四川省资阳市安岳中学2025届高三下学期二模数学试题（解析版）

第第页四川省资阳市安岳中学2025届高三下学期二模数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A=−3,−1,0,2,5,B=x∣A．−3,−1 B．−1,0,2 C．−3,−1,2 D．0,2,5【答案】B【解析】【解答】解：由题意可知，B={x∣−5<x<5故选：B.【分析】解一元二次不等式先化简求得集合B，再应用交集运算即可求得A∩B.2．已知复数z与复平面内的点(2,2)对应，则z−11−A．32−12i B．12【答案】C【解析】【解答】解：由复数z与复平面内的点(2,2)对应，可得复数z=2+2i，

则z−11−故答案为：C.【分析】由题意，先写出复数z，再根据复数代数形式的除法运算化简即可.3．已知数列an为等差数列，则“m=4”是“aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【解答】解：数列an为等差数列，当m=4时，由a可得a2当数列an为常数列时，an=a1，则a故“m=4”是“a2故答案为：A．【分析】由题意，根据等差数列的性质，结合已知可判断充分性成立；举例说明必要性不成立.4．在ABC中，AB=3，BD=DC，AE=2EC，AD与BE的交点为O，若A．2 B．3 C．2 D．5【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：

A,O,D，三点共线，设AO⃗=λAD⃗，λ∈0,1，

因为BD=DC，则AO⃗又因为B、O、E三点共线，所以λ2+3λ则AO=25AB+2=25AC2−AB2故答案为：C.【分析】根据向量线性运算结合三点共线定理可得AO=5．已知α∈0,π2，tanA．45 B．−45 C．−【答案】C【解析】【解答】解：tan(α+π4)tan又∵α∈0,π2，∴sin2α+π故选：C.【分析】结合已知条件和两角和的正切公式先求得tanα=26．设F1、F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A．5 B．52 C．5 D．【答案】C【解析】【解答】解：设点A在x轴上方，如图所示：

因为AF2⊥x轴，所以点Ac,b2a，

又因为过F1的直线l交椭圆于A、B两点，l在y轴上的截距为1，AF1又因为点Ac,2在椭圆上，所以c设点Bx,y，因为AF1=2F所以x+c=−cy=−1，解得x=−2cy=−1，即点将点B的坐标代入椭圆方程可得4c2a解得b2a2=45，则2aa故答案为：C.【分析】设点A在x轴上方，由AF2⊥x轴，求得点Ac,b2a，再由已知条件可得出b2a=2，设点7．已知函数fx=sin2x+φ在x∈0,π3时满足fx>12恒成立，且在区间0,A．7π6 B．3π2 C．【答案】C【解析】【解答】解：当x∈0,π3因为y=sint>12在t=2x+φ∈φ,2π3+φ上恒成立，所以当x∈0,3π画出函数y=sinz在由图象可知，m∈−12则2x故x1两式相加得x1所以x1故答案为：C.【分析】先求出2x+φ∈φ,2π3+φ，根据fx8．已知函数fx是定义域为R的奇函数，f'x是fx的导函数，f1=0，当A．−∞,−1∪C．−∞,−1∪【答案】D【解析】【解答】解：令gx=x所以当x<0时，g'x>0，所以g因为函数fx是定义域为R的奇函数，所以f所以g−x=−x3f所以gx在0,+又因为f1=0，所以f−1所以当x∈−∞,−1时，g当x∈−1,0时，gx=当x∈0,1时，gx=当x∈1,+∞时，gx所以不等式fx<0的解集为故选：D.【分析】令gx=x3fx，可得g'x=x23fx+xf'x，进而可得当x<0二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知正实数x，y满足x+y=1，则（）A．x2+y的最小值为34 C．x+y的最大值为2 D．【答案】A,C【解析】【解答】解：A、因为x，y为正实数，且x+y=1，所以y=1−x,x∈0,1所以x2+y=x2−x+1=x−1B、1x当且仅当x=1C、x+当且仅当x=y=12时等号成立，所以x+y≤D、log2x2当且仅当x=2−2x，即x=23时等号成立，所以所以log2x+log故选：AC.【分析】将y=1−x代入x2+y，根据二次函数的性质即可判断选项A；利用“1”的代换结合基本不等式计算可判断选项B；根据x+y2=1+2xy结合基本不等式计算可判断选项C；log10．已知函数fx=sinA．ω=2B．点−5π6C．fx在πD．将fx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，可得到【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、因为fx所以ω=2B、所以fx=2sin2x−π3，所以C、当x∈π3,11π12时，2x−πD、将fx的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到故选：ABD.【分析】利用辅助角公式即可得fx=2sin2x−π3，进而利用周期公式即可判断选项A；由ϖ的值可得函数f(x)的解析式，进而计算求得f-11．如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，AB=2AA．点P可能在直线AAB．点P可能在直线B1C．若点P在底面ABCD内，则三棱锥A−PBD．若点P在棱C1C【答案】A,C,D【解析】【解答】解：A、点P的轨迹是过点B且与C1C垂直的平面α（不包括点B），因为A1A与C1B、因为AA1⊥底面ABCD，BD在底面ABCD又因为AC⊥BD，A1A，AC⊂平面AA1C1C因为CC1⊂平面A因此平面α∩平面ABCD=BD，又因为B1D1∥BD，BD⊂平面α，B1C、若点P在底面ABCD内，则点P在直线BD上，而BD//平面AB1D1，所以点P到平面D、设BD的中点为O，如图所示：

