三角形的中线、角平分线、高课件2025-2026学年人教版八年级数学上册

数学

人教版（2024）八年级上册§13.2.2

三角形的中线、角平分线、高三角形第十三章1.了解三角形的中线、角平分线、高的概念.2.掌握三角形的中线、角平分线及高的有关结论.（重点）3.掌握钝角三角形高的画法及进行有关的计算.（难点）学习目标复习引入

定义

图示垂线线段中点角平分线OBAAB当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线把一条线段分成两条相等的线段的点一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线回顾：你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?量角器画法三角板画法如图所示，下面形状的房梁中，立柱与横梁有什么特殊关系?斜梁斜梁立柱横梁从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边的高，简称三角形的高。三角形的高：如图，在△ABC中，AD⊥BC于D

，点D是垂足，则AD是△ABC的边BC上的高，此时：

∠ADB=∠ADC=90°．ABCD分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，你能分别画出这三个三角形的三条高吗？分组讨论ACBACBACB分别画一个锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，你能分别画出这三个三角形的三条高吗？分组讨论ACBACBACB三角形的三条高的特性：高所在的直线是否相交高之间是否相交高在三角形内部的数量钝角三角形直角三角形锐角三角形311相交相交不相交相交相交相交三条高所在直线的交点的位置三角形内部直角顶点三角形外部三角形的角平分线探究

在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?

BCA方法一：折纸：在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.折痕AD即为三角形的∠A的平分线.BCA方法二：三角形的角平分线探究

在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗?

符号语言：如图，画△ABC的∠A的平分线AD，交∠A所对的边BC于点D，所得线段AD叫作△ABC的角平分线.在三角形中，一个内角的平分线与这个角所对的边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.12ABCD三角形的角平分线①AD是△ABC的角平分线，②AD平分∠BAC，交BC于点D，

思考

用同样的方法，你能画出△ABC的另外两条角平分线吗？12ABCD三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且三条角平分线交于三角形内一点.三角形的角平分线

D三角形的角平分线

在三角形中，连接一个

与它

的线段，叫做三角形的中线.

三角形的中线概念：ABCD

顶点

对边的中点

三角形的中线数学符号语言∵AD是△ABC的中线∴AD是△ABC的中线反之，如图所示三角形的中线定义∴BD=DC=½BC∵BD=DC=½BC性质判定三角形的中线动手画一画你能画出△ABC的另外两边上的中线吗？0123456789EF三角形的中线都在三角形的内部，且必交于一点.△ABC的重心课堂小结今天我们收获了哪些知识？1.你能分别描述三角形中的几种重要线段及其特点吗？2.你能说说什么是三角形的重心吗？三角形重要线段高锐角三角形的三条高交于同一点，都在三角形的内部.直角三角形的三条高交于直角顶点.钝角三角形的三条高不相交于一点，三条高所在直线交于一点.中线角平分线三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.三角形的三条角平分线交于同一点.2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形1.下列各组图形中，哪一组图形中的AD是△ABC的高()ADCBABCDABCDABCDABCDBD3.下列各组图形中，AD是△ABC的高的图形是（）解析：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．D4.如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空：（1）BE=

=

；（2）∠BAD=

=

；（3）∠AFB=

=90°；（4）SΔABC=.CEBC∠CAD∠BAC∠AFCBC•AF5.如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法哪些是正确的,哪些是错误的.⌒⌒ABCDE12FGH①AD是△ABE的角平分线()②BE是△

ABD边AD上的中线()③BE是△

ABC边AC上的中线()④CH是△

ACD边AD上的高()三角形的高、中线与角平分线都是线段.×××√6.如图，在△ABC中，BD是角平分线，若∠ABC

＝72°，则∠ABD＝

⁠°.36

7.

如图，虚线部分是小刚作的辅助线，你认为线段

CD（C）C8.

在△ABC中，AB=18，BC=16，BD

是

AC

边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（

）A.39B.41C.43D.无法确定AA.是AC边上的高B.是BC边上的高C.是AB边上的高D.不是△ABC的高9.如图，已知△ABC.(1)CD

是△ABC的高，则∠ADC＝

＝90°，∠BDCS△ABC＝

；

BEAB

BCFACB

10.如图，已知AD是△ABC的边BC上的中线.（1）作出△ABD的边BD上的高；解：（1）如图，AE即为所求.（2）若△ABC的面积为10，则△ADC的面积为

⁠；1）如图，AE即为5

（3）若△ABD的面积为6，且BD边上的高为3，求BC的长.解：（3）∵AD是△ABC的边BC上的中线，△ABD的面积为6，

∴△ABC的面积为12.

由题可知AE＝3，∴BC＝8.11.如图，在△ABC中，已知D、E、F

分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC

=12，则图中阴影部分的面积为（）A.1 B.2 C.3 D.4CABCDEF

66

33

12.如图,在△ABC中,AE是角平分线,AD是高,∠C=40°,∠B=70°,DF⊥AE,垂足为F.(1)求∠CAE的度数.(2)求∠ADF的度数.

解析

(1)∵∠C=40°,∠B=70°,∴∠BAC=70°,∵AE是∠BAC的平分线,∴∠CAE=

∠BAC=35°.(2)∵AD是△ABC的高,∴∠ADC=90°,∵∠C=40°,∴∠CAD=90°-∠C=50°,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=15°,∵DF⊥AE,∴∠ADF=90°-∠DAE=75°.13.已知:△ABC中,AE平分∠BAC交BC于E,AD⊥BC于D.(1)如图①,若∠C=70°,∠B=30°,则∠DAE=

°.(2)如图②,F是AE上的任意一点,过点F作FG⊥BC于G,且∠B=40°,∠C=80°,求∠EFG的度数.(3)在(2)的条件下,若F点在AE的延长线上(如图③),其他条件不变,则∠EFG的大小会发生改变吗?说明理由.解析

(1)20.详解:∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=30°,∴∠BAD=90°-∠B=60°,∵∠BAC=180°-(∠B+∠C)=80°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=40°,∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=60°-40°=20°.(2)∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,∵∠B=40°,∠C=80°,∴∠BAC=180°-40°-80°=60°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=

∠BAC=30°,∵AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠B=50°,∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=50°-30°=20°,∴∠EFG=20°.(3)∠EFG的大小不变.理由如下:∵AD⊥BC,FG⊥BC,∴AD∥FG,∴∠EFG=∠EAD,由(2)可知∠EAD=20°,∴∠EFG=20°,大小不变.14.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(

)D三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．方法总结15.如图，在△ABC中，CD是中线,已知BC-AC=5

cm，△DBC的周长为25

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