，故①正确；

因为空集是任何非空集合的真子集，故②正确；

因为112，故③正确；

取x1，则x2x11是整数，故④正确.

故选：A.

10．（2025·上海闵行·期中）下列命题中：

①关于x的方程mx22x30是一元二次方程；

②空集是任意非空集合的真子集；

③如果x3，那么x0；

④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（）

A．①②③B．②③C．②③④D．①②④