若点P在棱C1C上，则BD⊥CC1，BP⊥CC1，BD∩BP=B，所以CC1⊥平面BDP，又因为OP⊂平面BDP在梯形AA1C1C中，C故答案为：ACD.【分析】由A1A与C1C所在直线相交且不垂直即可判断A；通过B1D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．对任意x∈R，恒有f(1−x)=f(x+1)=f(x−1【答案】8−2【解析】【解答】θ∈0，π2，sinθ∈0，1，f(sinθ)=cos2θ=1-sin2ϑ

令x=sinθ，

则有f(x)=1-x2(0≤x≤1)，

任意x∈R，

恒有f(1-x)=f(x+1)=f(x-1)，

则函数图象关于x=1对称，周期为2，

作出函数图象

，

函数y=f(x)的图像与y=kx有4个不同的公共点，

由图像可知，y=kx的图像与函数y=f(x)在3，5上相切，

由y=1-(x-4)2y=kx得x2+(k-8)x+15=0，则∆=(k-8)213．在平面直角坐标系xOy中，已知点M1,0，N5,−3，P是直线4x−3y−12=0上任意一点，则OP【答案】12【解析】【解答】解：易知MN⃗=(4,−3)，设点Pm,n因为点P是直线4x−3y−12=0上任意一点，所以4m−3n−12=0，即4m−3n=12，则OP⋅故答案为：12.【分析】易知MN=(4,−3)，设点Pm,n，可得OP=(m,n)，由点P在直线4x−3y−12=0上代入可得4m−3n=1214．已知正项等比数列an满足a2n=an【答案】1【解析】【解答】解：设等比数列an的公比为q(q>0)，

因为a2n=an故答案为：12【分析】设等比数列an四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足acos（1）求角A；（2）若a=4，△ABC的面积为152，求sin【答案】（1）解：由正弦定理得，sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC，

因为A+B+C=π，所以sinB=sin(A+C)=因为sin2A+cos2A=1，所以(cosA+1)2所以A=π​​​​​​（2）解：设△ABC的面积为S，外接圆半径为R，

所以S=12bcsinA=12bc=152，所以bc=15【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边化角可得sinA（2）由面积公式可得bc的值，进而由正弦定理求得外接圆半径，再计算即可求得sinB（1）由条件得acosC+asin所以asinC=ccosA+c，由正弦定理得从而1=12=sinA-所以A=π（2）设△ABC的面积为S，则sinB16．设函数fx（1）当a=1时，求曲线y=fx在1,f（2）若fx为增函数，求a【答案】（1）解：当a=1时，函数fx=x+1lnx定义域为0，+∞，f'x=lnx+x+1x=lnx+1x（2）解：函数fx=x+alnx定义域为0，+∞，f'x=lnx+x+ax=lnx+ax+1，

因为函数fx是增函数，所以f'x≥0在0,+∞上恒成立，

即a≥−x−xlnx在0,+∞上恒成立，则a≥−x−xlnxmax，

令gx=−x−xlnx，g'【解析】【分析】（1）将a=1代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义求解即可；（2）由题意可得：f'x≥0在0,+∞上恒成立，分离参数得到a≥−x−xlnx在（1）当a=1时，fx所以f'x=lnx+∴曲线y=fx在1,f1处的切线方程为整理得，y=2x−1∴曲线y=fx在1,f1处的切线方程为（2）f'x=fx是增函数，即f'x方法一：即a≥−x−xlnx在0,+∞设gx=−x−xlnx，x>0，则当x∈0,1e2时，当x∈1e2,+∞∴当x=1e2∵g1e2=1e方法二：即lnx+ax+1≥0在设hx=lnx+ax+1①若a≤0，则h'x>0，h当x趋近于0时，hx趋近于−∞，即所以fx在0,+②若a>0，则当x∈0,a时，h'x当x∈a,+∞时，h'则当x=a时，hx∴ha=ln∴a的取值范围是1e17．如图，已知四边形ABCD与EFAD均为直角梯形，平面ABCD⊥平面EFAD，AB⊥BC，AF⊥AD，M为BF的中点，AF=AB=BC=2CD=2DE=2.（1）证明：C，E，F，M四点共面；（2）求平面AMC与平面ADE夹角的余弦值.【答案】（1）证明：取FA的中点P，连接MP，PD，如图所示：因为M，P分别为BF、FA的中点，且AB⊥BC，AB=2CD，

所以PM=AB2=CD，且PM∥AB∥CD所以CM∥DP且CM=DP，又因为AF⊥AD，且AF=2DE，所以FP∥ED，FP=ED，所以四边形FPDE是平行四边形，所以DP∥EF，DP=EF，所以CM∥EF，CM=EF，则C，E，F，M四点共面（2）解：因为平面ABCD⊥平面EFAD，平面ABCD∩平面EFAD=AD，

且AF⊥AD，所以AF⊥平面ABCD，以B为原点，建立空间直角坐标系B−xyz，如图所示：则B0,0,0，C2,0,0，A0,2,0，D2,1,0，F0,2,2设平面AMC的一个法向量为n1=x1,所以−y1+z1=02设平面ADE的一个法向量为n2=x2,所以2x2−y2=0z2=0设平面AMC与平面ADE夹角为θ，则cosθ=即平面AMC与平面ADE夹角的余弦值为155【解析】【分析】（1）取FA的中点P，连接MP，PD，根据中位线结合已知得出四边形PMCD与四边形FPDE是平行四边形，即可得出CM∥EF，即可证明；（2）以B为原点，建立空间直角坐标系B−xyz，求得相应各点坐标，根据平面法向量求法得出平面AMC与平面ADE的法向量，再根据空间向量法求解即可.（1）取FA的中点P，连接MP，PD.因为M为BF的中点，P为FA的中点，且AB⊥BC，AB=2CD，所以PM=AB2=CD所以四边形PMCD是平行四边形，所以CM∥DP且CM=DP.又因为AF⊥AD，且AF=2DE，所以FP∥ED，FP=ED，所以四边形FPDE是平行四边形，所以DP∥EF，DP=EF.所以CM∥EF，CM=EF，所以C，E，F，M四点共面.（2）因为平面ABCD⊥平面EFAD，平面ABCD∩平面EFAD=AD，且AF⊥AD，所以AF⊥平面ABCD.如图，以B为原点，建立空间直角坐标系B−xyz，则B0,0,0，C2,0,0，A0,2,0，D2,1,0，F0,2,2设平面AMC的一个法向量为n1=x1,所以−y1+z1=02设平面ADE的一个法向量为n2=x2,所以2x2−y2=0z2=0设平面AMC与平面ADE夹角为θ，所以cosθ=18．已知双曲线C：x2a2−y（1）求双曲线C的标准方程；（2）记双曲线C的左､右顶点分别为A，B，斜率为正的直线l过点T2,0，交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记△PAT面积为S1，△QBT面积为S2【答案】解：（1）易知b=2，直线2x−y=0为双曲线C的一条渐近线，即ba=2，解得a=1，

则双曲线的方程为（2）易知A−1,0，B设直线l：x=ny+2，Mx1,联立x2−y由韦达定理可得：y1+y2=−设直线MA：y=y1设直线NB：y=y2因